ОСЬ ЗОНЫ ЭТО

Установка кристаллов

Для определения кристаллографических символов и изображения стереографических проекций пользуются стандартными международными правилами установки кристаллов.

Установка кристалла
– это выбор кристаллографических осей, единичной (масштабной) грани и его ориентировка в пространстве относительно этих осей и грани.

Кристаллографические системы координат зависят от симметрии кристаллов и изменяются по сингониям. Для кристаллов тригональной и гексагональной сингоний принимаются четыре оси x, y, z, u, а для остальных сингоний x, y, z.

В кристаллографии используется два вида кристаллографических осей: трехкоординатная и четырехкоординатная система (рис. 5.2). Четырехкоординатная система используется в тригональной и гексагональной сингониях, а трехкоординатная – для кристаллов триклинной, моноклинной, ромбической, тетрагональной и кубической сингоний.

Рисунок 5.2 — Направления кристаллографических осей в: а – трехкоординатной, б – четырехкоординатной системах

Для трехкоординатной принята правая система координат, то есть положительными направлениями считаются: для оси Х – вперед на наблюдателя, У – вправо от наблюдателя, Z – вверх. В четырехкоординатной системе оси x, y, u, лежат в одной плоскости, угол между ними составляет 120°, ось z -перпендикулярна им.

Единичную грань
принимают таким образом, чтобы она пересекала либо все координатные оси, либо максимальное их число. При этом масштабные отрезки, отсекаемые ею, принимаются за единицы измерения по соответствующей координатной оси.

Для каждой сингонии характерными являются углы между координатными осями: между x и y –α, между z и x – β, между x и y – γ и масштабные отрезки (единичные параметры) на координатных осях: на оси x отрезок обозначается а
, на оси у – в
, на оси z – с
.

Таблица 5.1 — Характеристика систем координат в зависимости от сингонии

Оси координат располагаются в соответствии с симметрией кристаллов либо по осям симметрии, либо по нормалям к плоскостям, а если их нет – по ребрам кристаллического многогранника. В табл. 5.1 приведены правила установки кристаллов по сингониям, а также характеристики координатных систем. Фактически в каждой сингонии своя система координат, которая отличается от системы координат другой сингонии координатными углами и единичными параметрами. Только в тригональной и гексагональной сингониях используется единая четырехкоординатная система.

5.3 Закон Гаюи

Открыл этот закон в 1784 году Жан Огюст Гаюи. Это учение о символах основывается на одном из важнейших законов кристаллографии – законе рациональности отношений параметров (закон Гаюи).

Предположим, что тщательно изучив наши рекомендации по установке кристаллов, вы правильно расположили модель кристалла в координатной системе, приняв за координатные оси три непараллельных ребра. А теперь пронаблюдайте, где пересекают координатные оси две грани Вашего кристалла при их мысленном продолжении (рис. 5.3). Одна – единичная, А ₁
,В ₁
,С ₁
, выбранная в соответствии с сингонией по правилам табл. 5.1, отсекает отрезки ОА ₁
, ОВ ₁
, ОС ₁
, называемые единичными параметрами. Другая непараллельная грань (A _x
, B _x
, C _x
) характеризуется параметрами ОA _x
, ОB _x
, ОC _x
.

Рисунок 5.3 — Параметры и кристаллографические оси

Закон Гаюи гласит
: двойные отношения параметров, отсекаемые двумя любыми гранями кристалла на трех пересекающихся ребрах его, равны отношениям целых и сравнительно малых чисел

Наличие целых чисел объясняется решетчатым строением кристаллов. Ребра кристалла соответствуют рядам решетки, грани – плоским сеткам. Плоские сетки — (грани), пересекая три ряда решетки (ребра), образуют на них отрезки (параметры), содержащие целые числа промежутков между узлами решетки (элементарными частицами) (рис. 5.3).

Наличие малых чисел связано с тем, что реальные грани кристаллов построены не любыми плоскими сетками, а только теми, которые обладают наибольшей плотностью расположения в них элементарных частиц.

Закон Гаюи связывает внешнюю форму кристаллов с их внутренним решетчатым строением.

При практическом применении закона Гаюи для определения индексов граней пользуются обратными отношениями параметров, получивших название индексов Миллера:

Индексы Миллера – это величины, обратные параметрам Вейса, приведенные к целым числам. Для получения индексов Миллера в виде трех взаимно простых чисел проводят следующие математические преобразования:

— приводят дроби к общему знаменателю,

— находят дополнительный множитель,

— отбрасывают общий знаменатель,

— сокращают полученное соотношение на общий множитель.

Для примера определим индексы Миллера грани А _x
В _x
С _x
(рис. 5.3), параметры выразим числом промежутков между элементарными частицами (или в мм, см):

Индекс грани А _x
В _x
С _x
— (2 3 3).

Таким образом, любую грань (А _x
В _x
С _x
), а точнее — ее наклон к кристаллографическим осям, можно охарактеризовать тремя целыми и взаимно простыми числами – индексами (

), представляющими отношения трех дробей, числители которых являются параметрами единичной грани (ОА ₁
,ОВ ₁
, ОС ₁
), а знаменатели соответствуют параметрам искомой грани (А _x
, В _x
, С _x
). После математических преобразований индексы имеют вид небольших целых чисел. Чем больше параметр грани, то есть, чем больший отрезок отсекает грань на координатной оси, тем меньший индекс она имеет по данной оси.

Условное обозначение символов
:

Если грань пересекает какую-то ось с отрицательной стороны, то над индексом по этой оси ставят знак минус (

).

В качестве символа простой формы выбирается грань, обладающая максимальным количеством положительных индексов.

На практических занятиях по кристаллографии отрезки, отсекаемые гранями на координатных осях определяем приблизительно при помощи линейки и карандаша. Более точные вычисления производятся на основании специальных формул с применением гониометрических измерений.

