Группа симметрии (также группа симметрий) некоторого объекта (многогранника или множества точек из метрического пространства) ― группа всех преобразований, для которых данный объект является инвариантом, с композицией в качестве групповой операции. Как правило, рассматриваются множества точек n-мерного евклидова пространства и движения этого пространства, но понятие группы симметрии сохраняет свой смысл и в более общих случаях.
Ниже предполагается, что для каждой точки множество образов , где — группа симметрии, топологически замкнуто.
Каждое движение одномерного пространства является либо переносом всех точек прямой на некоторое фиксированное расстояние, либо отражением относительно некоторой точки. Множество точек одномерного пространства обладает одной из следующих групп симметрии:
В двумерном случае группы симметрии делятся на следующие классы:
Перечень конечных групп симметрии состоит из 7 бесконечных серий и 7 случаев, рассматриваемых отдельно. В этот перечень входят 32 точечные кристаллографические группы и группы симметрии правильных многогранников.
Непрерывные группы симметрии включают:
- Г. Вейль. Симметрия. — М.: Наука, 1968.
- Miller, Willard Jr. Symmetry Groups and Their Applications. — New York: Academic Press, 1972.
Кристаллографические группы, или фёдоровские группы — набор групп симметрий, которые описывают все возможные симметрии бесконечного количества периодически расположенных точек в трёхмерном пространстве.
Эта классификация симметрий была сделана независимо и почти одновременно русским математиком Фёдоровым и немецким математиком Шёнфлисом. Полученные сведения играют большую роль в кристаллографии.
Легенда к списку
Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы. При этом символы осей и плоскостей симметрии в символе могут изменяться на символы винтовых осей и скользящих плоскостей в соответствии с их наличием в данном конкретном кристаллическом пространстве. Символы решётки Браве передают её тип центрировки:
Для обозначения кристаллографических классов (точечных групп) приняты следующие обозначения (здесь буква n заменяет натуральное число, а буква m обозначает именно саму букву m):
Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Cnv (от нем. vertikal — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной. Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
Dnh — также имеет горизонтальную плоскость симметрии. Dnd (от нем. diagonal — диагональный) — также имеет вертикальные диагональные плоскости симметрии, которые идут между осями симметрии второго порядка.
Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрииTd — также содержат диагональную плоскость симметрии
n может равняться 1, 2, 3, 4, 6.
В других размерностях
У периодических структур в одномерном пространстве есть всего два типа симметрии. Они могут быть проиллюстрированы последовательностями символов:
Первая бесконечная последовательность симметрична только относительно трансляции (на три символа), вторая последовательность симметрична ещё и относительно отражения.
В двумерном пространстве существует 17 типов симметрии периодических структур.
Количество групп симметрий произвольного n-мерного пространства описывается последовательностью A006227.
Группы можно разделить на симморфные и несимморфные. Симморфными называются такие симметрии, которые можно составить путём поворота вокруг осей, а также отражения от плоскостей, которые все проходят через одну точку. Симморфные пространственные группы содержат в качестве подгрупп точечные группы симметрии, отвечающие классу, к которому принадлежит данная пространственная группа.
Все 230 групп можно разделить на 32 класса. В каждом классе есть симметрия, оставляющая хотя бы одну точку пространства неподвижной. Количество элементов в классах колеблется от 1 до 28.
Классы можно разделить на системы (сингонии). Есть 7 сингоний. В каждой сингонии найдётся хотя бы одна предельная группа.
5. На рис.5.3.3 показаны некоторые сочетания оси симметричности второго порядка с плоскостью симметричности. Возникающее расположение элементов симметрии определяется теоремой3 .
6. На рис. 5.3.4 изображены комбинации элементов симметрии,
Нужно, однако, иметь в виду, что реализуемы отнюдь не любые комбинации и относительные ориентации элементов симметрии.
Пространственной группой симметрии называется совокупность симметрических операций, присущих той или иной идеальной кри-
группы трехмерную группу трансляций, относящуюся к одному из
типов Бравэ. Наряду с этим в нее,вообще говоря, входят и другие закрытые и открытые операции симметрии.
