ОБЪЕМ РОМБОЭДРА

Текущая версия страницы пока не проверялась
опытными участниками и может значительно отличаться от версии
, проверенной 9 марта 2020 года; проверки требуют 12 правок
.

Ромбододека́эдр
(от « ромб
», др.-греч.
 «двенадцать» и  «сиденье») — двенадцатигранник
, составленный из одинаковых ромбов
. У ромбододекаэдра 14 вершин
, 6 из которых являются вершинами меньших углов 4 ромбов, а 8 — вершинами 3 ромбов при их больших углах. Острый угол каждого ромба



, а тупой



. Другими словами: отношение большей диагонали ромба к меньшей равно



. Одинаковыми ромбододекаэдрами можно заполнить трёхмерное пространство без промежутков и наложений. Взаимное расположение плоскостей граней ромбододекаэдра называется ромбическим
(при октаэдрической симметрии) (и также называется положение самих граней). Такое же положение имеют, например, 12 из 18 квадратных граней ромбокубооктаэдра
.

Ромбододекаэдр можно собрать из двух равных кубов
, разрезав один из них на 6 одинаковых пирамид
, квадратные основания которых — 6 граней куба, а вершины совпадают с его центром, и затем приложив эти пирамиды к 6 граням другого куба. А куб можно собрать из 4 ромбододекаэдров, разрезав 3 из них на 4 равные части каждый по противоположным вершинам и четвертям плоскости. Противоположные вершины фрагментов являются вершинами куба, а расстояния между ними — рёбрами куба. Сегменты выстраивают квадратную грань сложением сечений в одной плоскости.
Ещё ромбододекаэдр можно собрать из октаэдра и 2 тетраэдров, разрезав тетраэдры на 4 равные части каждый по вершинам. Основание правильной треугольной пирамиды (сегмента тетраэдра) соединяется с гранью октаэдра.

Построение и особенности:

Правильный ромбододекаэдр можно составить из 12 одинаковых ромбов, у которых отношение диагоналей ромбов идентично отношению диагонали квадрата к его стороне. Построение диагоналей ромбов производится циркулем и линейкой без разметки (при случайной длине стороны). Отмечается первая диагональ ромба. Методом построения равнобедренного треугольника циркулем находится перпендикуляр. По заданной пропорции на перпендикуляре отмечается вторая диагональ, значения подгоняются под размеры ромба, диагонали пересекаются в своих серединах. Вершины правильного ромбододекаэдра совпадают с пересечением куба и октаэдра, а диагонали ромбов — с его рёбрами. У правильного ромбододекаэдра 14 вершин — при 8 из них сходятся меньшие диагонали ромбов, а при 6 из них — большие.

Интересный факт: правильными ромбододекаэдрами одинакового объёма можно замостить пространство без промежутков и наложений. У этого замощения две группы стыковки — по 4 и по 6 ромбододекаэдров при одной вершине. Меньшие диагонали в стыковке образуют кубические соты, а большие — тетраэдрально-октаэдрические.
Тетраэдрально-октаэдрические соты состоят из правильных тетраэдров и октаэдров — четырёхугольных бипирамид.

Также у ромбододекаэдра 8 вершин содержат сегменты тетраэдра, а остальные 6 — сегменты куба. Здесь под сегментом понимается пирамида, основание которой является гранью тела, а вершина — центром тела. Если ромбододекаэдр по 8 вершинам дополнить оставшимися сегментами до тетраэдров, получится звёздчатый октаэдр. Но если дополнить по 6 вершинам оставшимися сегментами до кубов, получится пространственный крест.

Ромбододекаэдр можно разбить на 4 равных параллелепипеда, у которых все грани равны граням ромбододекаэдра.

Вокруг одного ромбододекаэдра может вместиться 26 ромбододекаэдров одинакового объёма, причём в однослойном заполнении по глубине относительно исходного многогранника

Площадь и объём додэкаэдрового тела

Площадь и объём ромбододекаэдра вычисляется по формулам:

Текущая версия страницы пока не проверялась
опытными участниками и может значительно отличаться от версии
, проверенной 2 июня 2020 года; проверки требуют 3 правки
.

Ромбоэдр
(от ромб
и др.-греч.
— основание, грань
) — это геометрическое тело, являющееся обобщением куба
, у которого грани не обязательно квадратны, а лишь являются ромбами
. Ромбоэдр является параллелепипедом
, в котором все рёбра равны. Ромбоэдр можно использовать для определения ромбоэдрической решётчатой системы
, сот
с ромбоэдрическими ячейками.

