СФОРМУЛИРОВАТЬ ТЕОРЕМУ ГЮЙГЕНСА ШТЕЙНЕРА

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Найдем
связь между моментами инерции относительно
двух различных параллельных осей. Она
устанавливается теоремой Гюйгенса-Штейнера:
момент инерции
тела относительно произвольной оси
равен сумме момента инерции этого тела
относительно оси проходящей через центр
масс, параллельно данной и произведения
массы на квадрат расстояния между осями
.

Докажем эту теорему.
Пусть S сечение тела. Будем предполагать,
что центр масс находится в точке О и
оси, проходящие через точки О и А,
перпендикулярны к рисунку. Мысленно
разобьем тело на элементарные массы

.
Момент инерции тела найдем, проинтегрировав
по всем элементарным массам. Радиус-вектор
элементарной массы

относительно оси А

,
где

— ее радиус-вектор относительно оси О,

— радиус-вектор

,
его модуль равен расстоянию между осями.
Таким образом

Умножая
обе части равенства (5.11) на

и интегрируя по всему объему, получим:

Так как ось О
проходит через центр масс, последний
интеграл в (5.12) обращается в нуль.

Интеграл слева
дает момент инерции относительно оси
А, первый интеграл справа — момент инерции
относительно оси О, второй интеграл
справа дает полную массу тела. Откуда

Это и есть
аналитическое выражение теоремы
Гюйгенса-Штейнера.

Примеры вычисления моментов инерции

1.
Определим момент инерции тонкого
однородного стержня длиною
L

и массой
m

относительно оси, проходящей через один
из его концов.

(см.рис.)

Направим
ось Х вдоль стержня. Стержень будем
считать тонким. Выделим элементарную
массу

,
имеющую длину
и расположенную на расстоянии Х от оси
вращения. Причем, поскольку стержень
однородный масса этого элемента

Проинтегрировав
по всей длине стержня получим:

Момент инерции
этого же стержня относительно оси,
проходящей через центр масс определяется
как:

2. Определим момент
инерции однородного диска, расположенного

перпендикулярно
оси вращения, проходящей через центр
масс. Радиус диска R,
масса – m.
Используя симметрию задачи, разобьем
диск на элементарные массы в виде тонких
колец радиусом r
и шириной

.
(см.рис.)

Масса
этого элемента

,
где
— площадь поперечного сечения диска или
поверхностная плотность диска,
— площадь кольца. Тогда
.
Интегрируя в пределах от 0 доR,
получим:

3. Тонкое однородное кольцо,
расположенное перпендикулярно оси
вращения, проходящей через центр масс.
(см.рис.)

Выделим
элементарную массу

,
длиной
,
тогда
,
здесь
— линейная плотность массы, то есть масса

приходящаяся на
единицу длины. Так как все элементарные
массы расположены на одинаковом
расстоянии от оси вращения (кольцо
тонкое)

Теорема Гюйгенса-Штейнера

Основная статья
: Теорема
Штейнера

Момент инерции
твёрдого тела
относительно какой-либо оси зависит не
только от массы
,
формы и размеров тела, но также от
положения тела по отношению к этой оси.
Согласно теореме
Штейнера
(теореме Гюйгенса-Штейнера),
момент инерции
тела J
относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции
этого тела J
_c

относительно оси, проходящей через
центр
масс
тела параллельно
рассматриваемой оси, и произведения
массы

тела m
на квадрат расстояния d

между осями:

Если

 —
момент инерции тела относительно оси,
проходящей через центр
масс
тела, то момент инерции
относительно параллельной оси,
расположенной на расстоянии

от
неё, равен

где

 —
полная масса тела.

Например, момент инерции стержня
относительно оси, проходящей через его
конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел(твердого тела

Материальная
точка массы m
На расстоянии r
от
точки, неподвижная

Полый
тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса
r
и массы m
Ось цилиндра

Сплошной
цилиндр или диск радиуса r
и массы
m
Ось цилиндра

Прямой
тонкий стержень длины l
и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит
через его центр масс

Прямой
тонкий стержень длины l
и массы m

Ось перпендикулярна к стержню и проходит
через его конец

Тонкостенная
сфера радиуса r
и массы m
Ось
проходит через центр сферы

Шар
радиуса r
и массы m
Ось проходит
через центр шара

7)
24с.