Значительную часть пространственных групп можно получить следующим способом. Пусть симметрия позициидл я некоторой точкиО пространства описывается кристаллографической точечной группой 5; иными словами, в точке пересекаются элементы симметрии, входящие в группу 5. Эта группа относится к определен-
ной сингонии. Совместимс точкойО начало координат решетки,со — ответствующей данной сингонии, и размножим точку О, а вместе с
нейи элементы симметрии, черезне е проходящие,с помощью группы трансляций. Учтем также те результаты, к которым приводит сочетание элементов симметрии с трансляциями (раздел 5.2). В итоге получится геометрический образ одной из пространственных
Фактически такая процедура уже была в ряде случаев проделана. Так,размножаяос 3и 4, 6, перпендикулярными трансляциями, мы получили расположения, показанные на рис. 5.2.3, б, в, г.
Если подразумевать наличие трехмерной решетки, то эти рисунки
изображают проекции трех пространственных групп, обозначаемых
иСходные группыс инверсионными осями изображе-
нын а рис. 5.2.5. Особенность пространственных групп, представ-
клонные трансляции; поэтому кроме поворотных осей появляются
чередующиеся ними винтовые( в случае рис.5.2.8,нарядус зер-
кальными плоскостями — плоскости скользящего отражения). Геометрический образ пространственной группы позволяет по-
лучить полное представление о входящих в нее симметрических операциях. Число этих операций всегда бесконечно,те .вс . е про-
странственные группы имеют бесконечный порядок. Однако если ограничиться одной элементарной ячейкой, то можно для каждой
циклической подгруппы указать операцию, представляющую собой
первую степень; это будет соответствовать перечню элементов симметрии, входящих в данную группу.
Группы, получаемые описанным путем, т. е. добавлением трехмерной решетки к кристаллографическим точечным группам, называются Таких групп существует 73. Символ симморфной группы состоит из символа решетки (примитивной или
непримитивной) и символа соответствующей точечной группы. На рис. 5.4.1 приведены дополнительные примеры симморфных групп.
Несимморфные пространственные группы получаютсярп и частичной или полной замене закрытых элементов симметрии, входя-
щи вх симморфные группы,н а сходственные открытые, имеющие ту же ориентацию относительно осей координат. Так,из симморф-
ной группы (рис. 5.4.1, можно получить несимморфные
группы Р2 1т, Р2/а, Р2 /а (рис.5.4.2).
Всего существует32 0 пространственных групп симметрии. Впер-
вые их вывел в 1890г. Е. С. Федоров (несколько позже к’тому же результату пришел А. Шенфлис). По имени великого русского кристаллографа эти группы часто называют Полный
лицах, описание которых дано в разделе 5.5, а также в книге ГБ. . Бокия (см. список рекомендованной литературы).
меется, допустимы и при необходимости используются и другие ориентации осей координат (см., например, рис. 5.4.1, где ось
У расположена наклонно по отношению к плоскости чертежа). Для гексагональной сингонии типично размещение координатных осей, показанное а рис. 5.4.1,
Каждая кристаллографическая точечная группа характеризуется определенной симметрией решетки (см. табл. 9) и соответствующей кристаллографической системой координатЭт. у координатную систему,а следовательно,и принадлежностьк соответст-
вующей сингонии сохраняети пространственная группа, генетически связанная с данной точечной группой. Что же касается правил,
определяющих взаимосвязь координатных осей и символа пространственной группы, то они вполне аналогичны правилам, дейст-
пендикулярно оси У — плоскость перпендикулярно оси Z— плоскость Кроме того, благодаря непримитивности решетки здесь
присутствуют плоскости 6, чередующиесяс плоскостямиаг и , плоскости чередующиесяс плоскостямиНаличие трансляции, центрирующей грань вызывает еще,одно примечательное следствие: плоскость а, перпендикулярная оси Z, здесь в то же время является плоскостью
Приведенный пример указывает на неоднозначность той симво-
лики пространственных групп, которая была использована выше (подобно соответствующей символике точечных группэт а симво-
лика называется Так, группу можно обо-
значить и другими способами. Нсодно-
•’значность подобных обозначений увеличивается, если /допустить возможность переименования осей координат. Например, если поменять местами наименования осей и Z, то рассматриваемую
группу можно обозначить символами и т. д. Важно, однако, подчеркнуть, что международный символ, как бы он ни
Гораздо реже для обозначения пространственных групп применяется символика Шенфлиса. Здесь к символу точечной группы в качестве верхнего индекса добавляется порядковый номер обозначаемой группы в списке пространственных групп, выводимых из
данной точечной. Например, группа записывается как D^.
