Всё, что мы с вами изучали ранее, относится к такому разделу геометрии, как .
— это раздел геометрии, изучающий двумерные фигуры, то есть фигуры, которые можно расположить в одной плоскости. Фигуры, изучаемые планиметрией: точка, отрезок, прямоугольник, квадрат, окружность и т.д.
Предметы, которые нас окружают, не всегда являются плоскими, чаще реальные объекты занимают некоторую часть пространства.
— это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Фигуры, изучаемые стереометрией: куб, шар, конус, параллелепипед, пирамида и т.д.
Это слово (στερεομετρία) происходит от древнегреческих слов — объёмный, пространственный и — измерение.
Если поверхности геометрических тел составлены из многоугольников, то такие тела называются
— это многоугольники, из которых состоит многогранник. Две соседние грани не могут лежать в одной плоскости.
многогранника— это стороны граней, а — это концы рёбер.
многогранника — это отрезок, который соединяет две вершины, не принадлежащие одной грани.
Выпуклый многогранник характеризуется тем, что он расположен по одну сторону от плоскости каждой своей грани. На рисунке выпуклый многогранник — октаэдр. У октаэдра восемь граней, все грани — правильные треугольники.
На рисунке — невыпуклый (вогнутый) многоугольник. Если рассмотреть, например, плоскость треугольника (EDC), то, очевидно, часть многоугольника находится по одну сторону, а часть — по другую сторону этой плоскости.
Для дальнейших определений введём понятие параллельных плоскостей и параллельных прямых в пространстве и перпендикулярности прямой и плоскости.
Две плоскости называются , если они не имеют общих точек.
Две прямые в пространстве называются , если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямую называют перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой в этой плоскости.
Теперь можем ввести определение призмы.
(n)- называют многогранник, составленный из двух равных (n)-лежащих в параллельных плоскостях, и (n)-параллелограммов, которые образовались при соединении вершин (n)-угольников отрезками параллельных прямых.
Равные (n)-угольники называют призмы.
Стороны многоугольников называют .
Параллелограммы называют призмы.
Параллельные отрезки называют призмы.
Призмы бывают и .
Если основания прямой призмы — правильные многоугольники, то такую призму называют .
У прямых призм все боковые грани — прямоугольники. Боковые рёбра прямой призмы перпендикулярны к плоскостям её оснований.
Если из любой точки одного основания провести перпендикуляр к другому основанию призмы, то этот перпендикуляр называют призмы.
На рисунке — наклонная четырёхугольная призма, в которой проведена высота
В прямой призме каждое из боковых рёбер является высотой призмы.
На рисунке — прямая треугольная призма. Все боковые грани — прямоугольники, любое боковое ребро можно называть высотой призмы. У треугольной призмы нет диагоналей, так как все вершины соединены рёбрами.
На рисунке — правильная четырёхугольная призма. Основания призмы — квадраты. Все диагонали правильной четырёхугольной призмы равны, пересекаются в одной точке и делятся в этой точке пополам.
Четырёхугольная призма, основания которой — параллелограммы, называется .
Вышеупомянутую правильную четырёхугольную призму можно также называть
Если основания прямого параллелепипеда — прямоугольники, то этот параллелепипед —
На рисунке — прямоугольный параллелепипед. Длины трёх рёбер с общей вершиной называют прямоугольного параллелепипеда.
можно называть измерениями.
Так как треугольники
— прямоугольные, то, следовательно, квадрат длины диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов его измерений:
Если через соответственные диагонали оснований провести сечение, получится то, что называют призмы.
В прямых призмах диагональные сечения являются прямоугольниками. Через равные диагонали проходят равные диагональные сечения.
На рисунке — правильная шестиугольная призма, в которой проведены два разных диагональных сечения, которые проходят через диагонали с разными длинами.
Основные формулы для расчётов в прямых призмах
1. Боковая поверхность
, где (H) — высота призмы. Для наклонных призм площадь каждой боковой грани определяется отдельно.