Момент силы
( синонимы:
крутящий
момент, вращательный момент, вертящий
момент, вращающий момент
) — векторная

физическая
величина
, равная произведению
радиус-вектора
,
проведенного от оси

вращения

к точке приложения силы
,
на вектор этой силы. Характеризует
вращательное действие силы на твёрдое
тело
.

Момент силы относительно точки

Если имеется материальная точка

,
к которой приложена сила

,
то момент силы относительно точки

равен
векторному произведению радиус-вектора

,
соединяющий точки O
и O
_F

,
на вектор силы

:

Момент силы относительно оси

Моментом силы относительно оси называется
момент проекции силы на плоскость,
перпендикулярную оси, относительно
точки пересечения оси с этой плоскостью.

Моме́нт и́мпульса
( кинетический
момент, угловой момент, орбитальный
момент, момент количества движения
)
характеризует количество вращательного
движения
. Величина, зависящая
от того, сколько массы

вращается, как она распределена
относительно оси вращения и с какой
скоростью
происходит вращение
.

Определение

Момент импульса

частицы
относительно некоторого начала отсчёта
определяется векторным
произведением
её радиус-вектора

и импульса
:

где

 —
радиус-вектор частицы относительно
выбранного неподвижного в данной системе
отсчёта начала отсчёта,

 —
импульс частицы.

Для нескольких частиц момент импульса
определяется как (векторная) сумма таких
импульсов

О


сновной
закон динамики вращательного движения:

^—

момент импульса тела.

если М(внешн)=0 — закон сохранения момента
импульса.

—
кинетическая энергия вращающегося
тела.

работа
при вращательном движении.

Механическая
работа
 —
это физическая
величина
,
являющаяся скалярной

количественной мерой действия силы

или сил на тело или систему, зависящая
от численной величины и направления
силы(сил) и от перемещения точки(точек)
тела или системы.

При прямолинейном движении одной
материальной точки и постоянном значении
приложенной к ней силы

работа (этой силы) равна произведению
величины проекции вектора силы на
направление движения и величины
совершённого перемещения:

Мо́щность
 — физическая
величина
, равная отношению
работы
,
выполняемой за некоторый промежуток
времени, к этому промежутку времени.

средняя мощность

мгновенная мощность

Консервати́вные си́лы
(потенциальные
силы) — силы
,
работа

которых не зависит от формы траектории
(зависит только от начальной и конечной
точки приложения сил). Отсюда следует
определение: консервативные силы —
такие силы, работа которых по любой
замкнутой
траектории
равна 0.

Если в системе действуют только
консервативные силы, то механическая
энергия системы сохраняется.

Неконсервати́вные си́лы
–зависит
от формы и пути перемещения.

Механи́ческая эне́ргия
описывает
сумму потенциальной

и кинетической
энергии
, имеющихся в компонентах
механической
системы

. Механическая энергия
— это энергия, связанная с движением
объекта или его положением.

Существуют
: Кинетическая, потенциальная,
механическая, электрическая, термическая,
внутренняя (термодинамика U
) , внешняя энергия (системы), и др.

Работа и кинетическая энергия при
поступательном и вращательном движении.
28-29

Потенциальная
энергия

 —
скалярная

физическая
величина
, характеризующая
способность некоего тела (или материальной
точки) совершать работу

за счет его нахождения в поле действия
сил. Другое определение: потенциальная
энергия — это функция координат,
являющаяся слагаемым в лагранжиане

системы, и описывающая взаимодействие
элементов системы. Также потенциальная
энергия является характеристикой
взаимодействия нескольких тел или тела
и поля.
E
_p

= mgh
,

1)однозначна, конечна, дифференцируема,
непрерывная функция механического
состояния объекта

2)может быть положительна, отрицательна
и =0

3)хар-ет оба(все) взаимодействующих тел.

4)определяется, с точностью до постоянного
числа

5)произвольная, зависит от выбора нулевого
уровня.

