Тригона́льная сингони́я (также ромбоэдри́ческая сингони́я) — одна из семи сингоний в кристаллографии. Элементарная ячейка определяется тремя базовыми векторами одинаковой длины, с равными, но не прямыми, углами между векторами; таким образом, форма ячейки определяется двумя параметрами: длиной базового вектора и углом между базовыми векторами . Объём ячейки равен
Гексагона́льная сингони́я — одна из семи кристаллографических сингоний; элементарная ячейка в ней строится на трёх базовых векторах (трансляциях), два из которых равны по длине и образуют угол 120°, а третий им перпендикулярен и отличается от них по длине. Таким образом, форма ячейки определяется двумя параметрами: длинами базовых векторов и . Объём ячейки равен:
В гексагональной сингонии три элементарных ячейки образуют правильную призму на шестигранном основании. Пример гексагонального кристалла — графит.
Список точечных групп для гексагональной кристаллической системы (приведены международное обозначение и обозначение по Шёнфлиссу классов симметрии (точечных групп), относящихся к гексагональной сингонии):
Сингони́я (от греч. «согласно, вместе, рядом» + «угол»; «сходноугольность») — классификация кристаллографических групп симметрии, кристаллов и кристаллических решёток в зависимости от системы координат (координатного репера); группы симметрии с единой координатной системой объединяются в одну сингонию. Кристаллы, принадлежащие к одной и той же сингонии, имеют подобные углы и рёбра элементарных ячеек.
Кристалли́ческая систе́ма — классификация кристаллов и кристаллографических групп, основанная на наборе элементов симметрии, описывающих кристалл и принадлежащих кристаллографической группе.
Систе́ма решётки — классификация кристаллических решёток в зависимости от их симметрии.
Сингония (от греч. σύν, «согласно, вместе», и γωνία, «угол» — дословно «сходноугольность») — одно из подразделений кристаллов по признаку формы их элементарной ячейки. Сингония включает группу классов симметрии, обладающих одним общим или характерным элементом симметрии при одинаковом числе единичных направлений. Различают семь сингоний: кубическую, тетрагональную (квадратную), тригональную, гексагональную, ромбическую, моноклиническую, триклиническую.
Классификация кристаллов по степени симметрии
В тетрагональной (квадратной) сингонии общим элементом симметрии является L4. Обычно у кристаллов этой сингонии есть квадратное поперечное сечение и одно единичное направление, совпадающее с L4. Кубическая сингония отличается наибольшей степенью симметрии. Общим элементом является 4L3. Единичные направления отсутствуют, все направления симметрично равные. Кристаллы равномерно развиты по всем направлениям, фигуру можно вписать в шар. Такая форма называется изометричной.
В гексагональной и тригональной сингониях единичное направление совпадает с L6 (у гексагональной сингонии) или с L3 (у тригональной системы). Общим элементом симметрии для кристаллов гексагональной сингонии является ось L6, а для кристаллов тригональной сингонии – L3. Кристаллы гексагональной сингонии в сечении имеют шестиугольник, а кристаллы тригональной сингонии – треугольник.
В ромбической сингонии отсутствуют оси симметрии выше второго порядка. Общим элементом симметрии является 3L2 или L2, 2Р. Единичных направлений три. Кристаллы в сечении имеют ромб.
В моноклинальной сингонии каждый элемент симметрии присутствует в кристалле в единственном числе. Единичных направлений много. Общим элементом симметрии является L2 или Р.
В триклинической сингонии из всех элементов симметрии может присутствовать только центр С. Все направления в кристалле единичные.
Сингонии группируются в три категории:
1 Цель работы: закрепить знания студентов по определению элементов симметрии кристаллов, дать навыки работы с макетами кристаллов и минералами.
2 Задание по работе
2.1 По макетам кристаллических форм кристаллов определить плоскость симметрии (количество), ось симметрии, порядок оси, инверсионную ось и центр симметрии.
2.2 Для данных минералов определить элементы симметрии и написать формулу симметрии для определенных сингоний.
3 Общие сведения о симметрии в кристаллах.
Симметричными называются тела, состоящие из одинаковых, симметричных частей, которые могут совмещаться.
Кристаллической симметрией называется правильная повторяемость элементов ограничения (ребер, граней, углов) и других свойств кристаллов по определенным направлениям.
Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называется плоскость, по обе стороны которой располагаются одинаковые элементы ограничения и повторяются одинаковые свойства кристаллов (рисунок 1).
Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каждая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, совмещается с другой, т.е. является как бы ее зеркальным изображением. Например, в кубе имеется девять плоскостей симметрии (рисунок 2), в гексагональной или шестигранной призме — семь плоскостей симметрии — три плоскости пройдут через противоположные ребра, три плоскости через середины противоположных граней и одна плоскость — перпендикулярно ей.
Плоскость симметрии обозначается заглавной буквой латинского алфавита Р, а коэффициент, стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии в многограннике. Куб — 9Р — т.е. девять плоскостей симметрии.
Ось симметрии кристаллического многогранника — это линия, при вращении вокруг которой правильно повторяются одинаковые элементы ограничения и другие свойства кристалла.
Ось симметрии обозначается заглавной буквой латинского алфавита L. При вращении кристалла вокруг оси симметрии элементы ограничения и другие свойства кристалла будут повторятся определенное количество раз.
Если при повороте кристалла на 360º многогранник совмещается со своим исходным положением дважды, имеют дело с осью симметрии второго порядка, при четырех- и шестикратном совмещении — соответственно с осями четвертого и шестого порядков. Оси симметрии обозначаются: L2 — ось симметрии второго порядка; L3 — ось симметрии третьего порядка; L4 — ось симметрии четвертого порядка; L6 — ось симметрии шестого порядка.