В общем случае ромбоэдр
может иметь три типа ромбических граней, которые разбиваются на конгруэнтные пары противоположных сторон. Ромбоэдр имеет симметрию C
_i

порядка
2.

Ромбоэдрическая решётчатая система

Ромбоэдрическая решётчатая система
имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:

• Куб
  
  : с симметрией порядка 48. Все грани — квадраты.
• 
  : с симметрией D
  _3d
  
  порядка12. Если все острые внутренние углы граней равны (все грани одинаковы). Тело можно рассматривать как вытягивание куба вдоль главной диагонали. Например, правильный октаэдр
  с двумя тетраэдрами
  , приклеенными к противоположным граням, образуют тригональный трапецоэдр
  с углом 60 градусов. У тригонального трапецоэдра есть хотя бы две вершины, такие, что все прилежащие к ним углы равны между собой. Через эти вершины проходит ось симметрии
  третьего порядка (то есть такая ось, при повороте вокруг которой на угол 120°=2π/3 тело переходит в само себя). Более того, это является признаком
  тригонального трапецоэдра: параллелепипед является тригональным трапецоэдром тогда и только тогда, когда он имеет ось симметрии третьего порядка ^[2]
  
  .
• Прямая ромбическая призма
  
  : с симметрией D
  _2h
  
  порядка 8. Она строится из двух ромбов и 4 квадратов. Фигуру можно рассматривать как вытягивание куба вдоль диагонали на грани. Например, две треугольные призмы
  , соединённые по боковой грани, образуют ромбическую призму
  с углом 60 градусов.
• Ромбическая призма общего вида
  : с порядка 4. Она имеет только одну плоскость симметрии, проходящую через четыре вершины, и имеет 6 ромбических граней.

e ₁

:

e ₂

:

e ₃

:

Объём ромбоэдра, длина стороны которого равна a
является упрощением формулы объёма параллелепипеда
и задаётся формулой

Так как площадь основания задаётся формулой



, высота ромбоэдра h
задаётся формулой (объём, делённый на площадь основания)

Например, для единичного ромбоэдра с острым углом 72 градуса, три внутренних диагонали (BG, CF и DE) равны 1.543, а длинная диагональ (AH) равна 2.203. Объём этого ромбоэдра равен 0.8789, а высота равна 0.9242.

1. Court, 1934
   , с. 499–502.
2. Ромбоэдр
   — статья из Большой советской энциклопедии
   
4. . Wolfram (17 мая 2016). Дата обращения: 17 мая 2016.
   Архивировано
   3 июня 2016 года.
   
   
5. Calculate distance in 3D space
   
   . Дата обращения: 17 мая 2016.
   Архивировано
   5 июня 2016 года.
   
   

• L. Lines.
  Solid geometry: with chapters on space-lattices, sphere-packs and crystals. — Dover Publications, 1965.
• N. A. Court.
  Notes on the orthocentric tetrahedron // American Mathematical Monthly
  . — 1934. — Октябрь. — .

• Weisstein, Eric W.
  Rhombohedron
    (англ.)
  на сайте Wolfram MathWorld
  .
• Volume Calculator https://rechneronline.de/pi/rhombohedron.php

Объем ромбоэдра с учетом общей площади поверхности Решение

ШАГ 0: Сводка предварительного расчета

ШАГ 1. Преобразование входов в базовый блок

Общая площадь поверхности ромбоэдра:
460 Квадратный метр —> 460 Квадратный метр Конверсия не требуется

Острый угол ромбоэдра:
50 степень —> 0.872664625997001 Радиан (Проверьте преобразование здесь
)

ШАГ 2: Оцените формулу

ШАГ 3: Преобразуйте результат в единицу вывода

540.696048809246 Кубический метр —> Конверсия не требуется

Объем ромбоэдра с учетом общей площади поверхности формула

= (( Общая площадь поверхности ромбоэдра
/(6*( Острый угол ромбоэдра
))))^3*(1-( Острый угол ромбоэдра
))*(1+2*( Острый угол ромбоэдра
))

= ((/(6*())))^3*(1-())*(1+2*())

Что такое ромбоэдр?

Ромбоэдр (также называемый ромбическим шестигранником) представляет собой трехмерную фигуру, подобную прямоугольному параллелепипеду (также называемому прямоугольным параллелепипедом), за исключением того, что его грани не прямоугольники, а ромбы. Это частный случай параллелепипеда, у которого все ребра имеют одинаковую длину. Его можно использовать для определения системы ромбоэдрической решетки, сот с ромбоэдрическими ячейками. В общем, ромбоэдр может иметь до трех типов ромбических граней в конгруэнтных противоположных парах, симметрия Ci, порядок 2.