Связь
Ep
(П) с
консервативной силой:

Несмотря на то, что потенциальная энергия
определяется через работу сил, она, в
свою очередь, используется для определения
этих сил, для чего используются частные
производные:

,                                   

которые эквивалентны одному векторному
выражению:

,                    

Grad – это вектор направленный
в сторону максимального возрастания
функции(знак – показывает что сила
напавлена в сторону наибольшего
уменьшения Ep)

Теорема Штейнера

Теоре́ма
Гю́йгенса — Ште́йнера
,
или просто  теорема
Штейнера
 (названа
по имени швейцарского математика  Якоба
Штейнера
 и
голландского математика, физика и
астронома  Христиана
Гюйгенса
): момент
инерции
 тела  J
 относительно
произвольной оси равен сумме момента
инерции этого тела  J
_C

относительно
параллельной ей оси, проходящей через
центр масс тела, и произведения массы
тела  m
 на
квадрат расстояния  d
 между
осями:

Иллюстрация
теоремы для момента площади.

J
_C

 —
известный момент инерции относительно
оси, проходящей через центр масс тела,

J
 —
искомый момент инерции относительно
параллельной оси,

d
 —
расстояние между указанными осями.

[Править]Вывод

Момент
инерции, по определению:

Радиус-вектор
 

 можно
расписать как разность двух векторов:

где 

 —
радиус-вектор расстояния между старой
и новой осью вращения. Тогда выражение
для момента инерции примет вид:

Поскольку
старая ось проходит через центр масс,
то суммарный импульс тела будет равен
нулю:

Откуда
и следует искомая формула:

где  J
_C

 —
известный момент инерции относительно
оси, проходящей через центр масс тела.

[Править]Пример

Момент
инерции стержня относительно оси,
проходящей через его центр и перпендикулярной
стержню, (назовём её осью  C
)
равен

Тогда
согласно теореме Штейнера его момент
относительно произвольной параллельной
оси будет равен

где  d
 —
расстояние между искомой осью и осью  C
.
В частности, момент инерции стержня
относительно оси, проходящей через его
конец и перпендикулярной стержню, можно
найти положив в последней формуле  d
 =  L
 /
2:

Основное уравнение динамики вращательного движения

Основое
уравнение динамики вращательного
движения материальной точки
 —
угловое ускорение точки при ее вращении
вокруг неподвижной оси пропорционально
вращающему моменту и обратно пропорционально
моменту инерции.

М =
E*J
 или  E
= M/J

Сравнивая
полученное выражение со вторым законом
Ньютона с поступательным законом, видим,
что момент инерции J является мерой
инертности тела во вращательном движении.
Как и масса величина аддитивная.

Зако́н сохране́ния моме́нта

Зако́н
сохране́ния моме́нта и́мпульса
 (закон
сохранения углового момента) — векторная
сумма всех моментов импульса относительно
любой оси для замкнутой системы остается
постоянной в случае равновесия системы.
В соответствии с этим,  момент
импульса
 замкнутой
системы относительно любой неподвижной
точки не изменяется со временем.

Закон
сохранения момента импульса

:
момент импульса замкнутой системы тел
относительно любой неподвижной точки  не
изменяется

 с
течением времени. 

      
Это один из фундаментальных законов
природы. 

      
Аналогично для замкнутой системы тел,
вращающихся вокруг оси  z
:

      
Если момент внешних
сил относительно неподвижной оси
вращения тождественно равен нулю, то
момент импульса относительно этой оси
не изменяется в процессе движения. 

      
Момент импульса и для незамкнутых систем
постоянен, если результирующий момент
внешних сил, приложенных к системе,
равен
нулю. 

Часто мы слышим выражения: «он инертный», «двигаться по инерции», «момент инерции». В переносном значении слово «инерция» может трактоваться как отсутствие инициативы и действий. Нас же интересует прямое значение.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале
.

Что такое инерция

Согласно определению  инерция
в физике – это способность тел сохранять состояние покоя или движения в отсутствие действия внешних сил.

Если с самим понятием инерции все понятно на интуитивном уровне, то  момент инерции
– отдельный вопрос. Согласитесь, сложно представить в уме, что это такое. В этой статье Вы научитесь решать базовые задачи на тему «Момент инерции»
.

Определение момента инерции

Из школьного курса известно, что масса – мера инертности тела
. Если мы толкнем две тележки разной массы, то остановить сложнее будет ту, которая тяжелее. То есть чем больше масса, тем большее внешнее воздействие необходимо, чтобы изменить движение тела. Рассмотренное относится к поступательному движению, когда тележка из примера движется по прямой.