5.4 Практические рекомендации по определению кристаллографических символов

Практические рекомендации по определению кристаллографических символов заключаются в следующем:

1. Символ единичной грани, если она пересекает все три координатные оси,

, независимо от того, какие отрезки – равные или неравные отсекает она по этим осям. В этом легко убедится, подставив в общую формулу вместо ОА _x
, ОВ _x
, ОС _x
ее параметры ОА ₁
,ОВ ₁
, ОС ₁
.

Символ грани А _x
В _x
С _x

2. Если грань, в том числе единичная, параллельна одной или двум координатным осям, то индекс, соответствующий данным осям, равен нулю. Пусть грань параллельна оси x и y, т. е.

Символ грани (001)

3. Для определения символа грани кристалла кубической сингонии
достаточно измерить ее отрезки, которые отсекает эта грань по координатным осям, и взять величины им обратные, т.к. О А ₁
=ОВ ₁
= ОС ₁
. Тогда

Индексы некоторых простых форм кубической сингонии:

4. В тетрагональной сингонии
ОА ₁
= ОВ ₁
≠ ОС ₁
, поэтому общая формула
принимает вид

В случае вертикальных граней, т.е. при ОС _x
= ∞

Индексы некоторых простых форм тетрагональной сингонии:

5. В триклинной, моноклинной и ромбической сингониях
часто реальная единичная грань, пресекающая все три координатные оси, отсутствует. В указанных сингониях чаще всего используются индексы

.

Рисунок 5.4 — Символы граней и простых форм прямоугольного параллелепипеда (ромбическая сингония)

Индексы некоторых простых форм низшей категории:

6. За единичную грань в тригональных и гексагональных
кристаллах принимают такую грань, которая отсекает равные отрезки на двух горизонтальных осях, и неравный — по оси Z.

Возможны два случая установки
:

1) Грань, отсекающая равные отрезки на двух соседних осях, образующих друг с другом угол 60°, проходит параллельно третьей (рис.5.5а).

Рисунок 5.5 – Варианты установки кристаллов тригональных и гексагональных сингоний

2) Грань, отсекающая равные отрезки на двух горизонтальных осях, образующих угол 120° и пересекает третью ось (рис. 5.5б). Отрезок по последней оси вдвое короче отрезков по двум другим осям.

Важно заметить, что алгебраическая сумма первых трех индексов всегда равна нулю. Из четырех индексов грани

третий і

не является независимым и определяется первым двумя і = — (h+ k)

.

Для примера обозначения граней кристаллов с помощью символов вернемся к рис.5.1. Согласно правилу установки (табл.5.1), ось z выбираем вдоль L ₄
. оси x, y в случае а) – по осям L ₂
,проходящим через середины ребер кристалла; в случае б) – по осям L ₂
, проходящим через середины граней. Тогда единичная грань дипирамиды и в том, и в другом случае отсекает на двух горизонтальных осях равные масштабные отрезки и неравный отрезок по третьей оси.

1. Установка кристалла в случае (а)

2. Установка кристалла в случае (б)

Дипирамида: Индексы граней и символ простой формы аналогично (а).

Приведенные символы дают ясное представление о неодинаковом расположении граней на обоих кристаллах.

Кристаллографической
зоной называется совокупность плоскостей
или граней кристалла, параллельных
одному направлению, называемому осью
зоны (рис.1.15). Параллельным переносом
плоскости или грани одной зоны можно
заставить их пересечься друг с другом
по оси зоны. Любая зона однозначно
определяется осью зоны, которую можно
записать как вектор R
_mnp

:
R
= m
a
+ n
b
+ p
c
.

Найдем условие зональности плоскостей
относительно вектора R
в кубической
системе. Если плоскость параллельна
оси R
, то нормаль к этой плоскости
всегда будет перпендикулярна оси зоны.
Последнее условие является необходимым
и достаточным, чтобы определить
принадлежность плоскости к данной
кристаллографической зоне.

Рис. 1.15.
Кристаллографическая зона.

Нормалью к
плоскости ( hkl
) является вектор H

обратной
решетки, равный H
= h
a
*+ k
b
*+ l
c*.
Если ( hkl
)
принадлежит зоне с осью R
, то H
перпендикулярен R —
значит должно
выполняться условие ( HR
)=0. Подставляя
значение векторов H
и R
, получим
условие зональности плоскостей в
кубической решетке

( HR
) =  hm
+ kn

+ lp 
= 0 . (1.30)

Определим индексы оси зоны по индексам
двух плоскостей зоны ( h
₁

k
₁

l
₁

)
и ( h
₂

k
₂

l
₂

).
Для обеих плоскостей условие зональности
определяет систему уравнений:

Решение этой системы дает:

,

,

, (1.32)

где

— общий множитель, равный =

Все
индексы прямой R
можно сократить на
общий множитель 1/. При этом прежние и новые их значения
обозначают одну и ту же прямую. Если
определение ведется для какого-либо
известного кристалла, то мы получим
численные значения кристаллографических
индексов оси зоны.

Найти индексы
оси зоны для плоскостей и (
)
кубической решетки.

Условие
зональности согласно (1.30)

=1,

=1
и

=
–2

Кристаллографические проекции

При графическом
изображении кристаллов широко пользуются
различными их проекциями. Проекции
применяются для решения ряда задач
кристаллографии и рентгеноструктурного
анализа: определения ориентировки
кристаллов, индицирования рентгенограмм
и т.д. Обычно ими пользуются тогда, когда
нет необходимости определять межплоскостные
расстояния, а требуется установить лишь
взаимную ориентацию атомных плоскостей,
граней и ребер кристалла. Поскольку
расстояния между параллельными
плоскостями кристалла равны, то всю
совокупность параллельных плоскостей
при построении проекций заменяют одной
плоскостью, а все параллельные прямые
— одной прямой.

