КУБИЧЕСКАЯ ПЛОТНЕЙШАЯ УПАКОВКА

Карл Фридрих Гаусс доказал, что самая высокая плотность упаковки в трёхмерном пространстве, которая может быть достигнута простой регулярной упаковкой, равна

Эта статья — о геометрических задачах упаковки. О числовых задачах упаковки см. Задача о ранце.

В задаче упаковки задано:

Гипотеза И. Кеплера (1611) о том, что кубическая плотнейшая упаковка и другие равные ей по плотности упаковки обладают максимально возможной в трёхмерном пространстве плотностью, была доказана К. Гауссом (1831) для регулярных (периодических) упаковок. В нерегулярных упаковках возможно существование небольших областей с большей плотностью, однако при увеличении объёма средняя плотность оказывается ниже 74 %. Компьютерное доказательство гипотезы Кеплера в общем виде, представленное американским учёным Т. К. Хейлсом (1998), считается достаточно убедительным.

Плотнейшая упаковка является частным случаем плотных упаковок и может быть реализована множеством способов. На практике разновидности плотнейшей упаковки часто используют как один из вариантов описания кристаллических структур преимущественно неорганических и очень редко органических соединений.

Опубликовано 3 февраля 2023 г. в 11:19 (GMT+3). Последнее обновление 3 февраля 2023 г. в 11:19 (GMT+3).

Для описания пространственной группы пользуются чертежом, координатами системы точек общего положения или символом. Поэтому обычно изображают проекции пространственной группы на координатные плоскости.

Симметрию пространственной группы можно передать с помощью символов Германа — Могена. Для этого элементы симметрии соответствующего класса точечной симметрии заменяются элементами симметрии пространственной группы, а также вводится буквенное обозначение соответствующей трансляционной группы (типа решетки Бравэ).

Если представить атомы одного сорта в виде шаров одинакового размера, то легко допустить, что в кристалле они стремятся быть упакованными максимально плотно. Существуют две основные плотнейшие шаровые упаковки — кубическая и гексагональная. В первой из них по оси 4-го порядка друг на друга накладываются квадратные слои тетрагональной симметрии. Соотношение числа шаров и лунок в слое 1:1 (рис. 3, а). Если укладывать каждый следующий слой на предыдущий так, чтобы шары опускались в лунки между шарами предыдущего слоя, то получим плотнейшую упаковку (рис. 3, б): каждый шар в ней будет иметь 12 соседей (4 шара в том же слое, 4 сверху и 4 снизу), а коэффициент заполнения пространства достигнет максимальной величины (74,05%). Симметрия этой укладки кубическая, а шары расположены в узлах

-гранецентрированной кубической решетки Бравэ (рис. 3, в).

Перпендикулярно осям -го порядка в кубической упаковке можно заметить слои гексагональной симметрии, в которых каждый шар окружен шестью ближайшими шарами (рис. 4). Соотношение числа шаров и лунок в нем не 1:1, а 1:2 (каждая лунка окружена тремя шарами, а каждый шар — шестью лунками). Если начинать укладку шаров — с такого слоя, то, возникают две альтернативные возможности. Дело в том, что при наложении на исходный второго слоя, лунки оказываются различными: половина лунок — сквозные, под ними нет шаров первого слоя, другая половина — несквозные, под ними находятся шары первого слоя (см. рис. 3, г). Если шары третьего и всех последующих слоев укладывать только в сквозные лунки, то результат будет идентичным предыдущему: повторение мотива наступит в четвертом слое.

Рис. 4. Разделение плотнейшей укладки шаров () на слои, перпендикулярные оси , т. е. на гексагональные (плотнейшие) слои (); изолированный плотнейший слой (); соотношение числа шаров и лунок в слое равно 1:2

Каждый слой гексагональной упаковки лежит между двумя одинаково расположенными слоями, т. е. через него проходит плоскость симметрии. Такие симметрично окруженные слои обозначают буквой «». В кубической упаковке каждый слой расположен между двумя слоями, ориентированными неодинаково (слой А между С и В, слой В между А и С и т. д.). Такие слои обозначают буквой «». Подобные обозначения очень удобны для многослойных плотнейших упаковок, которые возникают, если использовать в некотором определенном порядке оба принципа укладки шаров — как в «сквозные», так и в «несквозные» лунки. Закономерно чередуя различным образом слои «» и «», можно получить, как впервые указал Л. Полинг в 1928 г., бесконечное множество упаковок.