2. Полная поверхность
. Эта формула справедлива для всех призм, не только для прямых.
(n)-угольная пирамида — многогранник, составленный из (n)-угольника в основании и (n)-треугольников, которые образовались при соединении точки вершины пирамиды со всеми вершинами многоугольника основания.
(n)-угольник называют пирамиды.
Треугольники — пирамиды.
Общая вершина треугольников — пирамиды.
Рёбра, выходящие из вершины — пирамиды.
Перпендикуляр от вершины пирамиды к плоскости основания называют пирамиды.
На рисунке — шестиугольная пирамида (GABCDEF), проведена высота пирамиды (GH).
Пирамиду, в основании которой правильный многоугольник, и высота соединяет вершину пирамиды с центром правильного многоугольника, называют .
У правильной пирамиды все боковые грани — равные равнобедренные треугольники. Если провести высоты этих треугольников, то они также будут равны.
Высоту боковой грани правильной пирамиды называют .
На рисунке — правильная четырёхугольная пирамида. Высота пирамиды (KO) проведена от вершины (K) к центру основания (O).
Высота боковой грани (KN) — апофема.
Если у правильной треугольной пирамиды все боковые грани — равносторонние треугольники (равные с основанием), то такую пирамиду называют
Если у многоугольника в основании есть диагонали, то через эти диагонали и вершину пирамиды можно провести .
На рисунке проведено диагональное сечение правильной четырёхугольной пирамиды.
Основные формулы для расчётов в правильных пирамидах
, где (h) — апофема. Для пирамид, которые не являются правильными, необходимо определить отдельно поверхность каждой боковой грани.
. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.
, где (H) — высота пирамиды. Эта формула справедлива для всех пирамид, не только для правильных.
Выпуклый многогранник называется , если:
1. все его грани — равные правильные многоугольники;
2. в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Все рёбра правильного многогранника равны, а также равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром.
1. какие правильные многоугольники могут быть гранями правильного многогранника?
2. Сколько граней может иметь правильный многогранник?
Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные многоугольники, если число их сторон
или больше, то есть правильные (n)-угольники, если
1. У правильного , если
, углы не меньше
2. В каждой вершине многогранника должно быть не меньше трёх углов.
3. Даже при трёх углах сумма всех углов уже достигает
4. Сумма всех плоских углов при каждой вершине выпуклого многогранника меньше
Следовательно, не существует правильного многогранника, гранями которого являлись бы правильные , если
Только правильные треугольники, четырёхугольники (квадраты) и пятиугольники могут быть гранями правильного многогранника.
Существуют ли правильные многогранники с такими гранями, и сколько граней они имеют? Очевидно, меньшее возможное число граней — четыре.
Теорема Эйлера и правильные многогранники
В любом выпуклом многограннике сумма числа граней и числа вершин на
больше числа рёбер.
С помощью теоремы Эйлера мы можем получить ответ на вопрос:
какие правильные многогранники могут существовать?
1. Пусть количество рёбер правильного многогранника, выходящих из одной вершины, равно (m), а гранями являются правильные (n)-угольники.
2. Выразим входящие в формулу Эйлера величины (В) (вершины) и (Г) (грани) через:
(Р) (рёбра), (m), (n), где (n) и (m) — целые числа, и (m ≥ 3), (n =)
,
или
.
3. Так как каждое ребро соединяет две вершины, и в каждой вершине сходятся (m) рёбер, то (2Р=Вm).
4. Так как каждое ребро многогранника содержится в двух гранях, то (Гn = 2Р).
5. Подставляя полученные выражения для (Г) и (В) в формулу Эйлера (Г + В — Р = 2), получаем
6. Поделив обе части равенства на (2Р), получим
7. Решим это уравнение при полученном в предыдущем доказательстве значении (n =)
и найдём допустимые значения (m).