шифрован без использования справочных таблиц.
Рассмотрим особо один важный пример неоднозначности описания пространственных групп с помощью международных символов. Речь пойдет о группе (рис. 5.4.2, в), но Шенфлису
обозначаемой Эт а группа чаще всего, намного чаще других встречается в кристаллических структурах. Прежде всего, если поменять местами названия осей и F, то группу нужно будет обозначить Затем,соУ ь можно направить о диагонали ячейки, показанной на рисунке, что не противоречит правилам выбора кристаллографических осей. Тогда в новой ячейке скольжение, присутствующеев плоскости симметричности, будет иметь
ноклинной сингонии стандартным считается выбор осей координат,рп и которомсо Z ь перпендикулярна косоугольной грани
v/ К, /К./
Рис. 5.4.4. Несимморфные пространственные группы средней категории
—а Р4 /тпт,б— Рб^/ттс
таком случае помимо фигурировавших выше обозначений
возможно обозначение если скольжение направлено вдоль оси Z. Последний способ обозначения рассматриваемой
группы, пожалуй, чаще всего встречается литературе
Мы опускаем рассмотрение достаточно громоздких пространственных групп высшей категории, отсылая читателя к рекомендованной литературе (Загальская Ю. Г., Литвинская Г. П. Геометрическая микрокристаллография; Белов Н. В. и др. Атлас пространственных групп кубической системы).
Кристаллографическая группа (фёдоровская группа) — дискретная группа движений -мерного евклидова пространства, имеющая ограниченную фундаментальную область.
Две кристаллографические группы считаются эквивалентными,
если они сопряжены в группе аффинных преобразований евклидова пространства.
Теорема позволяет дать следующее описание строения кристаллографических групп как абстрактных групп:
Пусть — совокупность всех параллельных переносов, принадлежащих кристаллографической группе .
Тогда — нормальная подгруппа конечного индекса, изоморфная и совпадающая со своим централизатором в .
Наличие такой нормальной подгруппы в абстрактной группе является и достаточным условием того, чтобы группа была изоморфна кристаллографической группе.
Группа линейных частей кристаллографической группы сохраняет решётку ; иными словами, в базисе решетки преобразования из записываются целочисленными матрицами.
Число кристаллографических групп -мерного пространства с сохранением ориентации или без даётся последовательностями A004029 и A006227.
С точностью до эквивалентности имеется
Элементы симметрии конечных фигур, которые оставляют неподвижной хотя бы одну точку.
Все возможные комбинации точечных элементов симметрии приводят к 10 точеным группам симметрии в 2-мерном пространстве и 32 точечным группам в 3-мерном пространстве.
В 4-мерном пространстве появляется новый тип элементов симметрии — двойные вращения в двух абсолютно перпендикулярных плоскостях. За счёт этого увеличивается количество элементов симметрии, совместимых с трансляционной симметрией. Для пространств размерности 4 и 5 в кристалле возможны точечные элементы симметрии с порядками 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 и 12. Более того, поскольку вращения в каждой из абсолютно перпендикулярных плоскостей могут производиться в разные стороны, появляются энантиоморфные пары точечных элементов симметрии (например, двойное вращение четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на 90° во второй плоскости энантиоморфно двойному вращению четвёртого порядка, где комбинируются повороты на 90° в первой плоскости и на −90° во второй). Все возможные комбинации точечных элементов симметрии в 4-мерном пространстве приводят к 227 4-мерным точечным группам, из которых 44 являются энантиоморфными (то есть всего получается 271 точечная группа симметрии).
Сложные операции симметрии
Повороты вокруг осей с одновременным переносом на некоторый вектор в направлении этой оси (винтовая ось) и отражение относительно плоскости с одновременным сдвигом на некоторый вектор, параллельный этой плоскости (плоскость скользящего отражения). В международной символике винтовые оси обозначаются цифрой соответствующей поворотной оси с индексом, характеризующим величину переноса вдоль оси при одновременном повороте. Возможные винтовые оси в 3-мерном случае: 21 (поворот на 180° и сдвиг на 1/2 трансляции), 31 (поворот на 120° и сдвиг на 1/3 трансляции), 32 (поворот на 120° и сдвиг на 2/3 трансляции), 41 (поворот на 90° и сдвиг на 1/4 трансляции), 42 (поворот на 90° и сдвиг на 1/2 трансляции), 43 (поворот на 90° и сдвиг на 3/4 трансляции), 61, 62, 63, 64, 65 (поворот на 60° и сдвиг на 1/6, 2/6, 3/6, 4/6, и 5/6 трансляции, соответственно). Оси 32, 43, 64, и 65 энантиоморфны осям 31, 41, 62, и 61, соответственно. Именно за счёт этих осей существует 11 энантиоморфных пар пространственных групп — в каждой паре одна группа является зеркальным отображением другой.
