HKL КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

ля
обозначения плоскостей и направлений
кристалла используются так называемые
кристаллографические индексы Миллера.
Для их получения проведем оси координатX,Y,Z
вдоль базисных векторов

.
Пусть некоторая плоскость пересекает
такую координатную систему в точках с
координатами:

— целые или дробные числа, выражают
наклон плоскостей по отношению к осям
координатной системы. Теперь составим
отношение обратных чисел

и приведем это отношение к отношению
наименьших целых чисел:

называется базисной плоскостью. Осиx,
y, u располагают
в базисной плоскости под углом 1200
друг к другу. Для тог чтобы найти (hkil),
находят координаты точек пересечения
с кристаллографическими осями.

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 5 июня 2019 года; проверки требуют 11 правок.

Плоскости с различными индексами Миллера в кубических кристаллах

Индексы Миллера — кристаллографические индексы, характеризующие расположение атомных плоскостей в кристалле. Индексы Миллера связаны с отрезками, отсекаемыми выбранной плоскостью на трёх осях кристаллографической системы координат (не обязательно декартовой). Таким образом, возможны три варианта относительного расположения осей и плоскости:

Индекс Миллера — Браве для гексагональной плотноупакованной решётки

Для работы с гексагональными решётками удобно использовать четырёхсимвольные индексы Миллера — Браве (hkil), в которых третий элемент i означает удобную, но вырожденную (не несущую никакой дополнительной информации) компоненту, равную −h − k. Угол между компонентами h, i и k индекса составляет 120°, так что они не ортогональны. Компонента l перпендикулярна всем трём направлениям h, i и k.

Определение индексов Миллера

Система координат решетки кристалла

Имеем, что A/a = 1, B/b = 2, C/c = -4.
Найдем НОК(A/a, B/b, C/c). Заметим, что 1 = 2⁰, 2 = 2¹, 4 = 2², поэтому НОК(A/a, B/b, C/c) = 4, тогда h = 4, k = 2, l = -1, т. е. (hkl) =

.

Для описания
положения граней кристалла естественно
пользоваться приёмами аналитической
геометрии, а именно системой осей
координат. Но если в аналитической
геометрии предпочитают декартовы
координаты (угол между осями составляет
90), то в кристаллографии
выбирают систему координат так, чтобы
оси координат были параллельны рёбрам
кристалла.

Положение любой
грани кристалла можно задать так
называемыми параметрами грани x, y, z.
Параметрами грани называются
величины отрезков, отсекаемых плоскостью
грани на осях, причём за единицу приняты
величины отрезков, отсекаемых единичной
гранью. (рис 11.)

Казалось бы, простой
метод описания положения граней
совокупностью параметров x, y, z
вполне удовлетворителен. Но в
кристаллографии и рентгенографии
пользуются не параметрами, а индексами
грани h, k ,ℓ. Индексы грани
позволяют выбрать грань с нужными
свойствами. Учёт индексации приводит
к возможности выращивать монокристаллы
с определёнными свойствами. Индексы
грани – это величины, обратно
пропорциональные параметрам грани
x, y, z. Следовательно, если плоскость
отсекает на осях отрезки x, y, z, то
вместо отношения отрезков x : y : z
берут отношение:

1/x : 1/y : 1/z = h : k : ℓ

Совокупность
индексов грани называется символом
грани. Символ грани в общем случае
записывается (h k ℓ); символ
единичной грани (III). Параметры h, k, ℓ
называются индексами Миллера.

Если плоскость
пересекает ось в области отрицательных
значений координат, то соответствующий
индекс будет отрицательным и знак минус
ставится над индексом.

Непараллельные
плоскости, имеющие одинаковое атомное
строение, кристаллографически эквивалентны
(например, (001), (100) или (110) и (011) и т.д.).

Зная индексы (hkl)
плоскости, можно подсчитать межплоскостное
расстояние d
между плоскостями (hkl)
данного семейства для кубических
кристаллов с периодом решетки a
по формуле

Эта зависимость
широко используется при рентгеноструктурном
анализе кристаллических тел, имеющих
кубическую решетку.

Индексы Миллера.
Служат для
характеристики положения произвольной
кристаллической плоскости в
кристаллографической системе осей
(рис. 11).

