Кристаллографическая группа (фёдоровская группа) — дискретная группа движений -мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область.
Две кристаллографические группы считаются эквивалентными,
если они сопряжены в группе аффинных преобразований евклидова пространства.
Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп:
Пусть — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе .
Тогда — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная и совпадающая со своим централизатором в .
Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе является и достаточным условием того, чтобы группа была изоморфна кристаллографической группе.
Группа линейных частей кристаллографической группы сохраняет решётку ; иными словами, в базисе решетки преобразования из записываются целочисленными матрицами.
Число кристаллографических групп -мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями A004029 и A006227.
С точностью до эквивалентности имеется
Элементы симметрии конечных фигур, которые оставляют неподвижной хотя бы одну точку.
Все возможные комбинации точечных элементов симметрии приводят к 10 точеным группам симметрии в 2-мерном пространстве и 32 точечным группам в 3-мерном пространстве.
В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии — двойные вращения в двух абсолютно перпендикулярных плоскостях. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на −90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).
Сложные операции симметрии
Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 21 (поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 31 (поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 32 (поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 41 (поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 42 (поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 43 (поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 61, 62, 63, 64, 65 (поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 32, 43, 64, и 65 энантиоморфны осям 31, 41, 62, и 61, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп — в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.
Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой a, b или c. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой n в случае скольжения равного половине диагонали, или d в случае скольжения равного четверти диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскости n и d также называются клиноплоскостями. d плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. diamond — алмаз).
Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элеменатами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ. International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.
Символика Германа — Могена
Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы.
Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка;
A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке.
Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, 2/c — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении c). Под основными направлениями понимают:
Символы Германа — Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411.
Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют C на .
Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).
Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Cnv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной. Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
Dnh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии. Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрииTd — также содержит диагональную плоскость симметрии
n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.
Кристаллографическая точечная группа симметрии — это точечная группа симметрии, которая описывает макросимметрию кристалла. Поскольку в кристаллах допустимы оси (поворотные и несобственного вращения) только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.
Символика Шёнфлиса основана на классификации точечных групп по семействам и широко используется для обозначения вообще всех точечных групп, а не только кристаллографических.
Семейство групп с единственной поворотной осью обозначается латинской буквой C с индексом, показывающим порядок оси. К кристаллографическим относятся C1, C2, C3, C4 и C6.
Добавление горизонтальной плоскости к группам Cn обозначается дополнительным индексом h. Получаем группы C2h, C3h, C4h и C6h.
Добавление вертикальных плоскостей к группам Cn обозначается дополнительным индексом v. Группы C2v, C3v, C4v и C6v.
Поскольку в группе C1 не существует особых направлений, добавленная плоскость не может характеризоваться как вертикальная или горизонтальная. Такая плоскость обозначается индексом s. Таким образом, символ группы состоящей из одной плоскости симметрии — Cs (нем. — зеркало).
Группы с осями второго порядка, перпендикулярным главной оси обозначаются буквой D с индексом, показывающим порядок главной поворотной оси. К кристаллографическим относятся D2, D3, D4 и D6.
Добавление горизонтальной плоскости к группам Dn обозначается, так же, как и в случае Сn, дополнительным индексом h. Группы — D2h, D3h, D4h и D6h.
Добавление вертикальных плоскостей к группам Dn неоднозначно, так как плоскости могут располагаться как между горизонтальными осями второго порядка, так и совпадать с ними. В первом случае добавляется индекс d, обозначающий диагональное расположение плоскостей (по диагонали между направлениями осей второго порядка). Получаются кристаллографические группы D2d и D3d. В группах Dnd взаимодействие горизонтальных осей второго порядка и вертикальных зеркальных плоскостей приводит к возникновению зеркальной оси порядка 2n. Поэтому группы D4d и D6d не являются кристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядков 8 и 12, соответственно.
Добавление к группам Dn вертикальных плоскостей вдоль осей второго порядка порождает горизонтальную плоскость симметрии и получаются описанные выше группы Dnh
Группы, состоящие из одной зеркальной оси, обозначаются символом Sn. При нечётном n зеркальная ось эквивалентна наличию поворотной оси порядка n и перпендикулярной к ней плоскости, то есть группе Cnh, поэтому в группах Sn индекс n всегда чётный. К ним относятся S2 (группа, состоящая только из центра инверсии), S4 и S6. Любая зеркальная ось может описываться также, как и инверсионная ось, поэтому возможно альтернативное обозначение этих групп — Cni, где n — порядок инверсионной оси. Получаются Ci = S2, C4i = S4 и C3i = S6.