Описание кристаллических структур с помощью концепции плотнейших упаковок шаров одинакового размера более всего адекватно для кристаллов типичных металлов или благородных газов, в которых химические связи (металлическая и ван- дер-ваальсова) ненаправленны и ненасыщаемы. Действительно, большинство типичных металлов кристаллизуется либо в кубической (например, Сu), либо в гексагональной (например, Мg), либо в обеих этих упаковках (например, Со), либо образуют более многослойные упаковки (например, структура Lа описывается четырехслойной плотнейшей упаковкой). В твердом Не — гексагональная плотнейшая упаковка атомов, а в кристаллах остальных инертных газов — кубическая.

Если бы теорию плотнейших упаковок можно было применить только для описания структур нескольких десятков простых кристаллических веществ, она не имела бы для кристаллохимии такого большого значения, которое имеет на самом деле. Однако свойство ненаправленности в пространстве имеет также типично ионная связь, хотя в этом случае приходится иметь дело с «шарами» разных зарядов и размеров. Если предположить, что более крупные «шары», которые обычно описывают отрицательно заряженные частицы (анионы), образуют плотнейшую упаковку, то более мелкие «шары» (обычно катионы) окажутся в пустотах этой упаковки. При наложении

плотнейших слоев друг на друга образуются два главных типа пустот — тетраэдрические и октаэдрические (рис. 5). На каждый шар приходится две тетраэдрические и одна октаэдрическая пустоты.

Рамки применения теории плотнейших упаковок сильно расширяются благодаря тому, что наиболее распространенные ближайшие окружения катионов в существенно ионных неорганических кристаллах, в том числе в кристаллах комплексных соединений, октаэдрическое и тетраэдрическое. Таким образом, можно считать, что чаще всего катионы попадают либо в тетраэдрические, либо в октаэдрические пустоты плотнейшей упаковки анионов.

Рис. 6. Структура флюорита СаF: общий вид () и план () структуры; выделены координационные многогранники для Са и F; структура флюорита как кладка кубов (в)

В целом ряде случаев более удобно в качестве матрицы, составляющей плотную упаковку, выбрать не анионы, а катионы. Известным примером является структура флюорита СаF(рис. 6), в которой ионы Fможно рассматривать как занимающие все тетраэдрические пустоты кубической плотнейшей упаковки катионов Са.

Даже типичные «тетраэдрические» кристаллы типа ZnS с существенно ковалентной связью между атомами могут быть формально рассмотрены как плотно упакованные структуры. В этом случае безразлично, какие из атомов (Zn или S)

Соседние файлы в папке Кристаллография

Плотнейшие упаковки частиц в кристаллах.

Для устойчивости кристаллической
структуры должно соблюдаться одно
важное условие:

Наименьшей внутренней энергией обладают
структуры, в которых частицы максимально
сближены друг с другом или иными словами
плотно упакованы. Если взять
шарики одинакового размера, то наибольшее
количество шариков можно уместить в
данный объем, если расстояния между
соседними частицами будут равны
удвоенному радиусу частиц.

Еще И. Кеплером было показано, что если
круглые горошины встряхнуть на плоском
блюдце, они образуют мотив, при котором
центры горошин расположены в вершинах
равносторонних треугольников.