Таким образом, теорема Эйлера разрешает существование следующих правильных многогранников:1. (m=3, n=3, P=6, Г=4) — тетраэдр;2. (m=3, n=4, P=12, Г=6) — куб;
3. (m=3, n=5, P=30, Г=12) — додекаэдр;4. (m=4, n=3, P=12, Г=8) — октаэдр;5. (m=5, n=3, P=30, Г=20) — икосаэдр.
Доказано существование правильных многогранников:
с
гранями,
рёбрами и
вершинами:
с
гранями,
рёбрами и
вершинами:
с
гранями,
рёбрами и
вершинами:
с
гранями,
рёбрами и
вершинами:
с
гранями,
рёбрами и
вершинами:
Типичные задачи на призмы
Понятие многогранника
Ранее мы уже познакомились с тетраэдром и параллелепипедом. Поверхность тетраэдра состоит из 4 треугольников, а параллелепипеда – из 6 параллелограммов. Они являются частными случаями такой фигуры, как многогранник.
Надо понимать, что под многогранником понимают одновременно как поверхность, составленную из многоуг-ков, так и тот объем, который эта поверхность ограничивает. Иногда, чтобы отличать два этих понятия, используют термин «поверхность многогранника».
Каждый многоугольник, образующий поверхность многогранника, именуется гранью многогранника. При этом предполагается, что любые две соседние грани находятся в разных плос-тях.
Многоугольники, образующие поверхность многогранника, имеют свои стороны,которые именуют ребрами многогранника. Вершины же этих многоуг-ков именуют вершинами многогранников. Можно утверждать, что ребра – это отрезки, по которым пересекаются соседние грани. В свою очередь вершины – это точки, где пересекаются соседние ребра. Отрезок, соединяющий две вершины, которые не принадлежат одной грани, именуется диагональю многогранника. Важно отметить, что каждое ребро принадлежит ровно 2 граням. Вершина принадлежит как минимум трем граням, однако может принадлежать и большему их числу.
Если все точки многогранника находятся по одну сторону от любой плос-ти, проходящей через какую-либо грань многогранника, то он называется выпуклым. В противном случае, если через одну из граней проходит плос-ть, «разрезающая» многогранник на две других фигуры, многогранник именуют невыпуклым. На бытовом уровне это означает, что выпуклый многогранник можно поставить на ровную поверхность (например, стол) на любую грань. А вот у невыпуклого многогранника найдется такая грань, на которую его поставить нельзя. Покажем несколько примеров:
На рисунке у невыпуклых многогранников красным цветом показаны плос-ти, которые рассекают многогранник. На эти грани не получится «поставить» многогранник – будет мешать выступающая часть. Заметим, что в выпуклом многограннике всякая диагональ лежит внутри фигуры. А вот у невыпуклого многогранника можно соединить вершины отрезком, лежащим вне объема фигуры. Добавим, что у выпуклого многогранника каждая грань обязательно является выпуклым многоугольником.
Теорема Эйлера
У каждого многогранника можно подсчитать количество граней, вершин и ребер. Например, у тетраэдра 4 грани, 4 вершины и 6 ребер. В свою очередь у параллелепипеда уже 6 граней, 8 вершин и 12 граней. Есть ли какая-то взаимосвязь между этими числами?
Можно заметить, что если у тетраэдра сложить число вершин и граней, а далее вычесть из суммы количество ребер, то получится число 2:
4 + 4 — 6 = 2
Если выполнить такие же действия для параллелепипеда, то снова получится двойка:
6 + 8 — 12 = 2
Оказывается, это не просто совпадение. Для любого выпуклого многогранника справедлива теорема Эйлера:
Мы не будем доказывать эту теорему, так как ее доказательство достаточно сложное. Отдельно отметим, что для невыпуклых многогранников эта теорема может и не выполняться.
Задание. Известно, что некоторый выпуклый многогранник состоит из 20 граней и имеет 30 ребер. Сколько у него вершин?