Кристаллографические точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка (то есть порядка больше двух), обозначаются символами T или О, в зависимости от присутствующих в них поворотных осей. Дополнительные индексы h и d указывают на наличие горизонтальных (и вертикальных) и диагональных плоскостей симметрии. Если в группе присутствуют только поворотные оси 2 и 3 порядков, то группа обозначается символом T (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в тетраэдре). Если в группе присутствуют только поворотные оси 2, 3 и 4 порядков, то группа обозначается символом O (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в октаэдре). Добавление горизонтальных плоскостей симметрии приводит к группам Th и Oh (Oh — группа симметрии куба и октаэдра). В обеих группах присутствуют как горизонтальные плоскости, так и вертикальные. Добавление диагональных плоскостей к группе T, приводит к группе Td (группа симметрии тетраэдра). Группа Od не существует, так как добавление диагональных плоскостей к группе O приведёт к предельной группе симметрии шара, содержащей все возможные повороты и отражения.
Обозначения Шёнфлиса используются в теории групп, физике и кристаллографии. В символике Шёнфлиса используются только порождающие элементы симметрии (то есть из которых можно вывести все остальные элементы симметрии группы). Обозначения инвариантны относительно выбора системы координат, что одновременно является как достоинством, когда нас просто интересует симметрия системы, так и недостатком, в случае если важна ориентация элементов симметрии точечной группы по отношению к другим объектам, например, системе координат кристалла, или по отношению к осям решётки Браве пространственной группы. Поэтому в кристаллографии чаще используются символы Германа-Могена, особенно для описания пространственных групп.
Символика Германа — Могена (международная символика)
В символе Германа — Могена обозначаются симметрически неэквивалентные элементы симметрии. Поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — , , и . При этом ось , которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало). Направлением плоскости является направление перпендикуляра к ней (то есть оси ). Зеркальные оси в международной символике не используются.
Ориентация элемента относительно координатных осей задаётся позицией элемента в символе группы. Если направление оси симметрии совпадает с направлением плоскости, то они записываются на одной позиции в виде дроби. Если инверсионная ось имеет бо́льшую величину симметрии, чем совпадающая с ней поворотная, то в символе указывают именно её (то есть записывают не , а ; при наличии в группе центра инверсии не 3, а ).
Низшая категория — точечные группы, в которых максимальный порядок любой оси (поворотной или несобственного вращения) равен двум.
К ней относятся группы 1, , 2, m, , 222, mm2 и . Если в символе группы три позиции, то
на 1-й позиции — направление вдоль оси X
на 2-й позиции — направление вдоль оси Y
на 3-й позиции — направление вдоль оси Z
В нестандартной установке группа mm2 может быть записана как m2m или как 2mm. Аналогично, группы 2, m и могут быть записаны более подробно — с указанием, вдоль какой координатной оси идёт направление оси второго порядка и/или плоскости. Например, 11m, 1m1 или m11. Эта особенность символики используется для однозначного описания пространственных групп при различном выборе системы координат, так как символы пространственных групп являются производными от символов соответствующих им точечных групп.
на 1-й позиции — направление главной оси, то есть ось Z
на 2-й позиции — побочное направление. То есть направление вдоль оси X и эквивалентной ей оси Y
на 3-й позиции — диагональное направление между симметрически эквивалентными побочными направлениями
К этой категории относятся группы 3, 4, 6, , , , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, , 2m, m2, , , и .
Поскольку ось 3 и перпендикулярная к ней плоскость эквивалентны оси , то = и m2 = m2, но использовать рекомендуется именно обозначения с инверсионной осью , так как её симметрия выше, чем у оси 3. Группы 2m и m2 могут быть записаны как m2 и 2m. Выше были приведены обозначения, принятые в русскоязычной литературе. Последовательность символов 2 и m в этих группах становятся важна при описании производных от них пространственных групп, так как элемент на второй позиции направлен вдоль оси ячейки Браве, а элемент на третьей позиции направлен по диагонали грани. Например, символы P2m и Pm2 обозначают две разные пространственные группы. Группа 32 тоже может быть более подробно записана как 321 или 312 для разных ориентаций оси 2. Аналогично, различные ориентации приводят к двум разным пространственным группам P321 и P312. То же относится и к группам 3m (альтернативные записи 3m1 и 31m) и (альтернативные записи 1 и 1).