Несмотря на то, что шары максимально
плотно прилегают друг к другу между
ними все же остаются треугольные пустоты
-«лунки». Следующий слой по условиям
плотнейшей упаковки должен помещаться
в лунках предыдущего. Однако, мы не можем
разместить шары следующего слоя во все
лунках, так как их в 2 раза больше чем
частиц. Заполненной окажется только
половина. Теперь между шарами разных
слоев определились объемные пустоты.
Из рисунка видно, что пустоты относятся
к двум различным типам. Одни сквозные
и окружены 6 шариками, а другие несквозные
и окружены 4 шариками. При ближайшем
рассмотрении видно, что центры шаров,
окружающих пустоты первого типа
расположены по вершинам октаэдра
(октаэдрические пустоты), а
шаров, окружающих пустоты второго типа
– по вершинам тетраэдра (тетраэдрические
пустоты). Тетраэдрические пустоты
имеют меньшие размеры, чем октаэдрические.

Варианты и обобщения

Наиболее эффективный способ упаковать круги разного размера не так уж очевиден

Пространства иных размерностей

Можно рассмотреть аналогичную задачу плотной упаковки гиперсфер (или окружностей) в евклидовом пространстве размерности, отличной от 3. В частности, двумерном евклидовом пространстве наилучшим заполнением является размещение центров кругов в вершинах паркета, образованного правильными шестиугольниками, в котором каждый круг окружён шестью другими. Именно из таких слоёв построены ГЦК и ГП (ГПУ) упаковки. Плотность данной упаковки:

Оптимальная упаковка кругов на плоскости

В 1940 году было доказано, что данная упаковка является самой плотной.

Заполнение оставшегося пространства

ГЦК и ГП (ГПУ) упаковки являются наиболее плотными известными упаковками одинаковых сфер с максимальной симметрией (наименьшей единицей повторения).
Более плотные упаковки шаров известны, но в них используются сферы разных диаметров.
Для упаковок с плотностью 1, заполняющих пространство полностью, требуется несферические тела, такие как соты, либо бесконечное количество сфер в конечном объёме (сетка Аполлония).

Размещение плодов апельсина в ГП (ГПУ) упаковке.

Снежные шары, уложенные для игры в снежки. В передней пирамиде снежки уложены в шестиугольную плотную упаковку, в задней — в гранецентрированную кубическую.

Решётки ГЦК и ГП (ГПУ)

Существует две простые регулярные упаковки, на которых достигается максимальная средняя плотность. Они называются гранецентрированная кубическая (ГЦК) (или кубическая плотная упаковка) и шестиугольная плотная упаковка (ГП или ГПУ = Гексагональная плотноупакованная ячейка или решётка), в зависимости от симметрий решётки. Обе упаковки основываются на слоях сфер с центрами в вершинах треугольной мозаики. Обе упаковки можно представить как стопку одинаковых листов, внутри которых сферы уложены в треугольную решётку (плотноупакованных слоёв); ГЦК и ГП (ГПУ) отличаются положением этих листов относительно друг друга.

Расположение сфер в ГЦК упаковке образует одноимённую решётку. Расположение сфер в ГПУ упаковке не образуют решётку, однако является регулярным в том смысле, что все положения сфер неразличимы — группа симметрии ГПУ упаковки действует транзитивно на сферы.

Расположение и незаполненное пространство

Взяв за точку отсчёта один из плотноупакованных слоёв шаров, можно разделить остальные на различные типы в зависимости от того, как они расположены относительного первого слоя в смысле горизонтального сдвига. Таких типов три, и их принято обозначать A, B и C.

Относительно уровня с шаром A (см. рисунок слева «Сравнение ГЦК и ГП (ГПУ) упаковок») возможны различные положения шаров B и C. Любая последовательность позиций A, B и C по слоям без повторения в соседних слоях возможна и даёт упаковку той же плотности.

Наиболее правильные упаковки:

В плотной упаковке расстояние между центрами сфер в плоскости плотноупакованного слоя равно диаметру сферы. Расстояние между центрами сфер в проекции на ось, перпендикулярную плотноупакованному слою, равно

где d — диаметр сферы. Это следует из тетраэдрального расположения сфер в плотной упаковке.

В задачах замощения не должно быть ни промежутков, ни наложений. Много головоломок такого типа используют упаковку прямоугольников или полимино в прямоугольник большего размера или другую фигуру, близкую к квадрату.