Плоскости скользящего отражения обозначаются в зависимости от направления скольжения по отношению к осям кристаллической ячейки. Если скольжение происходит вдоль одной из осей, то плоскость обозначается соответствующей латинской буквой a, b или c. В этом случае величина скольжения всегда равна половине трансляции. Если скольжение направлено по диагонали грани или пространственной диагонали ячейки, то плоскость обозначается буквой n в случае скольжения равного половине диагонали, или d в случае скольжения равного четверти диагонали (такое возможно только если диагональ центрирована). Плоскости n и d также называются клиноплоскостями. d плоскости иногда называют алмазными плоскостями, поскольку они присутствуют в структуре алмаза (англ. diamond — алмаз).
Кристаллографические (пространственные) группы со всеми присущими им элеменатами симметрии сведены в международном справочнике «Международные кристаллографические таблицы» (англ. International Tables for Crystallography), выпускаемых Международным союзом кристаллографии. Принято использование нумерации, приведённой в данном справочнике. Группы нумеруются с 1 по 230 в порядке увеличения симметрии.
Символика Германа — Могена
Символ пространственной группы содержит символ решётки Браве (заглавную букву P, A, B, C, I, R или F) и международный символ точечной группы.
Символ решётки Браве обозначает наличие дополнительных узлов трансляции внутри элементарной ячейки: P (primitive) — примитивная ячейка;
A, B, C (A-centered, B-centered, C-centered) — дополнительный узел в центре грани A, B или C соответственно; I (I-centered) — объёмноцентрированная (дополнительный узел в центре ячейки), R (R-centered) — дважды объёмноцентрированная (два дополнительных узла на большой диагонали элементарной ячейки), F (F-centered) — гранецентрированная (дополнительные узлы в центрах всех граней).
Международный символ точечной группы в общем случае формируется из трёх символов, обозначающих элементы симметрии, отвечающие трём основным направлениям в кристаллической ячейке.
Под элементом симметрии, отвечающим направлению, понимается либо ось симметрии, проходящая по этому направлению, либо перпендикулярная ему плоскость симметрии, либо и то, и другое (в этом случае они записываются через дробь, например, 2/c — ось симметрии 2-го порядка и перпендикулярная ей плоскость скользящего отражения со сдвигом в направлении c). Под основными направлениями понимают:
Символы Германа — Могена обычно сокращают, удаляя обозначения отсутствующих элементов симметрии по отдельным направлениям, когда это не создаёт неоднозначности, например, записывают P4 вместо P411.
Также при отсутствии неоднозначности опускают обозначения осей второго порядка, которым перпендикулярны плоскости симметрии, например, заменяют C на .
Символ Шёнфлиса задаёт класс симметрии (основной символ и нижний индекс) и условный номер группы в пределах этого класса (верхний индекс).
Сni — группы с единственной инверсионной осью симметрии сопровождаются нижним индексом i. Cnv (от нем. vertical — вертикальный) — также имеет плоскость симметрии, расположенную вдоль единственной или главной оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной. Cnh (от нем. horizontal — горизонтальный) — также имеет плоскость симметрии, перпендикулярную к главной оси симметрии.
Oh и Th — также содержат горизонтальную плоскость симметрииTd — также содержит диагональную плоскость симметрии
Рис. 99. Проекция структуры
алмаза на плоскость ñ
7.3. Основные теоремы взаимодействия закрытых и открытых элементов симметрии с трансляциями
Последовательное отражение в двух параллельных плоскостях симметрии, расстояние между которыми a, равносильно трансляции на расстояние t = 2a
Рис. 100. К теореме 1
Глава Симметрия кристалли ч еской структуры
Рис. 101. К теореме 2
Плоскость симметрии и перпендикулярная ей трансляция t порождает новые, вставленные плоскости симметрии, параллельные данной, аналогичные ей и отстоящие от нее на расстояние t/2
Рис. 102. К теореме 3.