параллелепипед
представляет собой геометрическое тело, образованное шестью гранями, основной характеристикой которого является то, что все их грани являются параллелограммами, а также их противоположные грани параллельны друг другу. Это обычный многогранник в нашей повседневной жизни, так как мы можем найти его в обувных коробках, в форме кирпича, в форме микроволновой печи и т. Д.

Будучи многогранником, параллелепипед заключает в себе конечный объем и все его грани плоские. Он входит в группу призм, которые представляют собой те многогранники, в которых все их вершины содержатся в двух параллельных плоскостях.

Элементы параллелепипеда

Карас

Они являются каждой из областей, образованных параллелограммами, которые ограничивают параллелепипед. Параллелепипед имеет шесть граней, где каждая грань имеет четыре смежные грани и одну противоположную. Кроме того, каждая сторона параллельна своей противоположной.

ость

Они общая сторона двух лиц. Всего параллелепипед имеет двенадцать ребер.

вершина

Это общая точка трех граней, примыкающих друг к другу два к двум. Параллелепипед имеет восемь вершин.

диагональный

Учитывая две противоположные стороны параллелепипеда, мы можем нарисовать отрезок прямой, который идет от вершины одной грани к противоположной вершине другой.

Этот отрезок известен как диагональ параллелепипеда. Каждый параллелепипед имеет четыре диагонали.

центр

Это точка, в которой все диагонали пересекаются.

Характеристики параллелепипеда

Как мы уже упоминали, это геометрическое тело имеет двенадцать ребер, шесть граней и восемь вершин.

В параллелепипеде вы можете идентифицировать три набора, образованные четырьмя ребрами, которые параллельны друг другу. Кроме того, края этих наборов также имеют свойство иметь одинаковую длину.

Другое свойство, которым обладают параллелепипеды, состоит в том, что они являются выпуклыми, то есть, если мы возьмем любую пару точек, принадлежащих внутренней части параллелепипеда, отрезок, определяемый указанной парой точек, также будет находиться внутри параллелепипеда.

Кроме того, параллелепипеды, являющиеся выпуклыми многогранниками, соответствуют теореме Эйлера для многогранников, которая дает нам взаимосвязь между числом граней, числом ребер и числом вершин. Это соотношение задается в форме следующего уравнения:

C + V = A + 2

Эта особенность известна как характеристика Эйлера.

Где C — количество граней, V — количество вершин и A — количество ребер.

Тип

Мы можем классифицировать параллелепипеды по их граням по следующим типам:

кубоид

Это параллелепипеды, лица которых образованы шестью прямоугольниками. Каждый прямоугольник перпендикулярен тем, что имеет общий край. Они наиболее распространены в нашей повседневной жизни, так как это обычный способ обувных коробок и кирпичей.

Куб или правильный шестигранник

Это частный случай предыдущего, где каждая из граней является квадратом.

Куб также является частью геометрических тел, называемых платоновыми телами. Платоническое тело представляет собой выпуклый многогранник, так что его грани и внутренние углы равны друг другу.

romboedro

Это параллелепипед с бриллиантами на лице. Эти алмазы все равны между собой, так как они имеют общие края.

Romboiedro

Его шесть граней — ромбоиды. Напомним, что ромбоид представляет собой многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами, которые равны от двух до двух. Ромбоиды — это параллелограммы, которые не являются ни квадратными, ни прямоугольниками, ни ромбами.

С другой стороны, косые параллелепипеды — это те, в которых хотя бы одна высота не совпадает с ее краем. В эту классификацию мы можем включить ромбоэдры и ромбиэдры.

Диагональный расчет

Чтобы вычислить диагональ ортоэдра, мы можем использовать теорему Пифагора для R ³
.

Напомним, что ортоэдр имеет характеристику, состоящую в том, что каждая сторона перпендикулярна сторонам, имеющим общий край. Из этого факта мы можем сделать вывод, что каждое ребро перпендикулярно тем, которые имеют общую вершину.

Чтобы вычислить длину диагонали ортоэдра, действуем следующим образом:

1.
Мы рассчитаем диагональ одной из граней, которую мы положим в качестве основы. Для этого мы используем теорему Пифагора. Назовите эту диагональ _б
.

2.
Потом с д _б
мы можем сформировать новый прямоугольный треугольник, такой, что гипотенуза указанного треугольника является искомой диагональю D.

3.
Мы снова используем теорему Пифагора и получаем, что длина указанной диагонали равна:

Другой способ вычислить диагонали более наглядным способом — с помощью суммы свободных векторов.

Напомним, что два свободных вектора A и B добавляются путем помещения хвоста вектора B с острием вектора A.