Решение. Запишем теорему Эйлера:
Задание. Поверхность выпуклого многогранника составлена из 12 пятиугольников. Сколько у такого многогранника ребер и вершин?
Решение. У многогранника будет ровно 12 граней. Попробуем подсчитать количество ребер. Так как каждая представляет собой пятиугольник, то все вместе они имеют 12•5 = 60 ребер. Однако при этом мы каждое ребро подсчитали дважды, ведь любое ребро принадлежит строго 2 граням. То есть на самом деле есть только 60:2 = 30 ребер. По теореме Эйлера легко подсчитаем и количество вершин:
Задание. Выпуклый многогранник имеет 8 граней, из них 4 – это четырехугольники, а ещё 4 – пятиугольники. Сколько у него ребер и вершин?
Решение. Как и в предыдущей задаче, снова сложим количество сторон всех граней:
Задание. Существует ли выпуклый многогранник, каждая грань которого является шестиугольником?
Предположим, что такой многогранник существует, и у него Г граней. Тогда его грани имеют в сумме 6Г сторон. Но каждая из этих сторон будет ребром ровно для 2 граней, поэтому всего будет 3Г ребер:
Теперь вспомним, что в каждой вершине сходятся не менее трех ребер. Значит, если мы посчитаем все ребра, выходящие из каждого ребра, то получим величину, не меньшую 3В. Но, так как каждое ребро проходит строго через 2 вершины, мы снова подсчитали ребра дважды. То есть количество ребер будет не меньше 3/2В, или 1,5В:
Это неравенство противоречит полученному ранее равенству Р = 3Г. Противоречие показывает, что на самом деле не может существовать выпуклый многогранник, каждая грань которого – шестиугольник, ч. т. д.
Примечание. Аналогично можно продемонстрировать, что не может существовать и выпуклый многогранник, поверхность которого состоит из многоуг-ков, каждый из которых имеет не менее 6 сторон. Другими словами, любой выпуклый многогранник имеет хотя бы одну грань, которая является треугольником, четырехугольником или пятиугольником.
Призма
Ребра призмы, не принадлежащие основанию, именуются боковыми ребрами призмы. Ясно, что любые два соседних ребра параллельны, ведь они являются сторонами параллелограммами. Но тогда по свойству транзитивности параллельности получается, что вообще любые два боковых ребра параллельны. Если из какой-нибудь точки основания построен перпендикуляр к противоположному основанию, то он именуется высотой призмы:
Естественно, что высота перпендикулярна обоим основаниям. Возможна ситуация, когда высота падает не на основание, а на какую-нибудь точку плос-ти основания, не находящуюся внутри него. Ясно, что все высоты призмы имеют одинаковую длину независимо от того, через какие точки они проведены, ведь высота по своей сути – это расстояние между плос-тями оснований.
Особый интерес вызывают призмы, где боковые ребра и основания перпендикулярны друг другу. Такие призмы именуются прямыми. Ясно, что у них боковые грани оказываются уже не просто параллелограммами, а уже прямоуг-ками. При этом любое боковое ребро одновременно является и высотой. Все остальные призмы именуют наклонными.
Если в основании призмы находится n-угольник, то призму называют n-угольной. В частности, в основании треугольной призмы лежит треуг-к, в основании десятиугольной призмы находится десятиугольник и т. д. Наконец, в особую группу выделяют прямые призмы, основаниями которых представляют собой правильные многоуг-ки. Их так и именуют – правильные призмы.
Если сложить площадь всех граней призмы, то получится сумма, которую именуют площадью полной поверхности призмы. Обычно ее обозначают как Sполн. Если же складываются только площади боковых граней, то в сумме получается площадь боковой поверхности призмы, обозначаемая как Sбок. Если площадь основания призмы обозначить как Sосн., то справедлива будет очевидная формула:
Так как ее боковые ребра перпендикулярны основаниям, то они должны быть перпендикулярны и тем ребрам, которые образуют основания. Это значит, каждая боковая грань – это прямоуг-к. При этом боковые ребра – это одновременно и высоты призмы. Тогда площадь боковых граней вычисляется так:
Отметим наконец, что параллелепипед можно считать частным случаем призмы, а прямоугольный параллелепипед – частным случаем прямой призмы.