Высшая категория — точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка.
на 1-й позиции — эквивалентные направления X, Y, Z
на 2-й позиции — всегда присутствующие там четыре оси 3 или
на 3-й позиции — диагональное направление между координатными осями
К этой категории относятся пять групп — 23, 432, , 3m и
Международные символы обычно упрощают, заменяя на m, если ось n порождена другими элементами симметрии, указанными в символе. Нельзя убрать лишь обозначение главной оси в средней категории.
Например, записывают как mmm, как mm, а как mm.
Символы Шубникова занимают промежуточное положение между символами Шёнфлиса и символами Германа — Могена. По виду они скорее похожи на последние, но по смыслу ближе к символам Шёнфлиса. Так же, как и в символах Германа — Могена, оси обозначаются арабскими цифрами, а плоскость — символом m. Однако для обозначения оси несобственного вращения выбирается зеркальная ось, а не инверсионная, как в международном символе. Зеркальная ось обозначается арабской цифрой со значком тильды: зеркальная ось 2-го порядка (то же, что и центр инверсии ), зеркальная ось 4-го порядка (она же инверсионная ось четвёртого порядка ) и зеркальная ось 6-го порядка (эквивалентна инверсионной оси третьего порядка ). Так же, как и в символах Шёнфлиса, обозначаются только порождающие элементы симметрии. Например, шубниковский символ 4:2, так же как и D4 у Шёнфлиса, обозначает, что группа образована осью 4-го порядка и перпендикулярной к ней осью 2-го порядка, в то время как международный символ 422 указывает также на наличие в группе симметрически неэквивалентных осей второго порядка.
Направление побочных осей и плоскостей указывается через знак : если они перпендикулярны главной оси, • — если параллельны главной оси и / — если наклонны по отношению к главной оси.
Следует обратить внимание на обозначения групп и . Так же, как и в соответствующих международных символах 2m и m, в них обозначаются оси несобственного вращения, в то время как в символах Шёнфлиса D2d и D3d обозначаются только поворотные оси, входящие в состав осей несобственного вращения (ось 2 входит в и ось 3 входит в ).
Как и в международной системе, наличие осей симметрии обозначается арабскими цифрами, и в обоих обозначениях указываются не только порождающие элементы, но и симметрически неэквивалентные. Тут, однако, есть небольшое различие — в орбифолдной системе обозначаются не просто неэквивалентные оси симметрии, а неэквивалентные направления. У всякой оси есть два направления («верх и низ» для вертикальной или «лево и право» для горизонтальной). Например, в группах с единственной осью (Cn по Шёнфлису) эти направления неэквивалентны, поэтому такие группы обозначаются как nn. К кристаллографическим относятся группы 11, 22, 33, 44 и 66. В группах с осями 2-го порядка, перпендикулярными главной оси (Dn по Шёнфлису), оси 2-го порядка «переворачивают» главную ось на 180 градусов, делая таким образом оба её направления эквивалентными. Однако самих направлений 2-го порядка в таких группах два типа, поэтому группы обозначаются как n22. Порядок цифр не важен, важно лишь их положение по отношению к символу плоскости симметрии (если она присутствует в группе), о чём будет написано ниже. Кристаллографическими будут группы 222, 322, 422 и 622 (можно писать и 222, 223, 224 и 226). Интересно сравнить эти символы с соответствующими международными 222, 32, 422 и 622. В группах с главной осью чётного порядка присутствует два класса симметрически неэквивалентых горизонтальных осей 2-го порядка (поэтому две двойки в международном символе), но у каждой из осей оба направления эквивалентны. В группах с главной осью нечётного порядка, все оси 2-го порядка эквивалентны (поэтому международный символ 32, а не 322), но «левое» и «правое» направления у этих горизонтальных осей различны, поэтому всё равно получаем два класса симметрически неэквивалентных направлений 2-го порядка, и в орбифолдном обозначении получается 322 (522, 722 и т. д.).