Ось симметрии и перпендикулярная ей трансляция t порождает новые оси симметрии, параллельные данной, аналогичные ей и отстоящие от нее на расстояние
Рис. 103. К теореме 4.
и трансляция , составляющая с плоскостью угол , порождает плоскость
скользящего отражения, параллельную данной, отстоящую от нее на расстояние и имеющую скольжение
Рис. 104. К теореме 5.
При пересечении двух пересекающихся под углом
плоскостях симметрии по линии пересечения появляется ось симметрии с углом поворота 2
7.4. Пространственные (федоровские) группы симметрии.
Взаимодействие элементов микросимметрии и 14 типов ячеек приводит к 230 различным пространственным группам симметрии (Набор этих групп следует рассматривать как одну из констант Природы.
Точечные группы симметрии характеризуют симметрию внешней формы кристалла и их физических свойств. Каждой точечной группе соответствует несколько пространственных групп симметрии. Пространственные группы симметрии характеризуют симметрию структуры кристалла. Они являются главным критерием, выделяющим кристаллические структуры из всех других образований. – твердые тела, структура которых описывается одной из 230 пространственных групп симметрии.
Для обозначения пространственных групп симметрии применяют международные символы () или символы Шенфлиса.
Таблица 18. Обозначение пространственных групп симметрии по
Международный (интернациональный) символ пространственной группы составлен так, что по виду символа при помощи теорем о сочетании элементов симметрии можно наглядно представить всю совокупность элементов симметрии этой группы. В символе пространственной группы пишутся только порождающие элементы симметрии.
В международном символе пространственной группы на первом месте всегда стоит буква, обозначающая тип ячейки Бравэ; далее – порождающие элементы симметрии, каждый на определенном месте (таблица 9, 18). Нарушение порядка записи меняет смысл символа.
При обозначении международными символами необходимо соблюдать ряд правил:
Если в одном направлении есть и плоскости зеркального отражения, и плоскости скользящего отражения, то в символ группы вводится обозначение плоскости зеркального отражения.
Если в одном направлении есть и плоскости, и оси, то в символе указывается плоскость.
Если в одном направлении есть оси различных порядков, то записывается страшая из них.
каком-то месте нет элемента симметрии, то пишется цифра . Обозначения по Шенфлису пространственный групп симметрии аналогично
обозначению точечных групп, за исключением верхнего индекса, который указывает порядок следования данной пространственной группы, соответствующей точечной, в Интернациональных таблицах (например,
7.5. Классный вывод пространственных групп симметрии
(по Н. В. Белову)
При выводе пространственных групп симметрии наиболее удобно исходить из 32 точечных групп симметрии, т. е. точечных групп симметрии, сочетающихся с трехмерными решетками. Добавив к каждой из 32 точечных групп симметрии все допустимые ею трансляционные подгруппы (решетки Бравэ), придем к пространственным группам, в которых целиком сохранился как осевой, так и
пространственные группы Pmmm, Cmmm, Immm, Fmmm.
Для получения пространственных групп симметрии надо у каждой симморфной группы последовательно заменить все макроэлементы симметрии на их микроэлементы симметрии, тогда, например, из
Несимморфные группы разделяются на 54 è 103 В первых полностью сохранился осевой комплекс их точечных групп (например, Pbam = P2/b 2/a 2/m, Pccm = P2/c 2/c 2/m), во вторых – ни осевой, ни плоскостной комплекс точечных групп полностью не сохраняется (например, /a, Pmna = P2/m 2/n 2).
Последовательность действий: к зеркальным плоскостям и поворотным осям последовательно добавить (переход к плоскостям скольжения и к винтовым осям) и затем добавить (т. е. указать тип ячейки Бравэ).
Трем ортоомбическим классам кристаллографической макросимметрии (222, mm2, mmm) соответствуют 59 пространственных микрокристаллографических групп симметрии. Все они выводятся из 4-х возможных плоскостей симметрии (зеркальных и скользящих) путем простых перестановок с возможных повторением одной и той же буквы.