Типичные задачи на призмы
Призмы нередко встречаются в заданиях ЕГЭ, поэтому важно уметь решать задачи, в которых используются эти фигуры.
Задание. Сколько диагоналей имеет n-угольная призма?
Решение. В любом многограннике диагональ соединяет точки, не лежащие на одной грани. Каждая вершина призмы принадлежит одному из оснований, причем в n-угольной призме каждому основанию принадлежат n вершин.
Возьмем произвольную вершину на одном из оснований и посчитаем, сколько диагоналей из нее можно провести. Если соединять ее отрезками с другими вершинами, принадлежащему тому же основанию, то получатся диагонали грани, но не диагонали призмы (зеленые линии на рисунке):
Значит, остается только провести прямые к тем вершинами, которые лежат в другом основании. Так как в другом основании находятся n вершин, то и отрезков будет ровно n. Однако три из них не будут диагоналями (показаны на рисунке синим цветом), так как будут либо являться одним из ребер призмы либо одной из диагоналей. Получается, что из вершины можно провести (n – 3) диагоналей. Так как в основании находятся n вершин, то всего можно построить n•(n– 3) диагоналей.
Ответ: n•(n – 3) диагоналей.
Задание. Длина стороны правильной треугольной призмы составляет 8 см, а ее боковое ребро имеет длину 6 см. Через сторону основания проведено сечение, которое пересекает другое основание в противолежащей вершине. Какова площадь этого сечения?
Решение. Выполним построение по условию задачи:
Здесь сечение проведено через ребро В1С1 и противолежащую ей вершину А. Призма правильная, поэтому ее основания ∆АВС и ∆А1В1С1 – это равносторонние треуг-ки, и все их стороны равны 8 см. По определению правильная призма обязательно ещё и прямая. Тогда боковые грани – прямоуг-ки.
∆АВВ1 – прямоугольный, с помощью теоремы Пифагора мы можем вычислить его гипотенузу АВ1:
Аналогично можно вычислить, что и диагональ АС1 также равна 10 см. Вообще в правильных призмах все грани – это равные друг другу прямоуг-ки, поэтому и диагонали у них одинаковы.
Длина ребра В1С1 составляет 8 см. Получается, нам надо вычислить площадь равнобедренного ∆АВ1С1 с основанием 8 см и боковыми сторонами 10 см. Это можно сделать множеством способов. Самый простой из них заключается в использовании формулы Герона. Для ее применения сначала вычислим полупериметр ∆АВ1С1:
Задание. В основании призмы находится равносторонний ∆АВС. Ребро АА1 образует одинаковые углы с ребрами АС и АВ. Докажите, что ребра АА1 и ВС перпендикулярны и что СС1В1В – прямоуг-к.
Решение. Выполняем построение:
По условию ∠А1АВ и ∠А1АС одинаковы. Проведем диагонали А1В и А1С. В итоге мы получим ∆А1АВ и А1АС. У них есть АА1 – общая сторона, стороны АВ и АС одинаковы (ведь ∆АВС – равносторонний), а углы между ними одинаковы. Значит, ∆А1АВ и А1АС равны, и тогда диагонали А1В и А1С одинаковы.
Получается, что точка А1 равноудалена вершин В и С. Аналогично и точка А равноудалена от В и С, ведь АВ и АС одинаковы. Это значит, что и А1, и А лежат на серединных перпендикулярах, проведенных к отрезку ВС:
Обозначим середину ВС как Н, тогда НА1 и НА – серединные перпендикулярны. То есть ВС⊥АН и ВС⊥А1Н. Но это значит (по признаку перпендикулярности прямой и плос-ти), что ВС перпендикулярен всей плос-ти АНА1. Из этого вытекает, что ВС⊥АА1, ч. т. д.