1.
Если плоскость параллельна оси, то
точка пересечения плоскости с осью
находится в бесконечности. Обратное
значение:

Для
удобства опи­сания гексагональной
решетки часто к трех­ос­ной сис­те­ме
координат до­ба­вляют четвертую
координатную ось
u,
ко­­то­рая составляет ра­в­ные
углы (120o)
с осями x
и y
и пер­пе­н­ди­ку­ля­­р­на
гексагональной оси z
(рис. 13, г).
В получившейся че­тырех­о­с­ной
системе ко­ор­ди­нат (x,
y, u, z)
каждая из граней элементарной
гексагональной ячей­ки пе­­ресекает
по две ко­ор­­ди­нат­ные оси,
от­се­кая от них оди­­на­ковые
от­ре­­зки. Про­е­к­ции
узловых точек на оси ко­ор­динат x,
y, u, z
могут пре­д­­с­та­­влять
собой дробные или от­ри­ца­те­ль­ные
числа.

Пример
1.
Определить индексы плоскости, параллельной
осям у и z/

Решение: Если лучи
падают

=a
перпендикулярно плоскости 100,

Y=∞
то они встретят две плоскости и
Z=∞
расстояние между ними равно
h:k:l=1:0:0
d100=a

x: y :z =a:
∞:∞

Следовательно,
символ грани (100).

Пример
2.
Определить индексы грани в простой
кубической решетке, параллельной оси
z.

ешение:
Если лучи перпендикулярны

X=a
плоскости 110, то d=a21/2
2, так Y=a
как плоскостей будет уже 3 и Z=∞
расстояние равно половине
диагонали куба.

x
: y : z=a : a : ∞

h : k: l
= (1/a) : (1/a) : (1/∞) =(1/a) : (1/a) : 0

Символ грани (110)

Пример 3.
Определить индексы Миллера в простой
кубической решетке в случае x=a,
y=a,
z=a.

h : k: l
= 1/a : 1/a : 1/∞ =1 : 1 : 1

Если лучи
падают перпендикулярно грани 111, то они
уже встретят 4 плоскости и расстояние
между ними

Символ грани (111).

Пример 4.
Определить расстояние между плоскостями
(100).

Отношение обратных
величин d100,
d110,
d111,
является характеристикой для данного
типа кристаллической решетки: 1/d100
: 1/d110
: d111=1:2½:3½.
Это соотношение построения для данной
решетке, в конечном итоге определяет
отношения расстояние на рентгенограмме
кристалла.

From Wikipedia, the free encyclopedia

Planes with different Miller indices in cubic crystals

Examples of directions

Miller indices form a notation system in crystallography for lattice planes in crystal (Bravais) lattices.

In the context of crystal directions (not planes), the corresponding notations are:

Note, for Laue–Bragg interferences

The Miller indices are defined with respect to any choice of unit cell and not only with respect to primitive basis vectors, as is sometimes stated.

Examples of determining indices for a plane using intercepts with axes; left (111), right (221)

Then, given the three Miller indices denotes planes orthogonal to the reciprocal lattice vector:

That is, (hkℓ) simply indicates a normal to the planes in the basis of the primitive reciprocal lattice vectors. Because the coordinates are integers, this normal is itself always a reciprocal lattice vector. The requirement of lowest terms means that it is the shortest reciprocal lattice vector in the given direction.

Equivalently, (hkℓ) denotes a plane that intercepts the three points a1/h, a2/k, and a3/ℓ, or some multiple thereof. That is, the Miller indices are proportional to the inverses of the intercepts of the plane, in the basis of the lattice vectors. If one of the indices is zero, it means that the planes do not intersect that axis (the intercept is «at infinity»).

Case of cubic structures

For cubic crystals with lattice constant a, the spacing d between adjacent (hkℓ) lattice planes is (from above)

Because of the symmetry of cubic crystals, it is possible to change the place and sign of the integers and have equivalent directions and planes:

For face-centered cubic and body-centered cubic lattices, the primitive lattice vectors are not orthogonal. However, in these cases the Miller indices are conventionally defined relative to the lattice vectors of the cubic supercell and hence are again simply the Cartesian directions.

Case of hexagonal and rhombohedral structures

With hexagonal and rhombohedral lattice systems, it is possible to use the Bravais–Miller system, which uses four indices (h k i ℓ) that obey the constraint

h + k + i = 0.

Here h, k and ℓ are identical to the corresponding Miller indices, and i is a redundant index.