Существует важная теорема о замощении прямоугольников (и прямоугольных параллелепипедов) в прямоугольники (прямоугольные параллелепипеды) без промежутков и наложений:

Изучение замощений плитками полимино в значительной степени касается двух классов задач — замощение прямоугольника конгруэнтными плитками и замощение набором плиток n-полимино прямоугольника.

Классическая головоломка второго вида — расположить все двенадцать плиток пентамино в прямоугольниках размером 3×20, 4×15, 5×12 или 6×10.

Упаковка в 2-мерные контейнеры

Оптимальная упаковка 10 кругов в круге

Упаковка n единичных кругов в как можно меньшую окружность. Задача тесно связана с распределением точек в единичной окружности с целью достичь наибольшего минимального расстояния dn между точками.

Оптимальные решения были доказаны для n≤13 и для n=19.

Круги в квадрате

Оптимальная упаковка 15 кругов в квадрате

Круги в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Оптимальная упаковка 6 кругов в равнобедренном прямоугольном треугольнике

Круги в правильном треугольнике

Оптимальная упаковка 5 кругов в правильном треугольнике

Квадраты в квадрате

Оптимальная упаковка 10 квадратов в квадрате

Упаковка n единичных квадратов в как можно меньший квадрат.

Квадраты в круге

Упаковка n квадратов в как можно меньший круг.

Одинаковые прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки множественных копий одного прямоугольника размера (l,w) с разрешением поворота на 90° в больший прямоугольник размера (L,W) имеет несколько приложений, таких как загрузка коробок на поддоны и укладка древесно-стружечных плит.

Различные прямоугольники в прямоугольнике

Задача упаковки прямоугольников с различной шириной и высотой в прямоугольник минимальной площади (но без ограничения на ширину и высоту такого прямоугольника) имеет важное приложение для сборки изображений в одно большое изображение. W EB-страница, загружающая одно большое изображение, часто обрабатывается быстрее в браузерах, чем при загрузке множества мелких изображений, поскольку требуется запрос каждого изображения с сервера.

Пример быстрого алгоритма, упаковывающего прямоугольники различной высоты и ширины в прямоугольник минимальной площади, — здесь.

2 Виды плотнейших упаковок в структурах

При
описании структуры в терминах плотнейших
упаковок атомы, ионы или молекулы
представляют в виде несжимаемых шаров
одинакового размера. Чтобы структура
была устойчивой, она должна обладать
минимальной потенциальной энергией.
Это условие соблюдается при максимальном
сближении атомов в структуре, то есть
при образовании в структуре плотнейших
упаковок. Они присущи для всех химических
соединений, но чаще всего присутствуют
в ионных и металлических структурах.

Рассмотрим принципы
образования плотнейших упаковок.

В
первом слое наиболее плотная упаковка
достигается в том случае, когда каждый
шар окружен шестью соседними шарами и
шестью треугольными лунками.

Второй
слой шаров укладывается наиболее плотно,
если шар размещается над лункой, а не
шар над шаром. При этом заполняется
половина лунок и образуется два вида
пустот (рис. 8.1):

—
тетраэдрические – пустоты, окруженные
четырьмя шарами: тремя одного слоя и
одним шаром (над или под ним) другого
слоя, при соединении центров этих шаров
образуется тетраэдр;

— октаэдрические – пустоты, окруженные
шестью шарами: тремя одного и тремя
другого слоя, при соединении центров
этих шаров образуется октаэдр.

Рисунок 8.1 – Виды пустот: Т – тетраэдрическая,
О — окраэдрическая

В обоих типах плотнейших упаковок число
тетраэдрических пустот вдвое больше
числа шаров упаковки, а число октаэдрических
пустот равно числу шаров упаковки. В
сложных структурах (например NaCl)
плотнейшую упаковку образуют чаще всего
более крупные анионы (в данном случае
Cl-), а более мелкие
катионы занимают пустоты. Если ион
занимает тетраэдрическую пустоту, то
его координационное число равно 4, если
катион занимает октаэдрическую пустоту,
то его координационное число по аниону
равно 6.