Задание. Призма АВСА1В1С1 – наклонная. Известно, что АС = АВ = 13 и ВС = 10. Боковые ребра призмы образуют с основанием АВС угол 45°. Проекция точки А1 на плос-ть АВС совпадает с точкой пересечения медиан в ∆АВС. Какова площадь грани СС1В1В?
Решение. Снова выполняем построение:
Здесь О – это проекция точки А1 и одновременно точка пересечения медиан. H– середина отрезка ВС, то есть АН – как раз одна из медиан. Заметим, что так как ∆АВС равнобедренный, и ВС – это его основание, то АН одновременно является и высотой, то есть ∠ВНА = 90°. Раз Н – середина ВС, то ВН будет вдвое короче ВС:
Напомним, точка пересечения медиан делит их в отношении 2:1, поэтому мы можем найти ОА:
Понятно, что ОА – это проекция прямой ОА на плос-ть АВС. Тогда угол между ребром АА1 и плос-тью АВС, по условию равный 45° – это ∠ОАА1.
Из прямоугольного ∆АОА1 с помощью тригонометрии мы найдем длину ребра АА1:
Задание. Ребро при основании правильной 6-угольной призмы имеет длину 23, а боковое ребро равно 50. Вычислите площадь поверхности призмы (и полную, и боковую).
Сначала найдем площадь и периметр основания. Формулы для правильных многоуг-ков мы уже изучали:
Здесь а – сторона шестиугольника, R и r – радиусы описанной и вписанной окружности, n– число сторон шестиугольника. Во второй формуле мы использовали известный факт, что длина стороны правильного 6-угольника совпадает с радиусом описанной около него окружности.
Далее вычисляем площадь боковой поверхности:
Добавив к этому значению удвоенную площадь поверхности основания, найдем и полную площадь призмы:
Задание. В правильной треугольной призме АВСА1В1С1, у которой все ребра одинаковы и равны единице, вычислите угол между гранью АВС и сечением АСВ1:
Решение. Вспомним, что для нахождения угла между плос-тями необходимо построить в этих плос-тях перпендикуляры к линии их пересечения, причем эти перпендикуляры должны падать на одну и ту же точку.
Пересекаются плос-ти АВС и АСВ1 по грани АС. Заметим, что и ∆АВС, и ∆АСВ1 – равнобедренные, причем у них общее основание АС. Действительно, АВ = ВС, так как в основании правильной призмы лежит равносторонний треуг-к, а АВ1 = СВ1, так как это диагонали равных граней АВВ1А1 и ВСС1В1.
Если мы отметим середину отрезка АС (например, точкой Н) и соединим ее с В и В1, то мы получим две медианы НВ и НВ1, которые одновременно будут и высотой. Это значит, что именно ∠ВНВ1 и будет искомым углом между плос-тями:
Осталось найти ∠ВНВ1. Длину ВВ1 мы уже знаем, она составляет 1.
АН вдвое короче АС:
Теперь заметим, что ∆НВВ1 – прямоугольный, поэтому для него можно использовать тригонометрию:
Задание. Найдите угол между прямыми А1D и СD1 в правильной призме, показанной на рисунке:
Все ребра этой призмы равны единице.
Решение. Сначала внимательно рассмотрим верхнее основание призмы. Так как оно представляет собой правильный многоуг-к, то вокруг него можно описать окружность. Обозначим центр этой окружности как О и проведем радиусы к вершинам:
Так как в правильном шестиуг-ке радиус описанной окружности равен стороне шестиугольника, то получается, что ∆А1ОВ1, ∆В1ОС1 и ∆С1ОD1 – равносторонние. Тогда ∠А1ОВ1, ∠B1OC1 и ∠С1ОD1 составляют по 60°. Тогда ∠А1ОD1 равен 180°, то есть точки А1, О и D1 находятся на одной прямой А1D1. Также заметим, что эта прямая параллельна ребру В1С1, ведь ∠D1OC1и ∠ОС1B1 являются накрест лежащими для этих прямых (при секущей ОС1) и при том они одинаковы. Так как отрезки А1О и D1O как стороны равносторонних треуг-ков равны 1, то
Теперь вернемся к призме:
Далее найдем длину А1В. Для этого используем ∆АВА1:
Аналогично из ∆СDD1 можно определить, что СD1 имеет такую же длину. Это значит, что А1D1CB – равнобедренная трапеция.