This four-index scheme for labeling planes in a hexagonal lattice makes permutation symmetries apparent. Например, сходство между (110) ≡ (110) и

≡ (110) становится более очевидным, когда показан избыточный индекс.

i = 1/S.

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) с четырьмя индексами. Однако они не работают аналогичным образом, добавляя избыточный индекс к обычному набору из трех индексов.

Например, вектор обратной решетки (hkℓ), как предложено выше, можно записать через векторы обратной решетки как . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки a1, a2 и a3 как

Причем, заметим, что для шестиугольных межплоскостных расстояний они принимают вид

Кристаллографические плоскости и направления

Плотные кристаллографические плоскости

Кристаллографические направления – это линии, соединяющие узлы (атомы, ионы или молекулы) кристалла. Точно так же кристаллографические плоскости — это плоскости, соединяющие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

По всем этим причинам важно определять плоскости и, таким образом, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение физически значимо. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость (abc), где «индексы» Миллера a, b и c (определенные, как указано выше), не обязательно являются целыми числами.

Если a, b и c имеют рациональные отношения, то одно и то же семейство плоскостей можно записать через целые индексы (hkℓ), соответствующим образом масштабируя a, b и c: разделить на наибольшее из трех чисел и затем умножьте на наименьший общий знаменатель. Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Особый интерес представляют плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, поскольку это плоскости решетки: это единственные плоскости, пересечения которых с кристаллом 2d-периодичны.

Для плоскости (abc), где a, b и c имеют иррациональные отношения, напротив, пересечение плоскости с кристаллом не является периодическим. Он образует апериодический узор, известный как квазикристалл. Эта конструкция точно соответствует стандартному методу определения квазикристалла «вырезание и проецирование» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как мозаика Пенроуза, образуются «разрезами» периодических решеток в более чем трех измерениях, включая пересечение более чем одной такой гиперплоскости.)

Кристаллическая структура поваренной соли (натрий — фиолетовый, хлор — зелёный)

Самая маленькая группа частиц в материале, составляющая этот повторяющийся узор, является элементарной ячейкой структуры. Элементарная ячейка полностью отражает симметрию и структуру всего кристалла, которая создается путем повторяющегося перемещения элементарной ячейки вдоль ее главных осей. Векторы трансляции определяют узлы решетки Браве.

Кристаллическая структура и симметрия играют решающую роль в определении многих физических свойств, таких как расщепление, электронная зонная структура и оптическая прозрачность.

По определению синтаксис (hkℓ) обозначает плоскость, пересекающую три точки a1/h, a2/k и a3/ℓ или некоторое их кратное число. То есть индексы Миллера пропорциональны обратным точкам пересечения плоскости с элементарной ячейкой (в базисе векторов решетки). Если один или несколько индексов равны нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (т. е. точка пересечения находится «на бесконечности»). Плоскость, содержащая ось координат, переводится так, что она больше не содержит этой оси до определения ее индексов Миллера. Индексы Миллера для плоскости представляют собой целые числа без общих множителей. Отрицательные индексы обозначаются горизонтальными полосами, как в

. В ортогональной системе координат кубической ячейки индексы Миллера плоскости представляют собой декартовы компоненты вектора, нормального к плоскости.

Учитывая только (hkℓ) плоскости, пересекающие одну или несколько точек решетки (плоскости решетки), расстояние d между соседними плоскостями решетки связано с (кратчайшим) вектором обратной решетки, ортогональным плоскостям по формуле

Некоторые направления и плоскости определяются симметрией кристаллической системы. В моноклинных, ромбоэдрических, тетрагональных и тригональных/гексагональных системах есть одна уникальная ось (иногда называемая главной осью), которая имеет более высокую вращательную симметрию, чем две другие оси. Базисной плоскостью называется плоскость, перпендикулярная главной оси в этих кристаллических системах. Для триклинных, орторомбических и кубических кристаллических систем обозначение оси произвольное и главная ось отсутствует.

Для гранецентрированной кубической (ГЦК) и объемноцентрированной кубической (ОЦК) решеток примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера традиционно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Классификация по симметрии

Решеточные системы представляют собой группировку кристаллических структур по осевой системе, используемой для описания их решетки. Каждая решетчатая система состоит из набора трех осей в определенном геометрическом расположении. Все кристаллы попадают в одну из семи систем решеток. Они подобны семи кристаллическим системам, но не совсем такие же.