В целом весь проектируемый кристалл
заменяется пучком прямых и плоскостей,
проходящих через одну точку. Полученное
построение называют кристаллическим
комплексом
.

Таким образом,
кристаллический комплекс — это совокупность
прямых и плоскостей, параллельных ребрам
и граням кристалла, проходящих через
одну точку. Эта точка называется центром
комплекса.

При
проектировании кристаллического
комплекса на плоскость получают линейную
проекцию кристалла; при проектировании
на сферу — сферическую
. На линейной
проекции плоскость изобразится прямой,
являющейся ее следом; прямая — точкой.
Неудобство этой проекции состоит в том,
что для изображения всех плоскостей и
прямых необходима бесконечно большая
плоскость проекций. Поэтому линейная
проекция применяется очень редко.

При построении
сферической проекции центр сферы
совмещается с центром комплекса.
Очевидно, на сферической поверхности
все плоскости кристаллического комплекса
проектируются в виде больших кругов,
стягиваемых сферой, прямые — двумя
диаметрально противоположными точками.
Неудобством сферической проекции при
большом числе проектируемых плоскостей
является сложность и громоздкость
построения.

В кристаллографии,
при решении многих задач, пользуются
преимущественно обратным
кристаллографическим комплексом
, в
котором плоскости заменяют нормалями
к ним, а прямые — перпендикулярными к
ним плоскостями. Полученная совокупность
прямых и плоскостей, проходящих через
одну точку 0, и носит название обратного
или полярного комплекса
. Точка 0 —
центр комплекса.

Все проекции,
полученные при проектировании полярного
комплекса, имеют приставку “гномо”.
Проекция полярного комплекса на плоскость
носит название гномонической
проекции.
Плоскость (hkl
) в ней изобразится
точкой. Недостаток этой проекции тот
же, что и у линейной, а именно для
построения всей совокупности проекций
плоскостей требуется очень большая
площадь проекций. Чтобы устранить этот
недостаток, плоскость проекций заменяют
сферой. В результате получаем
гномосферические
проекции.

Проекцией
плоскости ( hkl
) здесь будет точка
пересечения M нормали со сферой. Положение
точки M на сфере описывается в
кристаллографии, выраженными в градусах:
полярным расстоянием,
и долготой. Полярное
расстояние или широта отсчитывается
обычно от полюса и меняется в пределах
от 0 до 180градусов.

Долготу
отсчитывают от некоторого начального
меридиана от 0 до 360градусов по часовой стрелке, если
смотреть с верхнего полюса.

Недостаток
гномосферической проекции состоит в
том, что определение положения точек
на сфере проекций и решение ряда задач
связано с гониометрическими измерениями
(на сфере). Это неудобно.

Наиболее
часто в кристаллографии пользуются
гномостерео-графическими
проекциями.
Они включают в себя достоинства,
свойственные линейным и гномоническим
проекциям, а именно: комплекс проектируется
на плоскость, которая ограничена кругом
проекций. Здесь так же, как и в предыдущих
случаях, центр полярного комплекса
совмещается с центром сферы
(рис.1.16).
Через центр сферы проводится плоскость
проекции P, которая пересекает сферу по
большому кругу. Это сечение называется
основным кругом проекции.

Прямая,
перпендикулярная к плоскости P и
проходящая через центр О, пересекает
сферу в двух точках N и S, которые называют
полюсами
проекций
. При построении
гномостереографической проекции
плоскости ( hkl
) точку выхода ее нормали
на сфере (точку M) соединяют с полюсом
проекций, расположенным по другую
сторону от плоскости Р. Точка пересечения
прямой MS с плоскостью P (точка Q) и будет
являться гномостереографической
проекцией плоскости ( hkl
).

Легко видеть,
что проекции всех плоскостей кристалла
находятся в пределах большего круга.
Таким образом, размеры проекции конечны
и определяются радиусом сферы. В этом
одно из достоинств гномостереографической
проекции.

Построение
гномостереографической проекции
кристалла проводят, взяв только один
из полюсов проекции, например S, и
рассматривая нормали, направленные в
одну сторону от плоскости проекций P.
Тогда для каждой плоскости ( hkl
)
получаем одну точку проекции (hkl)
,
которую называют полюсом плоскости.
Совокупность гномостереографических
проекций плоскостей кристалла на большом
круге проекций
называется его полюсной
фигурой
(рис.1.17).

Рис. 1.17.
Полюсные фигуры.

Вид полюсной
фигуры зависит от симметрии кристалла,
а также от его установки относительно
плоскости проекций и прямой SN. При
изменении установки кристалла все точки
проекций на полюсной фигуре смещаются.

Плоскость
или грань кристалла, перпендикулярная
прямой SN, будет иметь проекцию в центре
большого круга; все плоскости, параллельные
прямой SN, спроектируются в виде точек
на большом круге проекций. Все другие
плоскости кристалла дадут точки проекций
на остальной площади большего круга.

Рассмотрим,
как будут располагаться на полюсной
фигуре точки гномостереографической
проекции какой-либо кристаллографической
зоны (рис.1.18).

Рис. 1.18.
Гномостереографическая проекция
плоскостей одной зоны.

Для этого
представим зону в виде полярного
комплекса, выбрав за центр комплекса
некоторую точку на оси зоны. В полярном
комплексе зона изобразится в виде прямых
— нормалей, лежащих в одной плоскости
(рис.1.18), перпендикулярной оси зоны. Эта
плоскость пересечет сферу по большому
кругу, следовательно, выходы всех
нормалей к плоскостям зоны будут также
располагаться на большем круге сферы
проекций.

