У ОКТАЭДРА ВСЕ ГРАНИ

Альтернативные варианты определения изложены ниже



.

Окта́эдр
( греч.
от «восемь» +  «основание») — многогранник
с восемью гранями.

• двойственен
  кубу
  ;
• полное усечение
  тетраэдра
  ;
• квадратная бипирамида
  в любом из трёх ортогональных
  направлений;
• треугольная антипризма
  в любом из четырёх направлений;
• трёхмерный шар
  в метрике городских кварталов
  .

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр
.

Выпуклый многогранник называется
, если:

1. все его грани — равные правильные многоугольники;

2. в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.

Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.

1. какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?

2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон \(6\) или больше, то есть правильные \(n\)-угольники, если

n
≥
6

1. У правильного , если

n
≥
6

, углы не меньше

120
°

2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.

3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает

360
°

4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше

360
°

Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные , если

n
≥
6

Только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.

Существуют ли правильные многогранники с такими гранями, и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.

Теорема Эйлера и правильные многогранники

В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на \(2\) больше числа рёбер.

С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:

какие правильные многогранники могут существовать?

1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно \(m\), а гранями являются правильные \(n\)-угольники.

2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины \(В\) (вершины) и \(Г\) (грани) через:

\(Р\) (рёбра), \(m\), \(n\), где \(n\) и \(m\) — целые числа, и \(m ≥ 3\), \(n =\) \(3\), \(4\) или \(5\).

3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся \(m\) рёбер, то \(2Р=Вm\).

4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то \(Гn = 2Р\).

5. Подставляя полученные выражения для \(Г\) и \(В\) в формулу Эйлера \(Г + В — Р = 2\), получаем

6. Поделив обе части равенства на \(2Р\), получим

7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении \(n =\) \(3\) и найдём допустимые значения \(m\).

По смыслу \(Р > 0\), значит, \(3 ≤ m ≤5\).

Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:

1. \(m=3, n=3, P=6, Г=4\) — тетраэдр
;

2. \(m=3, n=4, P=12, Г=6\) — куб
;

3. \(m=3, n=5, P=30, Г=12\) — додекаэдр
;

4. \(m=4, n=3, P=12, Г=8\) — октаэдр
;

5. \(m=5, n=3, P=30, Г=20\) — икосаэдр
.

Доказано существование правильных многогранников:

с \(4\) гранями, \(6\) рёбрами и \(4\) вершинами:

с \(6\) гранями, \(12\) рёбрами и \(8\) вершинами:

с \(8\) гранями, \(12\) рёбрами и \(6\) вершинами:

с \(12\) гранями, \(30\) рёбрами и \(20\) вершинами:

с \(20\) гранями, \(30\) рёбрами и \(12\) вершинами:

Всё, что мы с вами изучали ранее, относится к такому разделу геометрии, как
.

— это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости. Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, отрезок, прямоугольник, квадрат, окружность и т.д.

Предметы, которые нас окружают, не всегда являются плоскими, чаще реальные объекты занимают некоторую часть пространства.

— это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Фигуры, изучаемые стереометрией: куб, шар, конус, параллелепипед, пирамида и т.д. 

Это слово \(στερεομετρία\) происходит от древнегреческих слов — объёмный, пространственный и — измерение.

Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются

— это многоугольники, из которых состоит многогранник. Две соседние грани не могут лежать в одной плоскости.

многогранника— это стороны граней, а
— это концы рёбер.

многогранника — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.

Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.

На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника \(EDC\), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.

Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.

Две плоскости называются , если они не имеют общих точек. 

Две прямые в пространстве называются , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Прямую называют перпендикулярной к плоскости
, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.

Теперь можем ввести определение призмы.

\(n\)- называют многогранник, составленный из двух равных \(n\)-лежащих в параллельных плоскостях, и \(n\)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин \(n\)-угольников отрезками параллельных прямых.

Равные \(n\)-угольники называют призмы.

Стороны многоугольников называют .

Параллелограммы называют призмы.

Параллельные отрезки называют призмы.

Призмы бывают и .

Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют .

У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.

Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют призмы.

На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота

B
1

E

В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.

На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.

На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.

Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется .

Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть

Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед —

На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют прямоугольного параллелепипеда.

AB

AD

A
A
1

 можно называть измерениями.

Так как треугольники

ABC

AC
C
1

 — прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:

Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют призмы.

В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.

На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.

Основные формулы для расчётов в прямых призмах

1. Боковая поверхность

S
бок
.

=

P
осн
.

⋅
H

, где \(H\) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.

2. Полная поверхность

S
полн
.

=
2
⋅
S
осн
.