Чтобы вывести для этого класса все пространственные группы симметрии с Р-ячейкой Бравэ, надо учитывать возможность появления в обоих положениях, кроме зеркальных плоскостей , также и скользящих с вертикальным (паралелльно оси ) или горизонтальным (параллельно осям èëè ) скольжениями, или с диагональным скольжением. Плоскости с вертикальным скольжением обозначим буквой , а с горизонтальным скольжением – èëè , клиноплоскость – :
Pmm, Pmn (=Pnm), Pmc (=Pcm), Pma (=Pbm), Pnn, Pnc (=Pcn), Pna (=Pbn), Pcc, Pca (=Pbc), Pba.
На третьем месте будет ось 2-го порядка:
Таким образом, точечной группе соответствует 10 пространственных групп с Р-ячейкой Бравэ:
Pmm2, Pmn2, Pmc2, Pma2, Pnn2, Pnc2, Pna2, Pcc2, Pca2, Pba2.
Здесь исчезает различие между вертикальными и горизонтальными направлениями, и при выводе групп надо обращать особое внимание на одинаковость или различие направлений скольжения в 3-х плоскостях. Заметим, что в клиноплоскости скольжение происходит как вдоль одной диагонали, так и обязательно и вдоль другой, поэтому в этом она сходна с плоскостью .
Поочередно меняя плоскости в трех позициях точечной группы получим следующие пространственные группы с Р-ячейкой Бравэ c двумя плоскостями èëè :
1) Pmmm 2) Pnnn 3) Pmmn 4) Pnnm 5) Pmmg 6) Pnng
Топологически безразлично, как расшифровывать третью букву (-плоскость с горизонтальным скольжением): èëè . Соответственно этому следующие равенства надо читать как топологические:
Pmmg=Pmmb=Pmma=D 6) Pnng=Pnnb=Pnna=D 7) Pmna 8) Pnma
группе 7 плоскость имеет скольжение, перпендикулярно к зеркальной плоскости , а в группе 8 плоскость имеет скольжение, перпендикулярное к клиноплоскости . Поэтому топологически идентичными будут группы:
Pmna = Pnmb = Pman = D, 8) Pnma = Pmnb = Pnam = D.
Переходим к пространственным группам с одной плоскостью èëè è ñ
плоскостями с горизонтальным скольжением () или вертикальным ().
9) Pccm 10) Pccn 11) Pggm 12) Pggn 13) Pgcm 14) Pgcn
Расшифровывая символ , получим последние 4 группы в виде:
11) Pbam 12) Pban 13) Pbcm 14) Pbcn
Если в числе 3-х плоскостей нет ни одной плоскости èëè , то получим следующие пространственные группы симметрии:
Таким образом, точечной группе mmm соответствует 16 пространственных групп с Р-ячейкой Бравэ:
Pmmm, Pnnn, Pmmn, Pnnm, Pmmb, Pnnb, Pmna, Pnma,
Pccm, Pccn, Pbam, Pban, Pbcm, Pbcn, Pcca, Pbca
Следующий этап – переход к другим типам ячейки Бравэ. Например, Pmm2, Imm2, Fmm2, Cmm2, Amm2=Bmm2.
Обратная задача – переход от пространственной группы симметрии к ее точечной – значительно проще. Надо заменить все плоскости скользящего отражения зеркальными плоскостями и все винтовые оси – поворотными соответствующего порядка (т. е. необходимо отбросить все ) и затем перенести все элементы симметрии параллельно самим себе до их пересечения в одной точке (т. е. необходимо отбросить все ). Например, пространственные группы
7.6. Построение графиков пространственных групп.
Построение графика пространственной группы симметрии состоит из нескольких последовательных действий, которые рассмотрим на примере орторомбических кристаллов с точечными группами mm2, 222, mmm.
Первоначально необходимо изобразить координатную систему и плоскости симметрии, записанные в символе и повторить эти плоскости через трансляции, согласно правилам установки (таблица 2, 9) . Далее при построении графиков пространственных групп надо придерживаться выполнения следующих правил:
Взаимодействие плоскостей с перпендикулярными трансляциями ячейки Бравэ () приводит к появлению плоскостей, аналогичных данным, параллельных им и отстоющих от них на .
Взаимодействие полученных плоскостей с оставшимися трансляциями t приводит в преобразованию этих плоскостей в новые.
Оси образуются по линии пересечения всех плоскостей и перемещаются под действием трансляций (, относящихся к пересекающимся плоскостям.