Гномостереографической
проекцией большого круга будет дуга,
стягиваемая диаметром AA
(рис.1.18). Таким образом, все точки проекций
плоскостей одной кристаллографической
зоны будут располагаться по дуге,
стягиваемой на концах диаметром круга
проекций. Если ось зоны совпадает с
направлением SN, то ее проекция будет
представлять собой ряд точек, расположенных
по периметру большого круга проекций
P. На рис.1.18 ось зоны не совпадает с
направлением SN, а составляет с ней угол
90. Индексы оси этой
зоны для кубического кристалла совпадают
с индексами центральной точки полюсной
фигуры.

Соседние файлы в папке Підручники

Зоной поясом называют совокупность кристаллографических плоскостей, параллельных некоторому узловому ряду
. Направление этого узлового ряда называется
осью зоны . Плоскости, принадлежащие одной зоне, можно параллельно перенести так, что они будут пересекаться по одной прямой линии – оси зоны (рис. 1.12).

. Уравнение прямой, параллельной оси и проходящей через начало координат, имеет вид

Решая совместноэти уравнения, исключая сначала, например, координату , а затем , получим уравнение линии пересечения данных плоскостей:

Здесь индексы обеих плоскостей записаны дважды, после чего проведены вертикальные линии, отделяющие крайние индексы. Оставшиеся индексы перекрестно перемножаются как показано стрелками, если стрелка направлена

должна иметь нетрививальное решение. Это условие сводится к равенству нулю определителя

Данное соотношение называют .

ментарной ячейки (триклинная сингония). При наличии определенной симмет-

Следует учитывать, что формула (1.51) справедлива для примитивой решетки Бравэ. В случае центрированных решеток межплоскостное расстояние может оказаться меньше, чем для соответствующей примитивной решетки. Например, в решетке ОЦК между параллельными гранями элементарной ячейки с индексами (001) находится еще одна плоскость с теми жеиндексами, проходящая через центр ячейки. Межплоскостное расстояние при этом окажется в два раза меньше, чем в случае простой кубической решетки с тем же параметром .

Кристаллографические проекции

При графическом изображении кристаллов широко пользуются различными их проекциями. Проекции применяются для решения ряда задач кристаллографии и рентгеноструктурного анализа: определения ориентировки кристаллов, индицирования рентгенограмм и т.д. Обычно ими пользуются тогда, когда нет необходимости определять межплоскостные расстояния, а требуется установить лишь взаимную ориентацию атомных плоскостей, граней и ребер кристалла. Поскольку расстояния между параллельными плоскостями кристалла равны, то всю совокупность параллельных плоскостей при построении проекций заменяют одной плоскостью, а все параллельные прямые – одной прямой.

В целом весь проектируемый кристалл заменяется пучком прямых и плоскостей, проходящих через одну точку. Полученное построение называют кристаллическим комплексом
.

Таким образом, кристаллический комплекс – это совокупность прямых и плоскостей, параллельных ребрам и граням кристалла, проходящих через одну точку. Эта точка называется центром комплекса.

При проектировании кристаллического комплекса на плоскость получают линейную
проекцию кристалла; при проектировании на сферу – сферическую
. На линейной проекции плоскость изобразится прямой, являющейся ее следом; прямая – точкой. Неудобство этой проекции состоит в том, что для изображения всех плоскостей и прямых необходима бесконечно большая плоскость проекций. Поэтому линейная проекция применяется очень редко.

При построении сферической проекции центр сферы совмещается с центром комплекса. Очевидно, на сферической поверхности все плоскости кристаллического комплекса проектируются в виде больших кругов, стягиваемых сферой, прямые – двумя диаметрально противоположными точками. Неудобством сферической проекции при большом числе проектируемых плоскостей является сложность и громоздкость построения.

В кристаллографии, при решении многих задач, пользуются преимущественно обратным кристаллографическим комплексом
, в котором плоскости заменяют нормалями к ним, а прямые – перпендикулярными к ним плоскостями. Полученная совокупность прямых и плоскостей, проходящих через одну точку 0, и носит название обратного или полярного комплекса
. Точка 0 – центр комплекса.

Все проекции, полученные при проектировании полярного комплекса, имеют приставку “гномо”. Проекция полярного комплекса на плоскость носит название гномонической
проекции. Плоскость (hkl
) в ней изобразится точкой. Недостаток этой проекции тот же, что и у линейной, а именно для построения всей совокупности проекций плоскостей требуется очень большая площадь проекций. Чтобы устранить этот недостаток, плоскость проекций заменяют сферой. В результате получаем гномосферические
проекции.

Проекцией плоскости ( hkl
) здесь будет точка пересечения M нормали со сферой. Положение точки M на сфере описывается в кристаллографии, выраженными в градусах: полярным расстоянием r, и долготой j. Полярное расстояние или широта отсчитывается обычно от полюса и меняется в пределах от 0 до 180° градусов.

Долготу отсчитывают от некоторого начального меридиана от 0 до 360° градусов по часовой стрелке, если смотреть с верхнего полюса.

Недостаток гномосферической проекции состоит в том, что определение положения точек на сфере проекций и решение ряда задач связано с гониометрическими измерениями (на сфере). Это неудобно.

Наиболее часто в кристаллографии пользуются гномостереографическими
проекциями. Они включают в себя достоинства, свойственные линейным и гномоническим проекциям, а именно: комплекс проектируется на плоскость, которая ограничена кругом проекций. Здесь так же, как и в предыдущих случаях, центр полярного комплекса совмещается с центром сферы(рис.1.16). Через центр сферы проводится плоскость проекции P, которая пересекает сферу по большому кругу. Это сечение называется основным кругом проекции.

Рис.1.16. Гномостереографическая проекция.

Прямая, перпендикулярная к плоскости P и проходящая через центр О, пересекает сферу в двух точках N и S, которые называют полюсами проекций
. При построении гномостереографической проекции плоскости ( hkl
) точку выхода ее нормали на сфере (точку M) соединяют с полюсом проекций, расположенным по другую сторону от плоскости Р. Точка пересечения прямой MS с плоскостью P (точка Q) и будет являться гномостереографической проекцией плоскости ( hkl
).