Самая простая и наиболее симметричная, кубическая или изометрическая система, имеет симметрию куба, то есть имеет четыре оси вращения тройного порядка, ориентированные под углом 109,5° (тетраэдрический угол) по отношению друг к другу. Эти тройные оси лежат вдоль диагоналей тела куба. Остальные шесть систем решетки — гексагональная, тетрагональная, ромбоэдрическая (часто путаемая с тригональной кристаллической системой), орторомбическая, моноклинная и триклинная.

Кристаллическая структура состоит из одной и той же группы атомов, основы, расположенной вокруг каждой точки решетки. Таким образом, эта группа атомов бесконечно повторяется в трех измерениях в соответствии с расположением одной из решеток Браве. Характерная вращательная и зеркальная симметрия элементарной ячейки описывается ее кристаллографической точечной группой.

Кристаллическая система — это совокупность точечных групп, в которой сами точечные группы и соответствующие им пространственные группы отнесены к решеточной системе. Из 32 точечных групп, существующих в трех измерениях, большинство отнесено только к одной системе решетки, и в этом случае кристаллическая система и система решетки имеют одно и то же имя. Однако пять точечных групп относятся к двум системам решетки, ромбоэдрической и гексагональной, поскольку обе системы решетки обладают тройной вращательной симметрией. Эти точечные группы отнесены к тригональной кристаллической системе.

Всего существует семь кристаллических систем: триклинная, моноклинная, ромбическая, тетрагональная, тригональная, гексагональная и кубическая.

Кристаллографическая точечная группа или класс кристаллов — это математическая группа, включающая операции симметрии, которые оставляют по крайней мере одну точку неподвижной и оставляют неизменным внешний вид кристаллической структуры. Эти операции симметрии включают

Оси вращения (собственные и неправильные), плоскости отражения и центры симметрии вместе называются элементами симметрии. Существует 32 возможных класса кристаллов. Каждый из них может быть отнесен к одной из семи кристаллических систем.

Помимо операций точечной группы, пространственная группа кристаллической структуры содержит операции трансляционной симметрии. К ним относятся:

Существует 230 различных пространственных групп.

ГПУ-решетка (слева) и ГЦК-решетка (справа)

Такое расположение атомов в кристаллической структуре известно как плотная гексагональная упаковка (ГПУ).

Этот тип структурного устройства известен как плотная кубическая упаковка (ККТ).

АПФ и CN

Другой важной характеристикой кристаллической структуры является ее координационное число (CN). Это число ближайших соседей центрального атома в структуре.

Ниже показаны APF и CN наиболее распространенных кристаллических структур:

Эффективность упаковки FCC и HCP 74% — это максимально возможная плотность в элементарных ячейках, построенных из сфер только одного размера.

Октаэдрические (красные) и тетраэдрические (синие) междоузлия в гранецентрированной кубической решетке.

Межузельные узлы относятся к пустым пространствам между атомами в кристаллической решетке. Эти пространства могут заполняться противоположно заряженными ионами, образуя многоэлементные структуры. Они также могут быть заполнены атомами примесей или собственными междоузлиями с образованием межузельных дефектов.

Дефекты и примеси

Реальные кристаллы имеют дефекты или неровности в идеальном расположении, описанном выше, и именно эти дефекты критически определяют многие электрические и механические свойства реальных материалов.

Кварц — одна из нескольких кристаллических форм кремнезема SiO2. Наиболее важные формы кремнезема включают: α-кварц, β-кварц, тридимит, кристобалит, коэсит и стишовит.

Двадцать из 32 кристаллических классов являются пьезоэлектрическими, а кристаллы, принадлежащие к одному из этих классов (точечные группы), проявляют пьезоэлектричество. Все классы пьезоэлектриков лишены инверсионной симметрии. Любой материал приобретает диэлектрическую поляризацию при приложении электрического поля, но вещество, которое имеет такое естественное разделение зарядов даже в отсутствие поля, называется полярным материалом. Является ли материал полярным или нет, определяется исключительно его кристаллической структурой. Только 10 из 32 точечных групп являются полярными. Все полярные кристаллы пироэлектрики, поэтому 10 классов полярных кристаллов иногда называют пироэлектрическими классами.