Наличие в группе одной или нескольких плоскостей симметрии обозначается единственной звёздочкой *. При этом если символ оси расположен правее звёздочки, то значит через ось проходят плоскости симметрии (n плоскостей через ось n-го порядка), если цифра расположена левее звёздочки, то плоскости через ось не проходят. Например, в группе *332 (Td по Шёнфлису), через все оси проходят плоскости, а в группе 3*2 (Th по Шёнфлису) плоскости проходят только через оси 2-го порядка, но не через оси 3-го.
Ещё несколько примеров:
В группах с плоскостью симметрии, перпендикулярной главной оси симметрии (Cnh по Шёнфлису), оба направления оси становятся эквивалентными и группы обозначаются символом n*. Кристаллографическими будут группы 2*, 3*, 4* и 6*. Если же плоскость симметрии проходит через ось (Cnv по Шёнфлису), то, как было сказано выше, звёздочка ставится левее цифры, и получаем группы *22, *33, *44, *66. Цифры снова удваиваются, так как направления главной оси («верх и низ») снова неэквивалентны.
Не только плоскости симметрии могут переводить части фигуры (фрагменты мотива) в зеркально им симметричные. Например, к таким элементам относятся зеркальные и инверсионные оси. Для двумерных кристаллографических групп на плоскости таким элементом является скользящее отражение (то есть отражение с одновременным сдвигом вдоль линии отражения). Наличие в группе такого элемента обозначается значком x («чудо» по Конвею). Этот значок используется только в случае, если действие элемента никак нельзя представить в виде комбинации других элементов из символа группы. В случае 3-мерных точечных групп, это относится к группам, состоящим из единственной зеркальной оси чётного порядка, S2 = Ci, S4 и S6. Они будут обозначаться 1x, 2x и 3x, соответственно.
Изображение точечных групп. Стереографические проекции точечных групп
Плоскости симметрии обозначены двойными линиями, поворотные оси — соответствующим многоугольником (оси второго порядка — овалом), центр инверсии — незамкнутой окружностью. Инверсионные оси четвёртого и шестого порядков обозначены незакрашенными квадратом и шестиугольником; при этом оси второго и третьего порядков, входящие в них (ось 2 принадлежит , ось 3 принадлежит ) тоже обозначаются.
Схема связи между точечными группами
На данной схеме группы расположены от менее симметричных (снизу) до групп с более высокой симметрией (сверху). Группы одинакового порядка лежат на одной высоте.
Каждая нижележащая группа является подгруппой старшей группы, связанной с ней линией. Для удобства восприятия линии даны разного цвета.
Первый вывод всех 32 кристаллографических точечных групп был дан в 1830 году Иоганном Гесселем в его трактате «Кристаллометрия или кристаллономия и кристаллография, разработанная оригинальным образом на основе нового общего учения собственно о фигурах, с полным обозрением важнейших работ и методов других кристаллографов». Однако этот вывод точечных групп остался незамеченным. Следующий вывод был дан Огюстом Браве в 1849 году в мемуаре «Исследование о многогранниках симметричной формы». Однако Браве не учитывал оси несобственного вращения (зеркально-поворотные или инверсионные), и в результате пропустил группу S4. Все остальные 31 кристаллографические группы можно вывести как комбинацию только осей симметрии, плоскостей отражения и центра инверсии. Наконец, в 1867 году Аксель Гадолин в «Записках Петербургского минералогического общества» опубликовал «Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала». Именно в работе Гадолина впервые в явном виде сообщается, что число видов симметрии для кристаллических многогранников (то есть кристаллографических точечных групп симметрии) равно 32. В этой работе Гадолин ввёл в науку понятие инверсионной оси. Также именно в этой статье впервые появляются стереографические проекции 32-х точечных групп.
- Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. М.: МЦНМО, 2009.
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008
- Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line)
- П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line)
- А. В. Шубников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во АН СССР, 1951
- И. И. Шафрановский. История кристаллографии. X IX век, Л., «Наука», 1980
Все ресурсы в архиве электронных ресурсов защищены авторским правом, все права сохранены.