В плотнейших упаковках в любом слое
каждый шар окружен шестью своими
соседними и тремя шарами сверху и тремя
– снизу, то есть координационное число
атомов, которые образуют плотнейшую
упаковку равно 12.

Высокое координационное число – признак
плотнейшей упаковки.

Плотность заполнения пространства в
обоих случаях плотнейших упаковок
одинаково и составляет 74,05% или ¾
пространства занято шарами и ¼ — это
пустоты.

ексагональная
плотнейшая упаковка присуща Mg,
Zn, Cd и др.
Во всех случаях величина атомов,
расстояние между атомами различные, но
постоянным остается соотношение высоты
элементарной ячейки и ее ширины с/а=1,633.

Кубическая плотнейшая упаковка – Au,
Cu, Ag, Al.

В структурах встречается иногда так
называемая объемоцентрированная
кубическая упаковка. Она не является
плотнейшей, но является достаточно
плотной с коэффициентом заполнения
пространства 68%.

В других структурах встречаются
многослойные плотнейшие упаковки; все
они представляют собой сочетание
различных мотивов двух и трехслойной
упаковок. Для всех них коэффициент
заполнения меньше 74,05%.

По правилу Соболева переход к более
высокому координационному числу приводит
к уплотнению упаковки ионов, экономии
пространства, уменьшению удельного
объема, в связи с чем растет плотность,
показатель преломлении, твердость,
прочность кристаллической решетки, ее
химическая стойкость.

1 Понятие о кристаллохимическом радиусе

Точечное
расположение атомов в кристаллической
решетке, каким пользуются для ее условного
изображения, представляет собой
упрощенную картинку, т.к. атомы и ионы
обладают конечными размерами. При
образовании кристаллической решетки
атомы, ионы или молекулы располагаются
друг от друга на определенных расстояниях.
Эти расстояния определяются взаимодействием
сил притяжения и отталкивания. Каждому
атому или иону приписывают некоторую
сферу действия, внутрь которой он не
пропускает соседние атомы (ионы).

Эффективным
кристаллохимическим радиусом называется
минимальное расстояние, на которое
центр сферы данного атома или иона может
приблизиться к поверхности сфер соседних
атомов.

Атомные
и ионные радиусы определены экспериментально
с помощью рентгеноструктурного анализа
и вычислены теоретически на основе
квантовомеханических представлений.

Пример
вычисления кристаллохимического радиуса
r
для меди.

При
помощи рентгеноструктурного анализа
определено межплоскостное расстояние
d
и тип решетки Браве: гранецентрированная
кубическая решетка.

d
(Cu)
= 3,61 Å

d1d32
= d2
+ d2
= 2d2

d1d3
= √ 2d2
= 1,4d

Упаковка в 3-мерные контейнеры

Задача нахождения наименьшего шара, в который можно упаковать без перекрытия открытых единичных шаров, имеет простой и полный ответ в -мерном евклидовом пространстве, если , а в бесконечномерном гильбертовом пространстве — без ограничений. Имеет смысл описать его здесь с целью показать общую проблему. В этом случае возможна конфигурация попарно касающихся единичных шаров. Разместим центры в вершинах правильного мерного симплекса с ребром 2. Это легко сделать, начав с ортонормированного базиса. Лёгкие вычисления показывают, что расстояние от любой вершины до центра тяжести равно . Кроме того, любая другая точка пространства имеет большее расстояние по меньшей мере до одной из вершин. В терминах включения шаров, открытых единичных шаров, имеющих центры в точках , попадают в шар радиуса , который минимален для такой конфигурации.

Чтобы показать, что такая конфигурация оптимальна, допустим, что  — центры непересекающихся открытых единичных шаров, находящихся в шаре с радиусом и центром в точке . Рассмотрим отображение из конечного множества в , сопоставляющее в для всех . Поскольку для всех , , это отображение 1-липшицево и по теореме Киршбрауна оно распространяется до глобально определённого 1-липшицева отображения. В частности, существует точка , такая что для всех имеем , а следовательно, . Это показывает, что существуют непересекающихся единичных открытых шаров в шаре радиусом тогда и только тогда, когда . Заметим, что в случае бесконечномерного гильбертова пространства отсюда следует существование бесконечного числа непересекающихся единичных открытых шаров внутри шара радиуса тогда и только тогда, когда . Например, единичные шары с центрами в , где  — ортонормальный базис, не пересекаются и содержатся в шаре радиуса с центром в начале координат. Более того, для максимальное число непересекающихся открытых единичных шаров внутри шара радиуса r равно .