Вектор (A + B) является тем, который начинается в хвосте A и заканчивается в конце B.

Рассмотрим параллелепипед, по которому мы хотим вычислить диагональ.

Отождествляем ребра с удобно ориентированными векторами.

Затем мы добавим эти векторы, и результирующий вектор будет диагональю параллелепипеда.

Область

Площадь параллелепипеда задается суммой каждой из областей их граней.

Если мы определим одну из сторон в качестве базы,

_L
+ 2A _В
= Общая площадь

Где _L
равна сумме площадей всех сторон, прилегающих к основанию, называемых боковой зоной и А _В
это базовая зона.

В зависимости от типа параллелепипеда, с которым мы работаем, мы можем переписать указанную формулу.

Площадь ортоэдра

Дается по формуле

A = 2 (ab + bc + ca).

Пример 1

Учитывая следующий ортоэдр, со сторонами a = 6 см, b = 8 см и c = 10 см, вычислите площадь параллелепипеда и длину его диагонали.

Используя формулу для площади ортоэдра, мы должны

Обратите внимание, что, поскольку это ортоэдр, длина любой из его четырех диагоналей одинакова.

Используя теорему Пифагора для пространства, мы должны

D = (6 ²
+ 8 ²
+ 10 ²
) ^1/2
= (36 + 64 + 100) ^1/2
=

^1/2

Площадь куба

Поскольку каждое ребро имеет одинаковую длину, мы имеем a = b и a = c. Подставляя в предыдущую формулу, мы имеем

А = 2 (аа + аа + аа) = 2 (3а ²
) = 6а ²

А = 6а ²

Пример 2

Коробка игровой приставки имеет форму куба. Если мы хотим обернуть эту коробку подарочной бумагой, сколько бумаги мы бы потратили, зная, что длина краев куба составляет 45 см??

Используя формулу площади куба, получаем, что

А = 6 (45 см) ²
= 6 (2025 см ²
= 12150 см ²

Площадь ромбоэдра

Поскольку все их лица равны, достаточно рассчитать площадь одного из них и умножить его на шесть.

Мы можем рассчитать площадь алмаза, используя его диагонали по следующей формуле

_R
= (Дд) / 2

Из этой формулы следует, что общая площадь ромбоэдра

_T
= 6 (Дд) / 2 = 3Dд.

Пример 3

Грани следующего ромбоэдра образованы ромбом, диагонали которого D = 7 см и d = 4 см. Ваша область будет

A = 3 (7 см) (4 см) = 84 см ²
.

Площадь ромба

Чтобы вычислить площадь ромба, мы должны вычислить площадь ромбоидов, которые его составляют. Поскольку параллелепипеды соответствуют тому, что противоположные стороны имеют одинаковую площадь, мы можем связать стороны в трех парах.

Таким образом, мы имеем, что ваш район будет

_T
= 2б ₁
час ₁
+ 2b ₂
час ₂
+ 2b ₃
час ₃

Где б _Я
являются основаниями, связанными со сторонами и _Я
его относительная высота, соответствующая указанным основаниям.

Пример 4

Рассмотрим следующий параллелепипед,

где сторона A и сторона A ‘(противоположная сторона) имеют основание b = 10 и высоту h = 6. Обозначенная область будет иметь значение

₁
= 2

= 120

B и B ‘имеют b = 4 и h = 6, тогда

₂
= 2

= 48

А С и С ‘имеют b = 10 и h = 5, поэтому

₃
= 2

= 100

Наконец, площадь ромбоэдра

A = 120 + 48 + 100 = 268.

Объем параллелепипеда

Формула, которая дает нам объем параллелепипеда, представляет собой произведение площади одной из его граней на высоту, соответствующую упомянутой грани.

V = A _С
час _С

В зависимости от типа параллелепипеда указанная формула может быть упрощена.

Таким образом, мы имеем, например, что объем ортоэдра будет

V = abc.

Где a, b и c обозначают длину ребер ортоэдра.

И в частном случае куба

Пример 1

Существует три разных модели коробок печенья, и вы хотите знать, в какой из этих моделей вы можете хранить больше печенья, то есть какая из коробок имеет наибольший объем.

Первый — это куб, край которого имеет длину а = 10 см.

Его объем будет V = 1000 см. ³

Второй имеет ребра b = 17 см, c = 5 см, d = 9 см.

И поэтому его объем составляет V = 765 см. ³

А третий имеет е = 9 см, f = 9 см и g = 13 см.

И его объем составляет V = 1053 см. ³

Поэтому ящик с наибольшим объемом является третьим.