Как
уже было отмечено, точечная группа
(класс) симметрии кристалла является
совокупностью операций симметрии,
которая совмещает кристалл с самим
собой, при которых одна (особенная) точка
кристалла остается неподвижной
(трансляции отсутствуют). Точечные
группы описывают внешнюю форму (огранку)
кристалла. Симметрия внешней формы
кристалла определяется симметрией его
атомного строения, которое обусловливает
и симметрию физических свойств кристалла
(диэлектрических, магнитных и др.).
Для
каждой точечной группы можно выделить
минимум исходных элементов, необходимых
для выведения всей совокупности
элементов. Порядок группы определяется
количеством элементов, которые в нее
входят.
Операциями
точечной симметрии является: повороты
вокруг оси симметрии порядка
на угол
,
отражение в плоскости симметрии
(зеркальное отражение), инверсия
(симметрия
относительно точки), инверсные повороты
.
Вместо инверсионных поворотов иногда
рассматривают зеркальные повороты
Рассмотрим
действие инверсионных осей симметрии.
Инверсионная ось симметрии
представляет собой совместное действие
– произведение оси симметрии и центра
симметрии:
.
При этом должны возникать качественно
новые элементы симметрии. Но не все
такие образованные элементы симметрии
являются новыми. Например, инверсионная
ось симметрии первого порядка эквивалентна
центру симметрии (центру инверсии);
действие инверсионной оси второго
порядка тождественно плоскости симметрии,
которая перпендикулярна оси; операция
эквивалентна действию оси третьего
порядка и центра симметрии; операция 6
также не дает новый элемент симметрии,
поскольку эквивалентна последовательному
действию оси третьего порядка и плоскости
симметрии. Такое свойство имеет только
ось 4 (рис.1.3). В данном случае грань А
возвращается
на 900
в промежуточное состояние и отражается
в центре, переходя в грань В.
Отметим также, что инверсионная ось
четного порядка
Следовательно,
внешняя симметрия кристаллических
многогранников полностью описывается
операциями симметрии:
Кристаллы
по симметрии разделяют на категории,
используя понятие единичного направления,
то есть такого, которое не повторяется
в кристаллическом многограннике. Его
еще называют особенным. Всего существует
три категории, каждая из которых включает
несколько сингоний. В определенную
сингонию попадают кристаллы с одинаковой
симметрией элементарных ячеек и
одинаковой системой координат. Всего
существуют 7 сингоний.
К
высшей
категории относится лишь одна сингония
– кубическая. Оси
параллельны трем взаимно перпендикулярным
осям симметрии 4, или
,
или 2 порядка.
К
средней
категории относятся три сингонии:
– тригональная;
за ось
принимают ось симметрии 3 или
порядка, оси
лежат в плоскости, которая перпендикулярна
к
,
и совпадают с осями 2 порядка или
перпендикулярны к плоскостям симметрии
(если такие есть);
– тетрагональная;
за ось
принимают ось симметрии 4 или
порядка, оси
и
лежат в плоскости, которая перпендикулярна
к
,
и совпадают с осями 2 порядка или
перпендикулярны к плоскостям симметрии
(если такие есть);
– гексагональная;
тетрагональная; за ось
принимают ось симметрии 6 или
порядка, ось
и
лежат в плоскости, которая перпендикулярна
к
,
и совпадают с осями 2 порядка или
перпендикулярные к плоскостям симметрии
(если такие есть).
К
низшей
категории также принадлежат три сингонии:
– ромбическая;
ось выбирают параллельно осям симметрии
2 или вдоль перпендикуляров к плоскостям
симметрии;
– моноклинная;
ось выбирают вдоль оси симметрии 2, или
вдоль перпендикуляра к плоскости
симметрии, оси
и
лежат в плоскости, которая перпендикулярна
к оси 2;
– триклинная;
оси кристаллографической системы не
заданы элементами симметрии, а выбраны
вдоль ребер кристалла или элементарной
ячейки при условии
Для
идеальных кристаллических многогранников
существует 32 точечных группы симметрии,
которые разделяются на два класса. К
первому классу принадлежит 27 групп, в
которых присутствует ось
Ко
второму классу относят группы, в которых
есть несколько осей порядка
.
Их называют группами кубической
симметрии, существуют 5 таких групп.
Функции,
которые описывают зависимость различных
свойств кристалла от направления, имеют
определенную точечную симметрию, которая
однозначно связана с группой симметрии
огранки кристалла.