Легко видеть, что проекции всех плоскостей кристалла находятся в пределах большего круга. Таким образом, размеры проекции конечны и определяются радиусом сферы. В этом одно из достоинств гномостереографической проекции.

Построение гномостереографической проекции кристалла проводят, взяв только один из полюсов проекции, например S, и рассматривая нормали, направленные в одну сторону от плоскости проекций P. Тогда для каждой плоскости ( hkl
) получаем одну точку проекции (hkl)
, которую называют полюсом плоскости. Совокупность гномостереографических проекций плоскостей кристалла на большом круге проекций
называется его полюсной фигурой
(рис.1.17).

Рис. 1.17. Полюсные фигуры.

Вид полюсной фигуры зависит от симметрии кристалла, а также от его установки относительно плоскости проекций и прямой SN. При изменении установки кристалла все точки проекций на полюсной фигуре смещаются.

Плоскость или грань кристалла, перпендикулярная прямой SN, будет иметь проекцию в центре большого круга; все плоскости, параллельные прямой SN, спроектируются в виде точек на большом круге проекций. Все другие плоскости кристалла дадут точки проекций на остальной площади большего круга.

Рассмотрим, как будут располагаться на полюсной фигуре точки гномостереографической проекции какой-либо кристаллографической зоны (рис.1.18).

Рис. 1.18. Гномостереографическая проекция плоскостей одной зоны.

Для этого представим зону в виде полярного комплекса, выбрав за центр комплекса некоторую точку на оси зоны. В полярном комплексе зона изобразится в виде прямых – нормалей, лежащих в одной плоскости (рис.1.18), перпендикулярной оси зоны. Эта плоскость пересечет сферу по большому кругу, следовательно, выходы всех нормалей к плоскостям зоны будут также располагаться на большем круге сферы проекций.

Гномостереографической проекцией большого круга будет дуга, стягиваемая диаметром A¢A (рис.1.18). Таким образом, все точки проекций плоскостей одной кристаллографической зоны будут располагаться по дуге, стягиваемой на концах диаметром круга проекций. Если ось зоны совпадает с направлением SN, то ее проекция будет представлять собой ряд точек, расположенных по периметру большого круга проекций P. На рис.1.18 ось зоны не совпадает с направлением SN, а составляет с ней угол 90°. Индексы оси этой зоны для кубического кристалла совпадают с индексами центральной точки полюсной фигуры.

Рис. 1.3. Кристалл (
) и его кристаллографический комплекс (

представления периодичности повторения в пространстве гомологических точек состоит из узлов.

Внешняя огранка кристалла является характерным признаком данного вещества. На основании анализа углов между гранями можно определить принадлежность кристалла к тому или иному веществу. Для измерения углов между гранями применяют специальные оптические устройства, называемые .

Для изображения расположения плоскостей (и ребер) кристалла целесообразно использовать графические методы проектирования на плоскость или сферу.

Часто достаточно знать лишь взаимную ориентацию граней и ребер кристалла. Для этой цели вместо кристалла рассматривают

прямой кристаллографический комплекс . При переходе от кристал-

ла к кристаллографическому комплексу все параллельные грани кристалла заменяются одной плоскостью комплекса, а все параллельные ребра – одной прямой. Точка пересечения указанных геометрических элементов носит название .

На рис. 1.3 приведен пример перехода от реального кубического кристалла с усеченными вершинами (так называемый кубооктаэдр) к соответствующему кристаллографическому комплексу, состоящему из трех взаимно перпендикулярных плоскостей и четырех наклонных плоскостей (на рисунке заштрихованы). Ребрам

кристалла отвечают три взаимно перпендикулярные прямые.

В любом кристаллографическом комплексе имеются плоскости, пересекающиеся по общей прямой. Совокупность таких плоскостей

Рис. 1.4. Линейная проекция кристаллографической зоны

называется , а общее направление – . Таким образом, кристаллографический комплекс состоит из ряда кристаллографических зон.

Во многих случаях используют () , в котором плоскости прямого (кристаллографического) комплекса заменены нормалями к ним, а прямые – перпендикулярными к ним плоскостями. Для кубического кристалла изображения прямого и обратного комплексов совпадают. Кристаллографическая зона в обратном комплексе изображается плоскостью, отвечающей оси зоны прямого комплекса, и совокупностью пересекающихся в общей точке прямых, являющихся нормалями к плоскостям прямого комплекса.

Для изображения кристаллов применяются следующие виды проекций: линейная, гномоническая, сферическая, гномосферическая, стереографическая и гномостереографическая.

Для построения линейной проекции используют прямой кристаллографический комплекс, центр которого располагают на определенном расстоянии от плоскости проек-

ции (рис. 1.4).

Линии и точки пересечения плоскостей и прямых комплекса являются его линейной проекцией. Таким образом, кристаллографическая зона проектируется совокупностью прямых, пересекающихся в общей точке , являющейся проекцией оси зоны.

Неудобство линейной проекции состоит в том, что для изображения всех прямых и плоскостей кристаллографического

комплекса необходима бесконечная плоскость проекции. Кроме того, измерение углов между плоскостями на линейной проекции проводить трудно. Из-за отмеченных недостатков линейная проекция применяется редко.

отличается от линейной тем, что вместо прямого комплекса используется обратный. В этом случае

плоскости прямого комплекса изображаются на проекции точками, а прямые – линиями. Зона плоскостей проектируется рядом точек, расположенных на прямой, являющейся проекцией оси зоны

Рис. 1.5. Гномоническая проекция кристаллографической зоны: – кристаллографическая зона в обратном комплексе;

– гномоническая проекция плоскости;

– гномоническая проекция оси зоны;

– центр комплекса;

– плоскость проекции

Преимуществом гномонической проекции является возможность определения углов между плоскостями кристаллографического комплекса, поэтому она иногда применяется для построения проекций по лауэграммам ориентированных монокристаллов.