+

S
бок
.

. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

V

=
S
осн
.

⋅
H

. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.

\(n\)-угольная пирамида — многогранник, составленный из \(n\)-угольника в основании и \(n\)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.

\(n\)-угольник называют пирамиды.

Треугольники — пирамиды.

Общая вершина треугольников — пирамиды.

Рёбра, выходящие из вершины — пирамиды.

Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют пирамиды.

На рисунке — шестиугольная пирамида \(GABCDEF\), проведена высота пирамиды \(GH\).

Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют .

У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.

Высоту боковой грани правильной пирамиды называют .

На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды \(KO\) проведена от вершины \(K\) к центру основания \(O\).

Высота боковой грани \(KN\) — апофема.

Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют

Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести .

На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.

Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах

1. Боковая поверхность

S
бок
.

=

P
осн
.

⋅
h

2

, где \(h\) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.

2. Полная поверхность

S
полн
.

=

S
осн
.

+

S
бок
.

. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

V

=

1
3

⋅

S

осн

.

⋅

H

, где \(H\) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.

Октаэдр. Объем и площадь поверхности октаэдра

Weisstein, Eric W.
Octahedron
  (англ.)
на сайте Wolfram MathWorld
.

Klitzing Polytopes, 3D convex uniform polyhedra

Editable printable net of an octahedron with interactive 3D view

Paper model of the octahedron

K. J. M. MacLean, A Geometric Analysis of the Five Platonic Solids and Other Semi-Regular Polyhedra

The Uniform Polyhedra

Virtual Reality Polyhedra
The Encyclopedia of Polyhedra

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

Другие выпуклые восьмигранники

Шестиугольная

призма

Усечённый
тетраэдр

Четырёхугольный
трапецоэдр

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

Шестиугольная призма
: Две грани являются параллельными правильными шестиугольниками, шесть квадратов соединяют соответствующие пары сторон шестиугольников.

Семиугольная пирамида
: Одна грань является семиугольником (обычно правильным), а оставшиеся семь граней являются треугольниками (обычно равнобедренными). Невозможно добиться, чтобы все треугольные грани были равносторонними.

Усечённый тетраэдр
: Четыре грани тетраэдра усекаются до правильных шестиугольников и образуются три дополнительные равносторонние треугольные грани на месте отсечённых вершин.

Четырёхугольный трапецоэдр

: Восемь граней

конгруэнтны
дельтоидам
.

• Граф октаэдра
• Звёздчатый октаэдр
• Координационная теория
• Октаэдральное число
• Ромбоусечённый додекаэдр
• Триакисоктаэдр
• Усечённый октаэдр
• Центрированное октаэдральное число
  

• Смирнов Е. Ю.
  Группы Кокстера и правильные многогранники
   // Летняя школа «Современная математика». — Дубна, 2008.
• Weisstein, Eric W.
  Platonic Solids
    (англ.)
  на сайте Wolfram MathWorld
  .
•   (англ.)
• Бумажные модели правильных многогранников
  .
    (англ.)
• Наука/геометрия/платоновы и архимедовы тела
  .
    (англ.)
• Платоновы, Архимедовы тела, призмы, тела Кеплера-Пуансо и усечённые тела Кеплера-Пуансо
  .
    (англ.)
• М. Веннинджер
  .
  Модели многогранников. — Москва: Мир, 1974. — 236 с.
• Гончар В. В.
  Модели многогранников
  . — Москва: Аким, 1997. — 64 с. — ISBN 5-85399-032-2
  .
• Гончар В. В., Гончар Д. Р.
  Модели многогранников
  . — Ростов-на-Дону: Феникс, 2010. — 143 с. — ISBN 978-5-222-17061-8
  .

Октаэдры в физическом мире

Октаэдры в природе

• Многие природные кубические
  кристаллы
  имеют форму октаэдра. Это алмаз
  (у которого также

  спайность
  по октаэдру) [7]

  ,

  сульфат алюминия-калия

  ,

  хлорид натрия

  ,

  перовскит

  , оливин
  
  ,

  флюорит

  ,

  шпинель

  .

Форму октаэдра имеют межатомные пустоты (поры) в плотноупакованных структурах чистых металлов ( никеле
, меди
, магнии
, титане
, лантане
и многих других) и ионных соединений (хлорид натрия, сфалерит
, вюрцит
и др.).

Пластины сплава
в октаэдритных
метеоритах
расположены параллельно восьми граням октаэдра.

Октаэдры в искусстве и культуре

Две одинаково сложенные змейки Рубика
могут аппроксимировать октаэдр.

В играх игральная кость
в виде октаэдра известна как «d8».