Многие
свойства кристаллов, которые принадлежат
к определенным точечным группам
симметрии, описываются так называемыми
предельными
группами симметрии
– группами Кюри3.
Они обладают осью симметрии бесконечного
порядка, которая отражается символом
.
Наличие оси
означает, что объект совмещается с
собой при повороте на любой угол, в том
числе на бесконечно малый угол. Известно
семь групп Кюри, для наглядности их
изображают с помощью фигур конечных
размеров, которые представляют собой
тела вращения (рис.1.4).
Группа
содержит только одну ось бесконечного
порядка. Ей отвечает конус, который
равномерно вращающийся влево или вправо.
Ось симметрии полярная (полярным
называется направление, концы которого
физически и геометрически неэквивалентные).
содержит бесконечное число осей симметрии
без плоскостей и центра симметрии. Ей
отвечает шар, у которого все диаметры
закручены по правому (или левому) винту.
Такая симметрия удельного вращения
плоскостей поляризации в изотропной
среде.
Группа
– симметрия шара. Содержит центр
симметрии, бесконечное число осей
симметрии порядка
и бесконечное
число плоскостей симметрии. Это симметрия
полей гидростатического давления,
однородного нагрева.
32
кристаллографических и 7 предельных
классов – это 39 возможных типов проявления
анизотропии в физических свойствах
кристаллов. Класс
характеризуется предельной анизотропией.
В классах
и
все направления эквивалентны и анизотропия
в них невозможна. В каждом из 36 оставшихся
классов на анизотропию тех или других
физических свойств накладываются
определенные ограничения.
Группы симметрии, операции которых оставляют хотя бы одну точку пространства на месте, называются точечными группами симметрии. Типичные примеры точечных групп — группа вращений, группа линейных преобразований, зеркальная симметрия. Понятие точечной группы также обобщается для Евклидового пространства любой размерности. То есть это группа преобразований, которые не меняют расстояния между точками n-мерного пространства, и при этом оставляют неподвижной хотя бы одну точку. Последнее условие отличает точечные группы от пространственных групп, которые тоже не меняют расстояния между точками, но смещают все точки пространства. Точечные группы описывают симметрию конечных объектов пространства, в то время как пространственные группы — бесконечных.
В трёхмерном пространстве элементами точечных групп могут быть вращения, отражения и их композиции. Все точечные группы являются подгруппами ортогональной группы.
Все трёхмерные точечные группы, содержащие только вращения, являются подгруппами группы вращений.
Число возможных точечных групп бесконечно, но они могут быть разбиты на несколько семейств.
Частным случаем точечных групп являются кристаллографические точечные группы, описывающие возможную симметрию внешней формы кристаллов (а для n-мерного пространства, n-мерных периодических объектов). Их число конечно в пространствах любой размерности, так как наличие кристаллической решётки накладывает ограничение на возможные углы поворота.
- Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
- П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
- И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. — М.: Мир, 1989 (страница 99)
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
берется из вертикального столбца, а второй − из горизонтальной строки.
Можно показать, что существуют только две абстрактные группы четвертого порядка, не изоморфные друг другу. Структура первой из них приведена в таблице умножения
e a b c
e e a b c
a b c e
b c e a
c e a b
Из приведенной структуры видно, что = , = , = = = , т.е. группа абелева, циклическая: , , , = ; каждый элемент образует класс сопряженных элементов, число классов сопряженных элементов равно порядку группы .
Вторая группа − это так называемая или Клейна порядка 4 имеет структуру
a e c b
c b a e
Из таблицы умножения видно, что = = = , ab = c, ac = b, bc = a, группа абелева, каждый элемент образует класс сопряженных элементов. Генераторами группы являются элементы , и .
В группах симметрии их элементы − операции симметрии − имеют конкретный геометрический смысл. Некоторые различные группы симметрии, т.е. отличающиеся геометрически (например, у одной − отражение, а у другой − поворот на 180), могут иметь одинаковую таблицу умножения, т.е. быть изоморфными.
называется группа операций симметрии, оставляющих неподвижной одну точку, поэтому точечные группы могут применяться для описания симметрии тел конечных разме-
ров. Точечные группы находят применение в квантовой механике и физике твердого тела. В кристаллографии точечные группы применяются для описания симметрии внешней формы кристалла, симметрии физических свойств кристалла, представляемых тензорами различного ранга.