Есть несколько кристаллических структур, особенно структура перовскита, которые проявляют сегнетоэлектрическое поведение. Это аналогично ферромагнетизму: при отсутствии электрического поля при производстве сегнетоэлектрический кристалл не проявляет поляризации. При приложении электрического поля достаточной величины кристалл становится постоянно поляризованным. Эту поляризацию можно обратить вспять достаточно большим противозарядом, точно так же, как можно обратить вспять ферромагнетик. Однако, хотя их и называют сегнетоэлектриками, эффект обусловлен кристаллической структурой (а не наличием черного металла).

СМИ, связанные с кристаллическими структурами, на Wikimedia Commons

Кристаллическое твердое вещество: изображение титаната стронция с атомным разрешением. Более светлые пятна — это столбики атомов стронция, более темные — титан-кислородные столбы.

Октаэдрические и тетраэдрические междоузлия в гранецентрированной кубической структуре

Линии Кикучи на картине дифракции обратного рассеяния электронов монокристаллического кремния, снятые при напряжении 20 кВ с помощью автоэмиссионного источника электронов

Кристаллографические методы теперь зависят от анализа дифракционных картин образца, на который направлен луч того или иного типа. Чаще всего используются рентгеновские лучи; другие используемые лучи включают электроны или нейтроны. Кристаллографы часто прямо указывают тип используемого луча, например, в терминах рентгеновской кристаллографии, дифракции нейтронов и дифракции электронов. Эти три типа излучения по-разному взаимодействуют с образцом.

Некоторые материалы, прошедшие кристаллографический анализ, например белки, не встречаются в природе в виде кристаллов. Обычно такие молекулы помещают в раствор и позволяют медленно кристаллизоваться за счет диффузии пара. Каплю раствора, содержащего молекулу, буфер и осадители, герметично закрывают в контейнере с резервуаром, содержащим гигроскопичный раствор. Вода в капле диффундирует в резервуар, медленно увеличивая концентрацию и позволяя сформироваться кристаллам. Если бы концентрация росла быстрее, молекула просто выпала бы в осадок из раствора, в результате чего образовались бы беспорядочные гранулы, а не упорядоченный и пригодный для использования кристалл.

После получения кристалла данные можно собирать с помощью пучка радиации. Хотя многие университеты, занимающиеся кристаллографическими исследованиями, имеют собственное оборудование для производства рентгеновских лучей, в качестве источников рентгеновского излучения часто используются синхротроны, поскольку такие источники могут генерировать более чистые и полные структуры. Синхротронные источники также имеют гораздо более высокую интенсивность рентгеновских лучей, поэтому сбор данных занимает часть времени, обычно необходимого для более слабых источников. Дополнительные методы нейтронной кристаллографии используются для определения положения атомов водорода, поскольку рентгеновские лучи очень слабо взаимодействуют с легкими элементами, такими как водород.

Создание изображения на основе дифракционной картины требует сложной математики и часто итеративного процесса моделирования и уточнения. В этом процессе математически предсказанные дифракционные картины гипотетической или «модельной» структуры сравниваются с фактической картиной, создаваемой кристаллическим образцом. В идеале исследователи делают несколько первоначальных предположений, которые в результате уточнения сходятся к одному и тому же ответу. Модели уточняются до тех пор, пока их прогнозируемые закономерности не будут соответствовать настолько высокой степени, насколько это возможно без радикального пересмотра модели. Это кропотливый процесс, который сегодня стал намного проще благодаря компьютерам.

Математические методы анализа данных дифракции применимы только к картинам, которые, в свою очередь, возникают только тогда, когда волны дифрагируют от упорядоченных массивов. Следовательно, кристаллография применима по большей части только к кристаллам или к молекулам, которые можно уговорить кристаллизоваться ради измерения. Несмотря на это, определенное количество молекулярной информации можно получить из структур, создаваемых волокнами и порошками, которые, хотя и не так совершенны, как твердый кристалл, могут демонстрировать определенную степень порядка. Этого уровня порядка может быть достаточно, чтобы вывести структуру простых молекул или определить грубые особенности более сложных молекул. Например, двухспиральная структура ДНК была выведена из картины дифракции рентгеновских лучей, полученной на волокнистом образце.