Если каждое ребро октаэдра заменить одноомным
резистором
, общее сопротивление между противоположными вершинами будет составлять 1/2 ома, а между смежными вершинами — 5/12 ома [8]

.

Шесть музыкальных нот можно расположить на вершинах октаэдра так, что каждое ребро представляет созвучную пару, а каждая грань — созвучную тройку.

Противотанковый ёж

имеет форму трёх диагоналей октаэдра.

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а
, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

,

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

двугранный угол
:



, где



.

Радиус полувписанной сферы
, которая касается всех рёбер, равен

Октаэдр
имеет четыре специальные ортогональных проекции
, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера
B ₂
и A ₂
.

Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику
и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции
. Эта проекция конформна
, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Октаэдр с длиной ребра



может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты
вершин тогда будут

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ±1).

В x
— y
— z
прямоугольной системе координат
октаэдр с центром в точке ( a
, b
, c
) и радиусом r
 — это множество всех точек ( x
, y
, z
), таких, что

Площадь и объём

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a
равна

Объём октаэдра ( V
) вычисляется по формуле:

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра
с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:

Октаэдр представляет собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров
является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром
( лат.: stella octangula
). Конфигурация является единственной звёздчатой формой
октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения
тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, как кубооктаэдр
и икосододекаэдр

связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении

золотого сечения

для определения вершин

икосаэдра

. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

• Октаэдр можно вписать в тетраэдр, притом четыре из восьми граней октаэдра будут совмещены с четырьмя гранями тетраэдра, все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести ребер тетраэдра.
• Октаэдр можно вписать в куб, притом все шесть вершин октаэдра будут совмещены с центрами шести граней куба.
• В октаэдр можно вписать куб, притом все восемь вершин куба будут расположены в центрах восьми граней октаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия

Октаэдр двойственен
кубу
.

Определения через равенство элементов

Равенство плоских и двугранных равносильно тому, что правильными и равными являются многогранные углы при всех вершинах. Это условие составляет вторую часть определения, приведенного выше. Однако многие авторы заменяют это условие на одно из более слабых, которое также является достаточными для того, чтобы многогранник с равными правильными гранями был правильным:

• в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число рёбер (учебник Л. С. Атанасяна
  
  ^[9]
  
  , учебник А. В. Погорелова
  
  , справочник В. А. Гусева
  и А. Г. Мордковича
  
  ^[10]
  
  );
• в каждой вершине многогранника сходится одинаковое число граней (учебник Смирновых ^[11]
  
  );
• все двугранные углы многогранника равны между собой (учебник А. Д. Александрова
  
  ^[7]
  
  , «Элементарная геометрия» Ж. Адамара
  ^[2]
  
  ).

Определение через симметрию

Объем и площадь поверхности октаэдра

      Обозначим буквой     длину ребра октаэдра
  (рис. 3).

      Для того, чтобы найти объем октаэдра     заметим, что этот объем равен удвоенному объему правильной четырехугольной пирамиды
    Основанием пирамиды
    является квадрат
со стороной     а высота пирамиды
равна длине отрезка  

      Следовательно, площадь основания пирамиды

S _BCB’C’
= a
²
,

Поэтому объем октаэдра

      Поскольку площадь грани октаэдра

то площадь поверхности октаэдра

      На нашем сайте можно также ознакомиться нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ по математике
.

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра
добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр
.

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый
тетраэдр
и может быть назван тетратетраэдром
. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию
.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

В качестве треугольной антипризмы
октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Иногда удобнее пользоваться выражением через тангенс
:

где



принимает значения 4, 6, 6, 10 и 10 для тетраэдра, куба, октаэдра, додекаэдра и икосаэдра соответственно.

Угловой дефект при вершине многогранника — это разность между 2π и суммой углов между рёбрами каждой грани при этой вершине.
Дефект



при любой вершине правильного многогранника:

По теореме Декарта
, он равен



делённым на число вершин (то есть суммарный дефект при всех вершинах равен



).

Трёхмерным аналогом плоского угла является телесный угол
. Телесный угол Ω при вершине правильного многогранника выражается через двугранный угол между смежными гранями этого многогранника по формуле:

Телесный угол, стягиваемый гранью правильного многогранника, с вершиной в центре этого многогранника, равен телесному углу полной сферы (



стерадиан), делённому на число граней. Он также равен угловому дефекту дуального к данному многогранника.

Различные углы правильных многогранников приведены в следующей таблице. Числовые значения телесных углов даны в стерадианах
.
Константа



 — золотое сечение
.