По аналогии с массой и поступательным движением момент инерции – это мера инертности тела при вращательном движении вокруг оси.

Момент инерции
– скалярная физическая величина, мера инертности тела при вращении вокруг оси. Обозначается буквой J

и в системе СИ

измеряется в килограммах, умноженных на квадратный метр.

Как посчитать момент инерции? Есть общая формула, по которой в физике вычисляется момент инерции любого тела. Если тело разбить на бесконечно малые кусочки массой dm

, то момент инерции будет равен сумме произведений этих элементарных масс на квадрат расстояния до оси вращения.

Это общая формула для момента инерции в физике. Для материальной точки массы m

, вращающейся вокруг оси на расстоянии r

от нее, данная формула принимает вид:

Теорема Штейнера

От чего зависит момент инерции? От массы, положения оси вращения, формы и размеров тела.

Теорема Гюйгенса-Штейнера – очень важная теорема, которую часто используют при решении задач.

Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Теорема Гюйгенса-Штейнера гласит:

Момент инерции тела относительно произвольной оси равняется сумме момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс параллельно произвольной оси и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями.

Для тех, кто не хочет постоянно интегрировать при решении задач на нахождение момента инерции, приведем рисунок с указанием моментов инерции некоторых однородных тел, которые часто встречаются в задачах:

Пример решения задачи на нахождение момента инерции

Рассмотрим два примера. Первая задача – на нахождение момента инерции. Вторая задача – на использование теоремы Гюйгенса-Штейнера.

Задача 1. Найти момент инерции однородного диска массы m и радиуса R. Ось вращения проходит через центр диска.

Разобьем диск на бесконечно тонкие кольца, радиус которых меняется от 0
до R
и рассмотрим одно такое кольцо. Пусть его радиус – r
, а масса – dm
. Тогда момент инерции кольца:

Массу кольца можно представить в виде:

Здесь dz
– высота кольца. Подставим массу в формулу для момента инерции и проинтегрируем:

В итоге получилась формула для момента инерции абсолютного тонкого диска или цилиндра.

Задача 2. Пусть опять есть диск массы m и радиуса R. Теперь нужно найти момент инерции диска относительно оси, проходящей через середину одного из его радиусов.

Момент инерции диска относительно оси, проходящей через центр масс, известен из предыдущей задачи. Применим теорему Штейнера и найдем:

Кстати, в нашем блоге Вы можете найти и другие полезные материалы по физике и решению задач
.

Надеемся, что Вы найдете в статье что-то полезное для себя. Если в процессе расчета тензора инерции возникают трудности, не забывайте о студенческом сервисе
. Наши специалисты проконсультируют по любому вопросу и помогут решить задачу в считанные минуты.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

.

Теорема названа по имени швейцарского математика Якоба Штейнера

и голландского математика, физика и астронома

Христиана Гюйгенса

.

По определению момента инерции для

и

можно записать

где

— радиус-вектор
точки тела в системе координат с началом, расположенным в центре масс, а



— радиус-вектор точки в новой системе координат, через начало которой проходит новая ось.

Радиус-вектор

можно расписать как сумму двух векторов:

где

— радиус-вектор расстояния между старой (проходящей через центр масс) и новой осями вращения.
Тогда выражение для момента инерции примет вид

Вынося

за сумму, получим

По определению центра масс, для его радиус-вектора

выполняется

Поскольку в системе координат с началом, расположенным в центре масс, радиус-вектор центра масс равен нулю, то равна нулю и сумма



.

откуда и следует искомая формула:

где



— известный момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела.

Если тело состоит не из материальных точек, а образовано непрерывно распределённой массой, то во всех приведённых выше формулах суммирование заменяется интегрированием. Ход рассуждения при этом остаётся прежним.

Следствие
. Из полученной формулы очевидно, что



. Поэтому можно утверждать: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела, является наименьшим среди всех моментов инерции тела относительно осей, имеющих данное направление.

Момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной стержню (назовём её осью



) равен

Тогда, согласно теореме Штейнера, его момент относительно произвольной параллельной оси будет равен

где



 — расстояние между этой осью и осью



. В частности, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец и перпендикулярной стержню, можно найти, положив в последней формуле



:

Пересчёт тензора инерции

Теорема Гюйгенса — Штейнера допускает обобщение на тензор момента инерции
, что позволяет получать тензор



относительно произвольной точки из тензора



относительно центра масс. Пусть

 — смещение от центра масс, тогда

 — вектор смещения от центра масс, а

 —

символ Кронекера

.

Как видно, для диагональных элементов тензора (при

) формула имеет вид теоремы Гюйгенса — Штейнера для момента относительно новой оси.

Тарг С. М.

Краткий курс теоретической механики. — 11-е изд. — М.
: « Высшая школа

ISBN 5-06-003117-9

.

Абсолютно твёрдое тело, образованное совокупностью материальных точек, — это такая механическая система, у которой расстояния между составляющими её точками постоянны.

Моме́нт ине́рции
 — тензорная
физическая величина
, мера инертности во вращательном движении
вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества, которое, формально, может представлять собой не обязательно ось вращения (т.е. прямую), но и точку или плоскость. В последних случаях говорят о моменте инерции относительно точки или плоскости, а возникать такие величины могут в формальных вычислениях, например, при расчете тензора инерции
.

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ)
: кг
· м
².

Обозначение: или .

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

•  — масса -й точки,
•  — расстояние от -й точки до оси.

Осевой момент инерции тела является мерой инертности тела во вращательном движении
вокруг оси подобно тому, как масса
тела является мерой его инертности в поступательном движении
.

dm
= ρ dV

 — масса малого элемента объёма тела ,

 — плотность,

 — расстояние от элемента до оси .

Если тело однородно, то есть его плотность
всюду одинакова, то

Теорема Гюйгенса — Штейнера

где  — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

Осевые моменты инерции некоторых тел

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Момент инерции тела равен сумме моментов инерции составляющих его частей. Разобьём тонкостенный цилиндр на элементы с массой и моментами инерции . Тогда

Поскольку все элементы тонкостенного цилиндра находятся на одинаковом расстоянии от оси вращения, формула

преобразуется к виду

Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч)

Пусть имеется однородное кольцо с внешним радиусом , внутренним радиусом , толщиной и плотностью . Разобьём его на тонкие кольца толщиной . Масса и момент инерции тонкого кольца радиуса r
составит

Момент инерции толстого кольца найдём как интеграл

Поскольку объём и масса кольца равны

получаем окончательную формулу для момента инерции кольца

Однородный диск (сплошной цилиндр)

Рассматривая цилиндр (диск) как кольцо с нулевым внутренним радиусом (

R
1
= 0

), получим формулу для момента инерции цилиндра (диска):

Разобьём конус на тонкие диски толщиной , перпендикулярные оси конуса. Радиус такого диска равен

где – радиус основания конуса, – высота конуса, – расстояние от вершины конуса до диска.
Масса и момент инерции такого диска составят

Сплошной однородный шар

Разобьём шар на тонкие диски толщиной , перпендикулярные оси вращения. Радиус такого диска, расположенного на высоте от центра сферы, найдём по формуле

Масса и момент инерции такого диска составят

Момент инерции шара найдём интегрированием:

Для вывода воспользуемся формулой момента инерции однородного шара радиуса :

Вычислим, насколько изменится момент инерции шара, если при неизменной плотности его радиус увеличится на бесконечно малую величину .

Тонкий стержень (ось проходит через центр)

Разобьём стержень на малые фрагменты длиной . Масса и момент инерции такого фрагмента равна

Тонкий стержень (ось проходит через конец)

При перемещении оси вращения из середины стержня на его конец, центр тяжести стержня перемещается относительно оси на расстояние . По теореме Штейнера новый момент инерции будет равен

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Центробежный момент инерции

где , и  — координаты малого элемента тела
объёмом
, плотностью

и

массой

.

Геометрические моменты инерции

где, как и ранее — расстояние от элемента до оси .

Размерность
— длина в пятой степени (

), соответственно единица измерения СИ — м

5

.

где интегрирование выполняется по поверхности , а — элемент этой поверхности.