Кристаллография используется учеными-материаловедами для характеристики различных материалов. В монокристаллах эффекты кристаллического расположения атомов часто легко увидеть макроскопически, поскольку естественные формы кристаллов отражают атомную структуру. Кроме того, физические свойства часто контролируются кристаллическими дефектами. Понимание кристаллических структур является важной предпосылкой для понимания кристаллографических дефектов. Большинство материалов не встречаются в виде монокристаллов, а имеют поликристаллическую природу (они существуют в виде совокупности мелких кристаллов различной ориентации). Таким образом, методы порошковой дифракции, позволяющие получать дифракционные картины поликристаллических образцов с большим количеством кристаллов, играют важную роль в определении структуры.

Другие физические свойства также связаны с кристаллографией. Например, минералы глины образуют небольшие плоские пластинчатые структуры. Глина легко деформируется, поскольку пластинчатые частицы могут скользить друг по другу в плоскости пластин, оставаясь при этом прочно связанными в направлении, перпендикулярном пластинам. Такие механизмы можно изучить с помощью измерений кристаллографической текстуры.

Кристаллография полезна при идентификации фаз. При производстве или использовании материала обычно желательно знать, какие соединения и какие фазы присутствуют в материале, поскольку их состав, структура и пропорции будут влиять на свойства материала. Каждая фаза имеет характерное расположение атомов. Рентгеновская или нейтронная дифракция может использоваться для определения того, какие структуры присутствуют в материале и, следовательно, какие соединения присутствуют. Кристаллография охватывает перечисление структур симметрии, которые могут быть образованы атомами в кристалле, и по этой причине связана с теорией групп.

Вклад женщин в рентгеновскую кристаллографию

Молекулярная модель пенициллина Дороти Ходжкин, 1945 г.

В 1932 году Дороти Ходжкин присоединилась к лаборатории физика Джона Десмонда Бернала, бывшего студента Брэгга, в Кембридже, Великобритания. Она и Бернал сделали первые рентгеновские фотографии кристаллических белков. Ходжкин также сыграл роль в основании Международного союза кристаллографии. В 1964 году она была удостоена Нобелевской премии по химии за работу с использованием рентгеновских методов для изучения структуры пенициллина, инсулина и витамина B12. Ее работа над пенициллином началась в 1942 году во время войны, а над витамином B12 — в 1948 году. Хотя ее группа медленно росла, их основное внимание уделялось рентгеновскому анализу натуральных продуктов. Она единственная британка, когда-либо получившая Нобелевскую премию по науке.

Фотография ДНК (фото 51), Розалинда Франклин, 1952 г.

Том А — Симметрия пространственной группы,
Том A1 — Отношения симметрии между пространственными группами,
Том B — Взаимное пространство,
Том C – Математические, физические и химические таблицы,
Том D — Физические свойства кристаллов,
Том E — Субпериодические группы,
Том F — Кристаллография биологических макромолекул, и
Том G — Определение и обмен кристаллографическими данными.

Прямые и плоские,
проходя через узлы внутренней
решетки, близкие к нам
узловые конструкции плоскостей. Все
узловые прямые или плоскости, такие же
ориентированные в пространстве,
решение наследства по наследству или
плоскостей. Они кристаллографически
тверды и обладают сходством
периодами идентичности или соответственно
межплоскостным расстояниям.

Индексы узлов.
Положение любого узла решетки относительно
координаты начала определены
заданием 3-х координаты: x,
да,
з. этический
координаты можно выразить так:

х=ма,
у=nb, z=pc, (2.2)

где а,
б,
с
— параметры решетки; м,
н,
п — целые
число. Если за счет измерения длины
Принять параметры решетки, координаты
узел будет просто числом м,
н,
п.
Эти числа называются индексами узла и
за заключение следующим образом:

Индексы плоскостей.
Положение плоскости определено
заданием трех отрезков А, В, С, которые
она отсекается на осях решетки. Индексы
такая плоскость отыскивается следующим образом
таким образом.

Выражают отрезки А,
В, С в основных единицах и записывают
размеры, обратные этим отрезкам: 1/А,
1/В, 1/С. Полученные дроби приводят к
общему знаменателю. Пусть таковым будет
число Д.
Целые числа

и являются индексами
плоскость. Они за результат так: (hkl).

Для плоскостей,
параллельных какой-либо координатной
оси, соответствующий индекс
(отсекаемый отрезок ).