Радиусы, площади и объёмы

С каждым правильным многогранником связаны три концентрические сферы:

• Описанная сфера, проходящая через вершины многогранника;
• Срединная сфера, касающаяся каждого его ребра в середине;
• Вписанная сфера
  , касающаяся каждой его грани в её центре.

Радиусы описанной (



) и вписанной (



) сфер задаются формулами:

где θ — двугранный угол между смежными гранями многогранника. Радиус срединной сферы задаётся формулой:

где h — величина описанная выше, при определении двугранных углов (h = 4, 6, 6, 10 или 10). Отношения описанных радиусов к вписанным радиусам симметрично относительно p и q:

Объём
правильного многогранника вычисляется, как умноженный на число граней объём правильной пирамиды
, основанием которой служит правильный p-угольник, а высотой — радиус вписанной сферы r:

Приведённая таблица содержит список различных радиусов, площадей поверхностей и объёмов правильных многогранников. Значение длины ребра a в таблице приравнены к 2.

Константы φ и ξ задаются выражениями

Среди правильных многогранников как додекаэдр, так и икосаэдр представляют собой лучшее приближение к сфере. Икосаэдр имеет наибольшее число граней, наибольший двугранный угол и плотнее всего прижимается к своей вписанной сфере. С другой стороны, додекаэдр имеет наименьший угловой дефект, наибольший телесный угол при вершине и максимально заполняет свою описанную сферу.

Октаэдр

      Рассмотрим и обозначим символами     и   A’,   B
  и   B’,   C
  и     центры его противоположных граней
(рис. 1).

     
Фигуру, состоящую из двух равных правильных четырехугольных пирамид
    и     с общим основанием
  называют (рис. 2).

      Вершины правильных четырехугольных пирамид
    и     называют ребра
этих пирамид называют а боковые грани
пирамид называют Отрезки       и   называют

      Теорема Эйлера .
Для октаэдра справедливо равенство:

     Для доказательства теоремы Эйлера достаточно заметить, что у октаэдра     граней,     вершин и     ребер.

В больших размерностях

В четырёхмерном пространстве
существует шесть правильных многогранников ( многоячейников
):

В пространствах более высоких размерностей ( 4)}»>



существуют по три правильных многогранника ( политопа
):

• Эйлером
  была выведена формула, связывающая число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) любого выпуклого многогранника
  простым соотношением
  :

  В + Г = Р + 2.

• Отношение количества вершин правильного многогранника к количеству рёбер одной его грани равно отношению количества граней этого же многогранника к количеству рёбер, выходящих из одной его вершины. У тетраэдра это отношение равно 4:3, у гексаэдра и октаэдра — 2:1, а у додекаэдра и икосаэдра — 4:1.

• Правильный многогранник может быть комбинаторно описан символом Шлефли
  { p
  , q
  }, где:

  p
   — число рёбер в каждой грани;

  q
   — число рёбер, сходящихся в каждой вершине.

Символы Шлефли для правильных многогранников приведены в следующей таблице:

• Другой комбинаторной характеристикой многогранника, которую можно выразить через числа p
  и q
  , является общее количество вершин (В), рёбер (Р) и граней (Г). Поскольку любое ребро соединяет две вершины и лежит между двумя гранями, выполняются соотношения:

  
  
  
  

Из этих соотношений и формулы Эйлера можно получить следующие выражения для В, Р и Г:

Правильные многогранники известны с древнейших времён.
Их орнаментные модели можно найти на резных каменных шарах
, созданных в период позднего неолита
, в Шотландии
, как минимум за 1000 лет до Платона
.
В костях, которыми люди играли на заре цивилизации, уже угадываются формы правильных многогранников.

Аристотель
добавил пятый элемент — эфир

 — и постулировал, что небеса состоят из этого элемента, но он не сопоставлял его платоновскому пятому элементу.

Евклид
дал полное математическое описание правильных многогранников в последней, XIII книге Начал
.
Предложения 13—17 этой книги описывают структуру тетраэдра, октаэдра, куба, икосаэдра и додекаэдра в данном порядке.
Для каждого многогранника Евклид нашёл отношение диаметра описанной сферы к длине ребра.
В 18-м предложении утверждается, что не существует других правильных многогранников.