Недостаток гномонической проекции тот же, что и линейной – для полного изображений всех плоскостей и прямых обратного комплекса нужна бесконечная плоскость проекции.

получается при проектировании компонентов прямого кристаллографического комплекса, помещенного в центр сферы произвольного радиуса, на сферическую поверхность. Плоскости комплекса изображаются большими кругами, а прямые – точками. Кристаллографическая зона проектируется большими кругами, пересекающимися в двух общих точках (лежащих на одном диаметре) и являющимися проекциями оси зоны.

получается при проектировании на сферу компонентов обратного комплекса. В этом случае кристаллографическая зона проектируется рядом точек, расположенных на большом круге, являющемся проекцией оси зоны.

Для построения сферических и гномосферических проекций пользуются сферами с градусным делением. Недостаток этих двух типов проекций очевиден – они не являются плоскими.

Стереографическая проекция. При построении стереографи-

ческой проекции центр кристаллографического комплекса совмещается с центром сферы (рис. 1.6).

В качестве плоскости проекции используют плоскость, проходящую через центр сферы. Сечение сферы плоскостью проекции называют проекции, а точки пересечения диаметра сферы, перпендикулярного к плоскости проекции, – Северный полюс (точка ) лежит над плоскостью проекции, а южный полюс (точка ) – под ней. Для получения стереографической проекции прямой соответствующую линию проводят до пересечения со сферой в точке и соединяют эту точку проектирующим лучом , исходящим из южного полюса . Пересечение проектирующего луча с плоскостью проекции дает стереографическую проекцию данной прямой в виде точки ‘. Соответственно проектирование точки пересечения той же прямой в южном полушарии проводят проектирующим лучом из полюса , что дает стереографическую проекцию в виде крестика ‘.

Для различения проекций точек северного и южного полушарий первые обозначают точками, а вторые – крестиками.

Таким образом, стереографическая проекция прямой кристаллографического комплекса представляет собой две точки (точку и

крестик), расположенные на равных расстояниях от центра проекции. Прямая, лежащая в плоскости проекции, изображается двумя точками, находящимися на основном круге проекции. Прямая, перпендикулярная к плоскости проекции, проектируется в ее центр.

Плоскость кристаллографического комплекса проектируется как дуга большого круга (рис. 1.7), опирающаяся на диаметр основного круга проекции, (сплошная при проектировании из северного полушария, пунктирная – из южного полушария).

Плоскость, перпендикулярная к плоскости проекции, имеет вид прямой, проходящей через центр основного круга.

Зона плоскостей проектируется как серия дуг больших кругов, пересекающихся в двух диаметрально противоположных точках, являющихся проекциями оси зоны.

Стереографическая проекция обладает следующими особенностями: 1) большие и малые круги на сфере изображаются на стереографической проекции кругами или дугами этих кругов; 2) углы между дугами на сфере равны углам между стереографическими проекциями этих дуг.

С точки зрения теории аналитических функций или теории функций комплексного переменного, стереографическое проектирование с использованием южного полюса устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми точками сферы и точками плоскости проекции (исключая точку ). При этом отображение точек сферы в точки на плоскости является , то есть углы между кривыми не изменяются (сохраняются). Таким обра-

стереографическое проектирование есть конформное ото-

, при котором происходит локальное сохранение метрики пространства

Гномостереографическая проекция

екция обратного комплекса) является более удобной для решения практических задач. На этой проекции плоскости изображаются точками, а прямые – большими кругами. Зона плоскостей проектируется в виде точек, расположенных на большом круге.

Принцип построения гномостереографической проекции плоскости показан на рис. 1.8.

Рис. 1.8. Гномостереографическая проекция плоскости

Плоскость кристаллографического комплекса (центр комплекса совпадает с центром сферы) заменяется нормалью , проходящей через центр сферы и пересекающей сферу в точке . Соединив точку проектирующим лучом с точкой , получаем на плоскости проекции точку , являющуюся гномостереографической проекцией плоскости.

Координатные сетки Вульфа и Болдырева. показан на рис. 1.9 из подрисуночной подписи. Любой меридиан является стереографиче-

ской проекцией плоскости, а меридианы сетки Вульфа можно рассматривать как стереографическую проекцию кристаллографической зоны, плоскости которой повернуты через каждые 2вокруг оси , лежащей в плоскости проекции. Любая параллель является проекцией конуса с осью , а параллели сетки Вульфа соответствуют стереографической проекции семейства соосных конусов, угол полураствора которых вокруг оси отличается на 2.

Рис. 1.9. Построение сетки Вульфа:

плоскость проектируется меридианом Рис. 1.10. Сетка Вульфа ‘; конус проектируется параллелью ‘

Особенностями сетки Вульфа (рис. 1.10) является равномерная угловая шкала основного круга проекции и неравномерные, но одинаковые шкалы нулевого меридиана и нулевой параллели (экватора). Меридианы и параллели сетки Вульфа в соответствии со свойствами стереографической проекции изображаются дугами окружностей (рис. 1.11). Радиус окружности для меридиана α вычисляют как

Рис. 1.11. Построение меридианов и параллелей: , – радиусы окружностей для построения меридиана α и параллели β; , – центры соответствующих окружностей; – радиус сетки Вульфа

Положение центра окружности для меридиана α дается отрезком

(здесь – радиус основного круга проекции).

состоит из концентрических окружностей и радиальных прямых (рис. 1.12): первые являются стереографической проекцией множества соосных конусов с осью , а вторые – проекцией зоны плоскостей с той же осью . С помощью указанных сеток легко определяются углы между плоскостями и прямыми в

Рис. 1.12. Сетка Болдырева

кристалле, изображенном в стереографической и гномостереографической проекциях.