В случае, если плоскость
пересекает кристаллографическую ось
в отрицательном направлении, над
соответствующим индексом следует
поставить знак «минус», например,

Плоскости, отсекающие
на каждое по равному приложению осевых величин,
обозначают символом (111). В кубической
решетке их называют плоскостями октаэдра,
так как система подобных плоскостей,
равноотстоящих от начала координат,
образует октаэдр.

Плоскости, отсекающие
на двух осях по равному числу осевых
единиц и параллельные третьей оси
(например оси z),
обозначают (110). В кубической сингонии
их называют плоскостями ромбического
додекаэдра, так как система подобных
плоскостей образует двенадцатигранник,
каждая грань которого — ромб.

Плоскости, пересекающие
одну ось и параллельные двум другим
(например, осям y
и z),
обозначают (100) и называют в кубической
решетке плоскостям куба, так как система
подобных плоскостей образует куб.
Основные индексы Миллера для кубической
решетки приведены на рис.2.3.

Рис.2.3. Расположение различных плоскостей
в кубической элементарной

Для обозначения
плоскостей гексагональных кристаллов
пользуются 4-осной системой координат:
три оси (а1,
а2,
а3),
расположенные под углом 120о
друг к другу, лежат в плоскости базиса,
четвертая ось (с) перпендикулярна ей.

Рис.2.4. Индексы
важнейших направлений

Каждая плоскость обозначается 4
индексами (hkil). Дополнительный
индексiставится на
третьем месте и вычисляется через
индексыh и k:
i=-(h+k. Часто им пренебрегают, так как
этот индекс не является независимым.
Тогда вместо него в индексе плоскости
ставят точку (hk.l). Так,
плоскость базиса, параллельная осям
а1, а2, а3, имеет индексы
(0001). Плоскости, параллельные боковым
граням призмы имеют индексы типа (1010).
Таких плоскостей (непараллельных) три.
Они называются плоскостями первого
рода.

Индексы направлений.
Под кристаллографическими индексами
направления понимают три целых взаимно
простых числа, пропорциональных
координатам любого атома, расположенного
на данном направлении, измеренным в
осевых единицах.

При установлении
кристаллографических индексов данного
направления его необходимо перенести
параллельно самому себе в начало
координат.

Индексы направления,
связывающего две частицы в решетке,
равны разности координат этих узлов,
приведенных к целому виду.

u=k1l2-k2l1,
v=l1h2-l2h1,
w=h1k2-h2k1.
(2.4)

h=v1w2-v2w1,
k=w1u2-w2u1,
l=u1v2-u2v1.
(2.5)

Описанные уравнения
позволяют определить индексы плоскости,
проходящей через три узла с известным
базисом. Определение начинают с
установления индексов двух направлений
(одну из точек принимают за начало
координат, по отношению к которому
записывают направления) и заканчивают
определением плоскости по направлениям.

.
(2.6)

hu
+ kv + lw = 0.
(2.7)

Уравнение (2.7) определяет, таким образом,
условие зональности.

Каждое семейство
плоскостей с индексами (hkl)
характеризуется также своим межплоскостным
расстоянием d,
т.е. расстоянием
между двумя параллельными плоскостями.

В случае сложной
решетки, состоящей как бы из нескольких
простых, межплоскостное расстояние
равно расстоянию между соседними
параллельными кристаллографически
идентичными плоскостями, принадлежащими
одной простой решетке. Так, в случае
о.ц.к. решетки межплоскостное расстояние
для плоскостей (100) равно периоду а, но
не а/2. Чем больше индексы плоскости, тем
меньше межплоскостное расстояние этого
семейства плоскостей (рис.3.6). Чем больше
межплоскостное расстояние, тем плотнее
заполнена элементами структуры
соответствующая плоскость.

Между индексами
(hkl),
величиной d
и периодами решетки a,
b, c существует
математическая зависимость, различная
для каждой сингонии. Формулы для
межплоскостного расстояния имеют
следующий вид:

.
(2.11)

Важнейшим признаком
кристаллографически идентичных
плоскостей является то, что они обладают
одинаковым межплоскостным расстоянием.
Поэтому количество кристаллографически
идентичных плоскостей (семейства
плоскостей) для любой совокупности
равно числу возможных перестановок
местами и знаками индексов, входящих в
данную совокупность, не изменяющих
величины межплоскостного расстояния
с учетом симметрии кристалла.

Соседние файлы в папке PRAK_01