В XVI веке немецкий астроном Иоганн Кеплер
пытался найти связь между пятью известными на тот момент планетами Солнечной системы
(исключая Землю) и правильными многогранниками.
В книге « Тайна мира
», опубликованной в 1596 году, Кеплер изложил свою модель Солнечной системы. В ней пять правильных многогранников помещались один в другой и разделялись серией вписанных и описанных сфер. Каждая из шести сфер соответствовала одной из планет ( Меркурию
, Венере
, Земле
, Марсу
, Юпитеру
и Сатурну
).
Многогранники были расположены в следующем порядке (от внутреннего к внешнему): октаэдр, за ним икосаэдр, додекаэдр, тетраэдр и, наконец, куб.
Таким образом, структура Солнечной системы и отношения расстояний между планетами определялись правильными многогранниками.
Позже от оригинальной идеи Кеплера пришлось отказаться, но результатом его поисков стало открытие двух законов орбитальной динамики — законов Кеплера
, — изменивших курс физики и астрономии, а также правильных звёздчатых многогранников ( тел Кеплера — Пуансо
).

1. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.
   : Советская Энциклопедия
   , 1984. — Т. 4. — Стб. 552. — 1216 с.
   
2. Адамар Ж.
   
   Элементарная геометрия. Часть вторая. Стереометрия
   . — М.
   : Учпедгиз
   , 1951. — С. 218.
   
3. О терминологии: углы граней многогранного угла разными авторами называются как плоскими, так и линейными углами.
4. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.
   : Советская Энциклопедия
   , 1982. — Т. 3. — Стб. 712. — 1184 с.
   
5. Селиванов Д. Ф.
   ,.
   // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
    : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб.
   , 1890—1907.
   
6. Герман Вейль
   . Симметрия. Перевод с английского Б. В. Бирюкова и Ю. А. Данилова под редакцией Б. А. Розенфельда. Издательство «Наука». Москва. 1968. стр. 101
7. ↑ <sup>1
   
   
   
   2
   
   
   
   3</sup>
   
   
   
   
   Александров А. Д.
   и др.
   Геометрия: Учеб. для учащихся 11 кл. с углубл. изучением математики / А. Д. Александров
   , А. Л. Вернер
   
   , В. И. Рыжик
   
   . — М.
   : Просвещение, 2000. — С. 53—54. — ISBN 5-09-009475-6
   .
   
8. ↑ <sup>1
   
   
   
   2
   
   
   
   3</sup>
   
   
   
   
   Капкаева Л. С.
   Теория и методика обучения математике: частная методика в 2 ч. Часть 2: учеб. пособие для вузов
   . — 2-изд., испр. и доп. — М.
   : Издательство Юрайт, 2017. — С. 169—170. — (Университеты России). — ISBN 978-5-534-04941-1
   .
   
10. Гусев В. А., Мордкович А. Г.
    
    Математика: учебно-справочное пособие. — М.
    : Астрель, 2013. — С. 487. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2
    .
    
11. Смирнова И. М.
    Геометрия: 10-11-е класс: учеб. для учащихся общеобразоват. учреждений (базовый и профил. уровни)
    / И. М. Смирнова
    , В. А. Смирнов
    . — 5-е изд., испр. и доп. — М.
    : Мнемозина, 2008. — С. 87. — ISBN 978-5-346-01106-4
    .
    
12. Погорелов А. В.
    
    Геометрия. 10—11 классы: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни. — 9-е изд. — М.
    : Просвещение, 2009. — С. 80. — ISBN 978-5-09-021850-4
    .
    
13. Александров А. Д.
    и др.
    Геометрия: Учеб. для учащихся 11 кл. с углубл. изучением математики / А. Д. Александров
    , А. Л. Вернер
    , В. И. Рыжик
    . — М.
    : Просвещение, 2000. — С. 58—59. — ISBN 5-09-009475-6
    .
    

1. Селиванов Д. Ф.
   ,.
   // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона
    : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб.
   , 1890—1907.
   
2. Finbow, Hartnell, Nowakowski, Plummer, 2010
   , с. 894–912.
3. ↑ <sup>1
   
   
   
   2
   
   
   
   3</sup>
   
   
   
   
   Weisstein, Eric W.
   Octahedron
     (англ.)
   на сайте Wolfram MathWorld
   .
4. Steven Dutch.
   Enumeration of Polyhedra
   
   . Дата обращения: 8 ноября 2015.
   Архивировано из оригинала
   10 октября 2011 года.
   
   
5. . Дата обращения: 8 ноября 2015.
   Архивировано
   6 мая 2016 года.
   
   
6. . Дата обращения: 14 августа 2016.
   Архивировано
   17 ноября 2014 года.
   
   
7. Смольянинов Н. А.
   
   Практическое руководство по минералогии. — 2-е изд., испр. и доп. — М.
   : Недра
   , 1972. — С. 39. —
   
8. Klein, 2002
   , с. 633–649.
10. Two Dimensional symmetry Mutations
    by Daniel Huson
    

Список правильных многогранников

Название каждого многогранника происходит от греческого наименования количества его граней и слова «грань».