Точечная группа mm2
Далее необходимо расставить оси 2-го порядка
оси будут находиться на пересечении плоскостей, если они не имеют трансляций вдоль осей è (плоскости è ;
оси будут смещены на , если перпендикулярно оси расположена плоскость, имеющая трансляцию (плоскости èëè ), а перпендикулярно
îñè нет плоскостей с трансляцией вдоль оси (плоскости èëè )
оси будут смещены на , если перпендикулярно оси расположена плоскость, имеющая трансляцию (например, плоскости èëè ), а перпендикулярно оси нет плоскостей с трансляцией вдоль оси (плоскости
(теорема 3) ;
оси будут смещены на , если перпендикулярно осям è расположены плоскости, имеющие трансляции è (плоскости или è èëè è , èëè è èëè è )
оси будут поворотными, если взаимодействующие плоскости или не имеют вертикальных трансляций (плоскости è или и одна, и другая плоскости имеют вертикальные трансляции (плоскости è , è è
оси будут винтовыми, если только одна из взаимодействующих плоскостей имеет вертикальную трансляцию (плоскости è , è ,è ,è ,è , è ).
В-ячейки Бравэ имеет трансляции /2 + t.
Далее происходит взаимодействии этой появившейся вставленной плоскости с оставшейся трансляцией , что приводит к образованию новой плоскости на месте вставленной. Например, продолжая рассматривать пространственную группу , при взаимодействии образовавшейся вставленной на трансляции
Только после этих двух действий необходимо расставить оси симметрии, согласно пункту 2 104.
А-ячейка Бравэ имеет трансляции /2 + t. После действий, указанных в пункте 1, мы получаем плоскости, аналогичные указанным в пространственной группе, которые перпендикулярны координатным осям è .
Далее происходит взаимодействие этой появившейся вставленной плоскости с оставшейся трансляцией , что приводит к образованию новой плоскости на месте вставленной. Например, продолжая рассматривать пространственную группу , при взаимодействии образовавшейся вставленной на расстоянии
Только после этого расставляются оси симметрии, согласно пункту 2 104.
С- ячейка Бравэ имеет трансляции /2 + t. После действий, указанных в пункте 1, мы получаем плоскости, аналогичные указанным в пространственной группе, которые перпендикулярны координатным осям è .
Затем только после всего этого расставляются оси симметрии, согласно пункту 2 104.
I-ячейка Бравэ имеет трансляции /2 + t/2 + t. После действий, указанных в пункте 1, мы получаем плоскости, аналогичные указанным в пространственной группе, которые перпендикулярны координатным осям è .
Затем необходимо рассмотреть взаимодействие имеющихся двух плоскостей, перпендикулярных осям , с перпендикулярными им трансляциями è , в результате чего получим плоскости, аналогичные данным и отстающие от них соответственно на è /4 (теорема 2). Например, для группы при взаимодействии = , т. е. появляется такая же плоскость, но
Далее происходит взаимодействие этих появившихся вставленных плоскостей с оставшимися для каждой из них двух трансляций I-ячейки Бравэ, что приводит к образованию новых плоскостей на месте вставленных. Например, продолжая рассматривать пространственную группу , при взаимодействии образовавшейся вставленной на расстоянии плоскости /2 = b, так как трансляция плоскости при взаимодействии с трансляциями è , принадлежащих I-ячейке Бравэ, превращается в плоскость скользящего отражения из-за того, что трансляции è
плоскости при взаимодействии с трансляциями è , принадлежащих I- ячейке Бравэ, превращается в плоскость скользящего отражения из-за того, что трансляции è “уничтожаются”.
Затем расставляются оси симметрии, согласно пункту 2 104.
F-ячейка Бравэ имеет трансляции /2 + t, /2 + t, /2 + t. После действий, указанных в пункте 1, мы получаем плоскости, аналогичные указанным в пространственной группе, которые перпендикулярны координатным осям è .
В гранецентрированной решетке, как и в любой непримитивной, плоскости симметрии разных наименований оказываются взаимосвязанными. В данном случае необходимо учитывать влияние сразу нескольких трансляций как лежащих в самой плоскости, так и косо расположенных к ней. Итак, для плоскостей симметрии обеих позиций характерны как , òàê è
Рассмотрим пространственную группу . Трансляции /2 + t, лежащии в самой плоскости заставит зеркальную плоскость быть одновременно и плоскостью n m (n) ; плоскость è
Таким образом, в одном символе исчерпаны все возможности для пространственных групп класса c -решеткой Бравэ:
Соседние файлы в папке Кристаллография
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 18 декабря 2019 года; проверки требуют 3 правки.