Сферы в параллелепипед

Задача определяет число сферических объектов заданного диаметра d, которые могут быть упакованы в прямоугольный параллелепипед размера a × b × c.

Одинаковые сферы в цилиндр

Шестиугольная упаковка кругов на 2-мерной евклидовой плоскости.

Эти задачи математически отличаются от идей в теореме об упаковке кругов. Связанная задача упаковки кругов имеет дело с упаковкой кругов, возможно различных размеров, на поверхности, например, на плоскости или сфере.

Упаковка сфер в высших размерностях

В трёхмерном пространстве гранецентрированная решётка даёт оптимальную упаковку сфер. Доказано, что 8-мерная решётка E8 и 24-мерная решётка Лича оптимальны в соответствующих пространствах.

Упаковка платоновых тел в трёхмерных пространствах

Когда образуется любая решётка упаковки шаров, следует заметить, что если две сферы касаются, может быть проведена прямая из центра одной сферы в центр другой сферы и эта прямая проходит через точку касания. Расстояние между центрами — кратчайший путь между точками — как раз находится на этой прямой, поэтому это расстояние равно r1 + r2 где r1 — радиус одной сферы, а r2 — радиус другой. В плотной упаковке все сферы имеют один радиус r, так что расстояние между центрами равно просто 2r.

Анимация построения решётки плотной упаковки. Замечание: Если шары третьего уровня (уровень не показан) находится прямо над шарами первого уровня, то получим ГП(ГПУ)-решётку. Если шары третьего уровня расположены над промежутками между шарами первого уровня, то получим ГЦК-решётку.

Теперь сформируем второй ряд сфер. Снова центры будут лежать на прямой, и координаты x будут отличаться на 2r, но шары будут сдвинуты по оси на величину r, так что координаты x их центров будут равны координатам точек соприкосновения шаров первого ряда. Поскольку каждая сфера из нового ряда касается двух сфер из нижнего, их центры образуют равносторонние (правильные) треугольники с центрами соседних шаров. Все длины сторон будут равны 2r, так что разница между рядами по координате y будет составлять r. То есть вторая строка будет иметь координаты

Следующая строка сфер следует этому шаблону, сдвигая ряд по оси x на величину r и по оси y на r. Добавляем ряды, пока не достигнем границы ящика.

Координаты второго ряда следуют схеме, описанной выше:

В общем случае координаты центров можно записать в виде:

где i, j и k  — индексы по координатам x, y и z (начинающиеся с нуля), а «a mod b» означает «взятия остатка» от деления на .

Типы плотнейших упаковок.

Плотная упаковка шаров в жизни

Многие кристаллы имеют структуру плотной упаковки одного типа атомов или плотную упаковку больших ионов с меньшими ионами, заполняющими пространство между ними. Как правило, кубическое и шестиугольное расположение очень близки по энергии, и трудно предугадать, какую форму кристалл примет.

Томас Хэрриот около 1585 года предпринял первое размышление с точки зрения математики об укладке шаров в контексте укладки пушечных ядер и рассмотрел ГЦК решётку: пушечные ядра обычно укладывались в прямоугольные или треугольные деревянные каркасы, образуя трёхсторонние или четырёхсторонние пирамиды; обе укладки дают гранецентрированную кубическую решётку и отличаются лишь ориентацией относительно основания. Шестиугольная плотная упаковка приводит к шестиугольной пирамиде. В связи с укладкой пушечных ядер известна и одноимённая задача теории чисел.

Многие книги с головоломками, так же, как и математические журналы, содержат статьи об упаковках.

• «Box Packing» by Ed Pegg, Jr., the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Наиболее известные упаковки одинаковых кругов в окружности, около 1100