Еще один способ получения объема параллелепипеда — прибегнуть к векторной алгебре. В частности, тройное скалярное произведение.

Одной из геометрических интерпретаций, имеющих тройное скалярное произведение, является объем параллелепипеда, ребра которого представляют собой три вектора, которые имеют одну и ту же вершину в качестве начальной точки.

Таким образом, если у нас есть параллелепипед и мы хотим знать его объем, достаточно представить его в системе координат в R ³ 
сопоставление одной из его вершин с началом координат.

Затем мы представляем ребра, совпадающие в начале координат с векторами, как показано на рисунке.

И таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда определяется как

Или, что эквивалентно, объем является детерминантом матрицы 3 × 3, образованной компонентами краевых векторов.

Пример 2

Представляя следующий параллелепипед в R ³
мы можем видеть, что векторы, которые определяют это следующие

u = (-1, -3.0), v = (5, 0, 0) и w = (-0.25, -4, 4)

Используя тройное скалярное произведение, мы имеем

uxv = (-1, -3.0) x (5, 0, 0) = (0,0, — 15)

(uxv) ∙ w = (0,0, — 15) ∙ (-0,25, -4,4) = 0 + 0 + 4 (- 15) = — 60

Из этого мы заключаем, что V = 60

Теперь рассмотрим следующий параллелепипед в R3, ребра которого определяются векторами

A = (2, 5, 0), B = (6, 1, 0) и C = (3, 4, 4)

Использование определителей дает нам, что

Таким образом, мы имеем, что объем указанного параллелепипеда составляет 112.

Оба являются эквивалентными способами расчета объема.

Идеальный параллелепипед

Он известен как кирпич Эйлера (или блок Эйлера) для ортоэдра, который выполняет свойство, состоящее в том, что длина его ребер и длина диагоналей каждой из его граней являются целыми числами.

Хотя Эйлер был не первым ученым, изучавшим ортоэдры, которые встречают это свойство, он нашел интересные результаты о них.

Меньший кирпич Эйлера был открыт Полом Холке, а длина его ребер a = 44, b = 117 и c = 240.

Открытая проблема в теории чисел заключается в следующем

Есть ли идеальные ортоэдры?

В настоящее время на этот вопрос не может быть ответа, так как не было возможности доказать, что эти тела не существуют, но ни один не был найден.

До сих пор было показано, что идеальные параллелепипеды существуют. Первый из обнаруженных имеет длину своих ребер значения 103, 106 и 271.

Библиография

1. Гай Р. (1981). Нерешенные проблемы теории чисел.
   прыгун.
2. Ландаверде, Ф. д. (1997). Geometria.
   прогресс.
3. Leithold, L. (1992). РАСЧЕТ с аналитической геометрией.
   HARLA, S. A.
4. Рендон А. (2004). Технический чертеж: Рабочая тетрадь 3 2-й бакалавриат .
   Tebar.
5. Резник Р., Холлидей Д. и Крейн К. (2001). Физика Том 1.
   Мексика: континентальный.

Октаэдр и правильные тетраэдры

⁠

совместно с Николаем Петровичем Долбилиным

К одной из гра­ней октаэдра при­ста­вили пра­виль­ный тет­раэдр с такими же дли­нами рёбер. Сколько гра­ней
у полу­чившегося многогран­ника? Как соот­но­сятся объёмы октаэдра и пра­виль­ного тет­раэдра? Изго­то­вив
октаэдр и несколько пра­виль­ных тет­раэд­ров с оди­на­ко­выми дли­нами рёбер, можно отве­тить на эти вопросы
без вычис­ле­ний.

Октаэдр — один из пяти

⁠

; у него
восемь гра­ней — пра­виль­ных тре­уголь­ни­ков. Если положить октаэдр гра­нью на стол, то про­ти­вопо­лож­ная
грань будет гори­зон­тальна. ( Октаэдр явля­ется про­стейшим пред­ста­ви­те­лем антипризм.)

Поставьте на гори­зон­таль­ную грань октаэдра пра­виль­ный тет­раэдр с такой же дли­ной ребра, совме­стив их грани.
Вы уви­дите, что грани тет­раэдра являются про­долже­ни­ями гра­ней октаэдра. Это иллю­стри­рует тот факт,
что сумма дву­гран­ных углов октаэдра и пра­виль­ного тет­раэдра состав­ляет
Таким обра­зом, когда вы при­став­ля­ете к октаэдру пра­виль­ный тет­раэдр, коли­че­ство гра­ней не уве­ли­чи­ва­ется,
а уменьша­ется! У полу­чившегося многогран­ника гра­ней всего семь — меньше чем у октаэдра.