При рассмотрении симметрии кристаллического пространства
точечные группы кристаллические классы) являются комби-
нацией закрытых элементов симметрии, причем точечные группы (кристаллические классы) связаны с комбинацией поворотных осей. Учитывая наличие циклических групп , , , , , связанных с поворотными осями , , , , , и возможные комбинации поворотных осей , , , , , , получаем 11 точечных групп с поворотными осями симметрии.
Рассмотрим некоторые точечные группы первого рода. Группы поворотов имеют единственный элемент сим-
метрии − ось , эти группы − циклические, порядка = . Главная ось в этих группах всегда полярна, у нечетных групп все направления полярны, у четных − направления, перпендикулярные , неполярны.
Группы диэдров − содержат главную ось симметрии и осей . Главная ось семейства − неполярная, порядок групп этого семейства 2, они содержат в качестве подгрупп группы и .
На рис. 1.42 показаны стереографические проекции элементов симметрии кристаллографических групп и .
Рис. 1.42. Стереографические проекции элементов симметрии групп:
– (); б – ()
Группа содержит три оси второго порядка , ей соответствует четверная группа Клейна. Элементы группы можно представить в виде таблицы:
Элементы, входящие в один класс сопряженных элементов, располагаются в одной ячейке. Как видно, каждый элемент образует класс сопряженных элементов. Порядок группы = 4, число классов со-
Группа − группа тетраэдра , порядок группы = 12. Группа имеет четыре оси третьего порядка и три оси второго порядка . Таблица для группы имеет вид
Группа − группа октаэдра , порядок группы = 24. Группа имеет четыре оси третьего порядка три оси четвертого порядка и шесть осей второго порядка . Таблица для группы имеет вид
Рассматривая комбинации поворотных и инверсионных осей, получим еще 21 точечную группу (группы второго рода), таким образом, возможно существование 32 точечных групп.
табл. 1.3 приведены все кристаллографические точечные группы и некоторые их характеристики. Если плоскость симметрии
перпендикулярна главной оси , то это обозначается как (или
/), если ось лежит в этой плоскости, то − . Если главная ось вертикальна, то по Шенфлису первые группы имеют обозначения (− горизонтальная плоскость), вторые − (− вертикальная плоскость).
обозначениях по Шубникову знак умножения между элементами симметрии означает их параллельность, знак деления − перпендикулярность, косая черта − косое расположение этих элементов.
таблице приведены также «формулы симметрии», где использованы обозначения: − оси симметрии, − центр симметрии, − плоскость симметрии; перед каждым символом стоит число соответствующих элементов.
Стереографические проекции элементов симметрии для групп
(), () и () приведены на рис. 1.43.
Кроме деления на сингонии 32 класса симметрии можно группировать по более крупным подразделениям.
Распределение кристаллических классов (точечных групп) по сингониям
Рис. 1.43. Стереографические проекции элементов симметрии групп
23T)432Om 3 mO
Наличие или отсутствие центра симметрии. В классах с цен-
тром симметрии не может быть полярных направлений, а значит, не может быть и физических свойств, характеризуемых полярной симметрией (пироэлектричество, пьезоэлектричество).
В дифракционных методах исследования особенно выделяют классы симметрии, содержащие центр симметрии, их называют
лауэвскими m 3 mm 3 6mmm6m4mmm4m3 m3
, /, . Таким образом, существует 11 лауэвских классов. . Два объекта, описываемые группой симмет-
рии, содержащей операции только первого рода, и зеркально равные друг другу, называются энантиоморфными. Для описания принадлежности объектов к правой или левой энантиоморфной разновидностям пользуются также термином «хиральность». К энантиоморфным классам относятся 11 классов с поворотными элементами симметрии: 1, 2, 3, 4, 6, 23, 222, 32, 622, 422, 432.
кристалла называется многогранник, все грани которого можно получить из одной грани с помощью преобразований симметрии, свойственных точечной группе симметрии данного кристалла.
Простыми формами, принадлежащими кристаллам класса при выборе грани (111), (100) или (110) являются октаэдр, куб и ромбический додекаэдр.
. О. Бравэ показал, что все многообразие кристаллических структур можно описать с помощью 14 типов