При практических расчетах на кальке чертят круг того же диаметра, что и у используемой сетки Вульфа или Болдырева. На этот круг наносят проекции плоскостей и направлений, совмещают центр круга с центром выбранной сетки и, вращая кальку вокруг этого центра (следя за тем, чтобы центр круга не смещался), добиваются определенных положений, позволяющих вести численные измерения.

Рассмотрим основные задачи, решаемые с помощью координатных сеток.

Определение угла между двумя направлениями Поскольку все направления и плоскости кристаллографического комплекса проходят через общую точку – центр комплекса, то любые два направления комплекса всегда лежат в одной плоскости. Угол между двумя рассматриваемыми направлениями находится в этой же плоскости, которая на стереографической проекции изображается меридианом. Поэтому кальку с нанесенными на ней точками, являющимися проекциями рассматриваемых направлений, поворачивают вокруг центра сетки Вульфа до тех пор, пока эти точки
не окажутся на одном меридиане сетки (рис. 1.13). Искомый угол α определяют по разности широт, определяемым параллелями точек

Если проекции двух направлений получены проектированием из разных полусфер (на кальке отмечены соответственно точка ‘ и крестик ), то кальку поворачивают таким образом, чтобы оба выхода направлений попали на симметричные меридианы относительно нулевого меридиана. Искомый угол α определяется суммой углов αи α, отсчитываемых по соответствующим меридианам до полюса сетки.

Возможен и другой вариант нахождения угла α. Для этого следует перевести проекцию направления (крестик) в точку ‘, что

будет отвечать случаю проектирования обоих рассматриваемых направлений из одной (северной) полусферы. Перевод крестика в точку ‘ осуществляется просто: крестик соединяют прямой с центром проекции, на продолжении этой прямой откладывают расстояние, равное расстоянию от крестика до центра. Полученную точку ‘ располагаем на одном меридиане с точкой ‘. Искомый угол α’ = 180– α отсчитывают вдоль этого меридиана.

Рис. 1.13. Определение угла между прямыми с помощью сетки Вульфа

Определение направляющих углов для направления

ляющие углы α, β, γ для произвольного направления можно определить после последовательного измерения углов между стереографической проекцией этого направления и стереографическими проекциями осей системы координат , , (рис. 1.14).

Если известны направляющие углы α, β, γ для направления, то координаты и стереографической проекции этого направления вычисляют как

= tg(γ/2) cosα / (sinγ), = tg(γ/2) cosβ / (sinγ), (1.8)

где – радиус основного круга проекции.

Процедура определения сферических углов φ и θ для произвольной прямой показана на рис. 1.15, а координаты и стереографической проекции этой прямой вычисляют как

Построение гномостереографической проекции плоскости

Плоскость кристаллографического комплекса изображается на стереографической проекции меридианом . Для построения нормали к плоскости кальку с нанесенной проекцией плоскости поворачивают вокруг центра сетки Вульфа до совпадения с одним из меридианов сетки (рис. 1.16).

Далее по экватору сетки Вульфа отсчитывают 90. Полученная точка является стереографической проекцией нормали к плоскости или гномостереографической проекцией этой плоскости.

Рис. 1.16. Построение гномостереографической проекции плоскости

Определение угла между двумя плоскостями Поскольку угол между плоскостями равен углу между нормалями к этим плоскостям, то достаточно определить угол между гномостереографическими проекциями плоскостей. Сначала найдем нормали
(рис. 1.17), затем, поворачивая кальку, добиваемся совмещения точек
с одним из меридианов сетки Вульфа. Искомый угол α определяется вдоль этого меридиана.

Поворот вокруг оси, лежащей в плоскости проекции

скольку любое вращение направления связано с нахождением этого

направления на конусе, то на стереографической проекции поворот прямой вокруг оси , лежащей в плоскости проекции и совпадающей с южным полюсом , происходит путем перемещения по соответствующей параллели (рис. 1.18).

Сначала совмещают проекцию оси поворота с полюсом сетки Вульфа, затем точку смещают по параллели на нужный угол α. Перемещение точек слева направо отвечает повороту вокруг оси по часовой стрелке. Соответственно перемещение точек справа налево отвечает вращению против часовой стрелки. Если точка располагается на параллели ближе к основному кругу проекции, чем угол поворота α (например, точка ), то после поворота на угол α = = α+ αэта точка окажется в другой (нижней) полусфере и уже будет изображаться крестиком (‘). Можно эту точку перевести в верхнюю полусферу, соединив прямой точку ‘ с центром и отложив на ее продолжении отрезок, равный расстоянию от точки ‘ до центра (точка » на проекции).

Для осуществления поворота плоскости удобно рассматривать гномостереографическую проекцию плоскости, то есть вместо поворота плоскости поворачивают нормаль к этой плоскости, а затем переходят к повернутой плоскости ‘ (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Поворот плоскости вокруг оси, лежащей в плоскости проекции

Для плоскости находят гномостереографическую проекцию , перемещают по параллели на угол α (точка ‘), а затем для ‘ находят повернутую стереографическую проекцию плоскости ‘.

Поворот вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проек-

. Для такого поворота удобно использовать сетку Болдыре-

ва (рис. 1.20).

Рис. 1.20. Поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции

Точки, соответствующие стереографической проекции направления и гномостереографической проекции плоскости , перемещаются на угол α по концентрическим окружностям, переходя в точки ‘ и ‘ соответственно. Поворот стереографической проекции плоскости тоже достаточно прост. Точки пересечения плоскости и с основным кругом поворачивают на угол α (точки ‘ и ‘). Затем, поместив точки ‘ и ‘ в полюса сетки Вульфа, на кальке проводят меридиан ‘, отстоящий от центра сетки на тот же угол β, что и меридиан, соответствующий плоскости .