Размерность — длина в четвёртой степени (



), соответственно единица измерения СИ — м

4
. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката
часто указывается в см
⁴
.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения
:

Здесь — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Момент инерции относительно плоскости

Если через произвольную точку



провести координатные оси



, то моменты инерции относительно координатных плоскостей



,



и



будут выражаться формулами:

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором



, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы
:

где



 — тензор инерции
. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры



и состоит из компонент центробежных моментов:

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях
для матрицы тензора



:

где



 — ортогональная матрица

перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины

 — главные моменты инерции. Выражение

в собственной системе координат имеет вид:

откуда получается уравнение
эллипсоида

в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на

и произведя замены:

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах



:

Расстояние от центра эллипсоида
до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

При получении этой формулы путём вычитания момента инерции сплошного цилиндра радиусом из цилиндра радиусом необходимо обратить внимание, что их массы при этом не будут одинаковыми или равны . При этом должно выполняться условие

. Из формулы для массы соответствующего цилиндра можно определить, что в этом случае

и

. В правильности использования знака «+» в этой формуле также можно убедиться, если сравнить моменты инерции полого толстостенного и сплошного цилиндров с одинаковыми массами. Действительно, у первого из этих цилиндров масса в среднем сосредоточена дальше от оси, чем у второго, поэтому и момент инерции этого цилиндра должен быть больше, чем у сплошного. Именно такое соотношение моментов инерции и обеспечивает знак «+». С другой стороны, в пределе при стремлении к формула для полого толстостенного
цилиндра должна приобрести тот же вид, что и формула для полого тонкостенного
цилиндра. Очевидно, что такой переход происходит только при использовании формулы со знаком «+».

1. ↑ <sup>1
   
   
   
   2
   
   
   
   3</sup>
   
   
   
   
   Тарг С. М.
   
   // Физическая энциклопедия
   / Гл. ред. А. М. Прохоров
   . — М.
   : Большая Российская энциклопедия
   , 1992. — Т. 3. — С. 206—207. — 672 с. —  — ISBN 5-85270-019-3
   .
   
2. Planetary Fact Sheet
   
   . Дата обращения: 31 августа 2010.
   Архивировано
   14 марта 2016 года.
   
   
3. Showman, Adam P.; Malhotra, Renu.
   The Galilean Satellites
     (англ.)
    // Science. — 1999. — , . — . — doi
   : 10.1126/science.286.5437.77
   . — PMID 10506564
   . Архивировано
   14 мая 2011 года.
   
   
4. Margot, Jean-Luc; et al.
   Mercury’s moment of inertia from spin and gravity data
     (англ.)
    // Journal of Geophysical Research
   
    : journal. — 2012. — . — doi
   : 10.1029/2012JE004161
   . Архивировано
   13 июля 2015 года.
   
   
5. Галкин И. Н.
   Внеземная сейсмология. — М.
   : Наука
   , 1988. — С. 42-73. — 195 с. — ( Планета Земля и Вселенная
   ). —  — ISBN 502005951X
   .
   
6. Пантелеев В. Л. Физика Земли и планет. Гл. 3.4 — Гравитационное поле планеты
   
   . Дата обращения: 31 августа 2010.
   Архивировано
   3 октября 2013 года.
   
   
7. ↑ <sup>1
   
   
   
   2
   
   
   
   3</sup>
   
   
   
   
   Тарг С. М.
   
   Краткий курс теоретической механики. — М.
   : « Высшая школа
   », 1995. — С. 269—271. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9
   .
   
8. Бухгольц Н. Н.
   
   Основной курс теоретической механики. — 4-е изд. — М.
   : « Наука

   », 1966. — Т. 2. — С. 131.
   

↑

1




2







3






Яблонский А. А.

// Курс теоретической механики. — 3-е изд. —

М.
: « Высшая школа

», 1966. — Т. II. — С. 102—103. — 411 с.

Матвеев. А. Н.

Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)

Трофимова Т. И.

Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.

Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А.

Механика твердого тела. Лекции.

Архивная копия

от 7 января 2014 на

Wayback Machine
Издательство Физического факультета МГУ, 1997.

Павленко Ю. Г.

Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.

Яворский Б. М.
,
Детлаф А. А.
Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3

Сивухин Д. В.
Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.

Беляев Н. М.
Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.