Теперь рассмотрим отдельно эту трапецию, чтобы найти искомый угол:
Опустим из вершин трапеции В и С перпендикуляры на А1D1. В итоге получим прямоуг-к ВСРН, где
Сегодня мы более детально изучили понятие многогранника и познакомились с новой геометрической фигурой – призмой. Призма довольно часто встречается в задаче С2 на ЕГЭ. Также мы узнали о теореме Эйлера, из которой вытекают некоторые важные факты. Один из них заключается в том, что не бывает выпуклых многогранников, у которых ни одна грань не является треуг-ком, четырехуг-ком или пятиуг-ком.
Многогранники (объемные геометрические фигуры) : определения, формулы периметра поверхности и площади. Виды: призма, параллелепипед ( в т.ч. прямоугольный параллелепипед , куб), пирамида ( в т.ч. усеченная пирамида).
Формулы для :
Объем призмы: Площадь поверхности: S = 2∙So + Sбок Где: V — объем призмы, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.
Параллелепипед — это призма, основание которой — параллелограмм.
Объем параллелепипеда: Площадь поверхности: S = 2∙So + SбокГде: V — объем параллелепипеда, So — площадь основания, h – высота, Sбок — площади всех боковых граней.
Объем прямоугольного параллелепипеда: V = a∙b∙c = So∙ cПлощадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2·(Sa+Sb+Sc) или S= 2· (a·b+ b·c+ a·c)Диагональ: Где: V — объем прямоугольного параллелепипеда, a — длина, b — ширина, с – высота, So — площадь основания, Sa,Sb,Sc — площади соответствующих сторон.
Объем куба: V = a3Площадь поверхности куба: S = 6·a2Диагональ: d = a√3Где: V — объем куба, a — длина грани куба.
Объем правильной пирамиды: V = 1/3 · (So · h)Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = ½ · Pо· aГде: V — объем пирамиды, So — площадь основания пирамиды, Sбок — площадь боковой поверхности, Pо — периметр основания правильной пирамиды, h — высота пирамиды. a — апофема правильной пирамиды.
Формулы для правильной треугольной пирамиды:
Объем правильной треугольной пирамиды: V = h·a2 / (4/√3) Где: a — сторона правильного треугольника — основания правильной треугольной пирамиды, h — высота правильной треугольной пирамиды
Формулы для правильной четырехугольной пирамиды:
Объем правильной четырехугольной пирамиды: V = 1/3 · h · a2Где: a — сторона квадрата — основания правильной четырехугольной пирамиды, h — высота правильной четырехугольной пирамиды.
Объем тетраэдра: V = (√2 / 12) · a3Где: V — объем тетраэдра, a — длина ребра тетраэдра.
Объем усеченной пирамиды равен разности двух полных пирамид. Объем правильной усеченной пирамиды:V = 1/3 · h · (Sосн1 + Sосн2 + √(Sосн1Sосн2))Боковая поверхность правильной усеченной пирамиды:Sбок = ½ (Pосн1 + Pосн2) · aГде: Sосн1, Sосн2 — площади верхнего и нижнего основания усеченной пирамиды, h — высота усеченной пирамиды, Pосн1, Pосн2 — периметры верхнего и нижнего оснований правильной усеченной пирамиды, a — апофема правильной усеченной пирамиды.
Также на сайте описаны тела вращения, в том числе :определения и формулы.