Построение малого круга
Малый круг получается при стереографическом проектировании кругового конуса с углом полураствора меньше 90(рис. 1.21).

Проектирующий конус является эллиптическим с двумя круговыми сечениями: одно из них – при пересечении со сферой, а второе – на стереографической проекции, причем стереографиче-

ская проекция оси кругового конуса не совпадает с центром окружности на стереографической проекции.

Если ось конуса на стереографической проекции изображается точкой (рис. 1.22), то малый круг представляет собой геометрическое место точек, образующих с угол α (α – угол полураствора конуса).

Для построения малого круга можно провести нулевой меридиан через точку и, откладывая по нему с помощью сетки Вульфа в обе стороны от угол α, получить точки и . Поскольку эти точки лежат на диаметре малого круга, то, измерив линейкой расстояние между ними и поделив его пополам, найдем центр окружности ‘, который не совпадает со стереографической проекцией оси конуса вследствие неравномерности угловой шкалы по нулевому меридиану или экватору сетки Вульфа.

Для конуса с достаточно большим углом раствора конуса α диаметрально противоположные точки ‘ и ‘ могут быть получены проектированием из разных полушарий (точка ‘ из северного, точка ‘ из южного и показана крестиком). Теперь для построения малого круга можно подобрать с помощью сетки Вульфа такие меридианы, для которых расстояния от полюсов (точки и ) до ‘ равны α. Малый круг в северном полушарии получим, проведя окруж-

ность (с центром в точке ») через точки ‘, , , а в южном полушарии через точки ‘, и (окружность с центром в »’).

Поворот вокруг произвольной оси . При вращении вокруг про-

извольной оси траектория перемещения направления , образующего угол α с , будет изображаться соответствующим малым кру-

гом (рис. 1.23).

Рис. 1.23. Поворот вокруг произвольной оси

Из-за неравномерности угловой шкалы по малому кругу угол поворота φ точки вокруг нельзя откладывать непосредственно с помощью транспортира.

Угол поворота φ является центральным в плоскости , перпендикулярной к оси поворота . Его можно найти как угол между направлением , являющимся пересечением плоскости , содержащей и до поворота, и направлением ‘, соответствующим пересечению с плоскостью ‘ после поворота. Искомое направление ‘ находится в плоскости ‘ на угловом расстоянии α от оси поворота

Определение эйлеровских углов поворота . Эйлеровские углы используются для описания поворота твердого тела (рис. 1.24,

Первый поворот на угол φ происходит вокруг оси , при этом ось переходит в ‘, а ось – в ‘ и система координат переходит в ». Второй поворот на угол θ – вокруг оси ‘, при этом ось ‘ переходит в », а ось – в ‘ и система координат »переходит в »». Третий поворот на угол ψ происходит вокруг оси ‘, при этом

ось ‘ переходит в », ось в »»». Соответствующие ции показаны на рис. 1.24,.

» – в »’, а система координат »» – повороты на стереографической проек-

Рис. 1.24. Эйлеровские углы поворота в пространстве (), на стереографической проекции (), определение эйлеровских углов

на стереографической проекции ()

Если известно положение осей ортогональной системы координат на стереографической проекции в исходном положении () и после поворота (»’) (рис. 1.24,), то, сравнивая с рис. 1.24,, можно определить эйлеровские углы следующим образом. Если расположить оси ‘ и ‘ на меридиане, то его пересечение с основным кругом проекции в точке позволяет определить угол φ, а угол между точками и ‘ соответствует углу ψ. Угол θ определяют как угол между и ‘, расположенными на экваторе.

Определение угла и оси поворота В кристаллографии для описания поворота твердого тела часто используются такие параметры, как ось поворота
и угол поворота α. Если при повороте направления
‘ соответственно, то, как видно из рис 1.25,
, ось поворота
находится на пересечении биссекторных плоскосей

Каждая биссекторная плоскость проходит через соответствующую биссектрису и нормаль к плоскости, содержащей направления до и после поворота. Угол поворота α является центральным углом в отсчетной плоскости с нормалью .

Кристаллографическая зона плоскостей. Условие зональности.

Кристаллографической зоной называется совокупность плоскостей или граней кристалла, параллельных одному направлению, называемому осью зоны (рис.1.15). Параллельным переносом плоскости или грани одной зоны можно заставить их пересечься друг с другом по оси зоны. Любая зона однозначно определяется осью зоны, которую можно записать как вектор R
_mnp

:
.

Найдем условие зональности плоскостей относительно вектора R
в кубической системе. Если плоскость параллельна оси R
, то нормаль к этой плоскости всегда будет перпендикулярна оси зоны. Последнее условие является необходимым и достаточным, чтобы определить принадлежность плоскости к данной кристаллографической зоне.

Рис. 1.15. Кристаллографическая зона.

Нормалью к плоскости ( hkl
) является вектор H
обратнойрешетки, равный
.
Если ( hkl
) принадлежит зоне с осью R
, то H
перпендикулярен R –
значит должно выполняться условие ( HR
) = 0. Подставляя значение векторов H
и R
, получим условие зональности плоскостей в кубической решетке

Определим индексы оси зоны по индексам двух плоскостей зоны ( h ₁
k ₁
l ₁

) и ( h ₂
k ₂
l ₂

). Для обеих плоскостей условие зональности определяет систему уравнений:

Решение этой системы дает:

,
,
, (1.32)

где D – общий множитель, равный D=

Все индексы прямой R
можно сократить на общий множитель 1/D . При этом прежние и новые их значения обозначают одну и ту же прямую. Если определение ведется для какого-либо известного кристалла, то мы получим численные значения кристаллографических индексов оси зоны.

Найти индексы оси зоны для плоскостей
и
кубической решетки.

Условие зональности согласно (1.30)