Обозначение точечных групп
При точечной симметрии хотя бы одна точка сохраняет своё положение. Точечные группы симметрии в трёхмерном пространстве можно разделить на несколько семейств. В символах Шёнфлиса они описываются следующим образом:
Cnv (от нем. — вертикальный) — группы с n вертикальными плоскостями симметрии, расположенными вдоль оси симметрии, которая всегда мыслится вертикальной. Cnh (от нем. — горизонтальный) — группы c горизонтальной плоскостью симметрии, перпендикулярной к оси симметрии.
Cs — для плоскости неопределённой ориентации, то есть не фиксированной ввиду отсутствия в группе иных элементов симметрии.
Dnh — также имеет горизонтальную и n вертикальных плоскостей симметрии. Dnd (от нем. — диагональный) — также имеет n вертикальных плоскостей симметрии, идущих по диагонали между горизонтальными осями второго порядка.
Группа D2 иногда раньше обозначалась как V (от нем. — четверная группа), а группы D2h и D2d как Vh и Vd, соответственно.
T, Th, Td — совокупность поворотных осей в тетраэдре (только поворотные оси 2-го и 3-го порядков). O, Oh — совокупность поворотных осей в октаэдре или кубе (поворотные оси 2-го, 3-го и 4-го порядков). I, Ih — совокупность поворотных осей в икосаэдре или додекаэдре (поворотные оси 2-го, 3-го и 5-го порядков).
Иногда икосаэдрические группы I и Ih обозначаются как Y и Yh.
Группы, в которых не более одной оси высшего порядка, можно расположить в следующей таблице
Бордовым цветом отмечены не употребляемые варианты обозначений групп.
В кристаллографии из-за наличия трансляционной симметрии кристаллической структуры n может принимать только значения 1, 2, 3, 4 и 6. Некристаллографические точечные группы даны на сером фоне. D4d и D6d также являются некристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядка 8 и 12, соответственно. 27 кристаллографических точечных групп из таблицы и пять групп T, Td, Th, O и Oh составляют все 32 кристаллографические точечные группы симметрии.
Обозначение пространственных групп
Если в пространственной группе убрать трансляционные компоненты (то есть убрать трансляции и заменить винтовые оси на обычные оси, а плоскости скользящего отражения на зеркальные плоскости), то получится соответствующая пространственной группе точечная группа — одна из 32-х кристаллографических точечных групп. Символ Шёнфлиса пространственной группы образуется из символа соответствующей точечной группы с дополнительным верхним цифровым индексом, так как обычно одной точечной группе соответствует сразу несколько пространственных групп (максимум — 28 пространственных групп для группы D2h). При этом индекс не даёт никакой дополнительной информации об элементах симметрии группы, а просто связан с тем, в какой последовательности Шёнфлис выводил 230 пространственных групп. Таким образом, символ Шёнфлиса для пространственной группы не только ничего не говорит об ориентации элементов симметрии по отношению к осям ячейки, но даже не даёт информации о центрировке ячейки и трансляционной составляющей осей и плоскостей симметрии. Чтобы получить полную информацию о пространственной группе из символа Шёнфлиса, надо пользоваться таблицей, в которой сопоставлены эти символы символам Германа-Могена. Например, такая таблица дана в списке пространственных групп или здесь.
- Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
- Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line http://geo.web.ru/db/msg.html?mid=1163834)
- П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line http://www.chem.msu.su/rus/teaching/zorkii2/welcome.html)
- Р. Фларри, Группы симметрии. Теория и химические приложения, М.: Мир, 1983
- И. Харгитаи, Симметрия глазами химика. — М.: Мир, 1991 (страница 99)
Все ресурсы в архиве электронных ресурсов защищены авторским правом, все права сохранены.
Сингони́я (от греч. «согласно, вместе, рядом» + «угол»; «сходноугольность») — классификация кристаллографических групп симметрии, кристаллов и кристаллических решёток в зависимости от системы координат (координатного репера); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра элементарных ячеек.
Кристалли́ческая систе́ма — классификация кристаллов и кристаллографических групп, основанная на наборе элементов симметрии, описывающих кристалл и принадлежащих кристаллографической группе.
Систе́ма решётки — классификация кристаллических решёток в зависимости от их симметрии.