Порядком симметрии — называется количество совмещений кристалла с первоначальным положением при повороте на 360º.
В связи с однородностью кристаллического строения и благодаря закономерностям в распределении частиц внутри кристаллов в кристаллографии доказывается возможность существования только вышеперечисленных осей симметрии.
В кристаллах наряду с обычными осями симметрии, выделяют инверсионные оси.
Инверсионной осью кристалла называется линия, при вращении вокруг которой на некоторый определенный угол и последующим отражением в центральной точке многогранника (как в центре симметрии) совмещаются одинаковые элементы ограничения.
Инверсионная ось обозначается символом Li. Существуют инверсионные оси следующих порядков: первого – Li1; второго – Li2; третьего – Li3; четвертого – Li4; шестого – Li6, (рисунок 3) или L2, L3, L4, L6.
Центром симметрии кристаллического многогранника называется точка, лежащая внутри кристалла, в диаметрально противоположных направлениях от которой располагаются одинаковые элементы ограничения и другие свойства многогранника.
Центр симметрии обозначается буквой С латинского алфавита. В кристаллах не может быть.более одного центра симметрии. В кристаллах любая линия, проходящая через центр симметрии, делится пополам.
Элементы, встречаемые в кристаллических многогранниках — плоскости, оси, центр симметрии — называются элементами симметрии.
В кристаллах элементы симметрии находятся вовзаимосвязи. Установлено, что возможны только 32 комбинации различных группировок или 32 кристаллографических класса, или вида симметрии. Вид симметрии кристалла — это полная совокупность его элементов симметрии.
Виды симметрии, в которых имеются только главные оси, называются примитивными. Если в видах симметрии присутствует и центр симметрии, они называются ц ентральными. При наличии плоскости — планальный вид симмет рии. Если имеются только оси симметрии — аксиальный вид симметрии. Если присутствуют инверсионные оси — инверсионно-примитивный или инверсионно- планальный вид симметрии.
При определении кристаллов или их моделей следует иметь в виду, что найденная комбинация элементов симметрии должна непременно соответствовать определенному виду симметрии из приводимых 32 классов (таблица 1).
1. Что такое плоскость симметрии?
2. Дать определение оси симметрии.
3. Что такое порядок симметрии?
4. Дать определение центра симметрии.
5. Что такое кристалл, кристаллическое вещество?
Глава 2. Сингонии. Изучение простых и сложных форм кристаллов по образцам минералов и по макетам простых форм
1 Цель работы: научить студентов определять, в каких сингониях кристаллизуются минералы, определять категории, формы кристаллов (простые и сложные) по учебным коллекциям минералов, по макетам простых и сложных форм кристаллов.
2.1 По учебной коллекции определить в какой сингонии кристаллизуются минералы, форму кристаллов, элементы симметрии и написать формулу симметрии для данных минералов.
3 Общие сведения о сингониях и соответствующие им простые и сложные формы кристаллов.
Кристаллографические классы, или виды симметрии, объединяются в более крупные группировки — системы или сингонии. Таких сингонии семь.
Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих одним или несколькими одинаковыми элементами симметрии и имеющих одинаковое расположение кристаллографических осей.
3.1 Высшая категории. Кубическая сингония.
В этой сингонии кристаллизуются наиболее симметричные кристаллы. Максимальное количество элементов симметрии в кубической сингонии может быть выражено формулой 3L44L36L29PC. Кристаллы кубической сингонии встречаются в виде куба, октаэдра, тетраэдра, ромбододекаэдра, пентагондодекаэдра и др. В кубической сингонии кристаллизуются следующие минералы: каменная соль, пирит, галенит, флюорит и др. (рисунок 4).
3.2 Сингонии средней категории.
Эта группа объединяет кристаллы, обладающие только одной осью симметрии порядка выше второго.
Гексагональная сингония — характеризуется наличием одной оси симметрии шестого порядка. Формула симметрии кристаллов L66L27PC.
Кристаллы гексагональной сингонии образуют призмы, пирамиды, дипирамиды и др. В гексагональной сингонии кристаллизуются: апатит, нефелин, берилл, и др. минералы (рисунок 5).
Тетрагональная сингония — имеет одну ось четвертого порядка (L4). Формула симметрии L44L25РС. Формы кристаллов данной сингонии — тетрагональные призмы, пирамиды, дипирамиды и их комбинации (рисунок 6). К тетрагональной сингонии относятся: касситерит (оловянный камень), халькопирит (медный колчедан), циркон и другие минералы.
Тригональная сингония — характеризуется одной осью третьего порядка (L3). Формула симметрии L33L2РС. Формы кристаллов — призмы, пирамиды, дипирамиды и их комбинации (рисунок 7). В данной сингонии кристаллизуются: кварц, кальцит, гематит, корунд и др.
3.3 Сингонии низшей категории.
Кристаллы, в которых совсем отсутствуют оси симметрии высшего порядка, присутствуют только оси второго порядка (L2).
Ромбическая сингония — имеет несколько осей второго порядка. Формула симметрии 3L2ЗРС. Формы кристаллов: ромбический тетраэдр, ромбическая призма, ромбическая пирамида, ромбическая дипирамида (рисунок 8). В ромбической сингонии кристаллизуются барит, топаз, марказит, антимонит и др.
Моноклинная сингония — кристаллы моноклинной сингонии характеризуются наличием одной оси второго порядка (L2) или одной плоскостью симметрии (Р), либо максимально: L2РС. Формы кристаллов: ромбическая призма и сочетание простых форм; пинакоидов и моноэдров (рисунок 9). Характерные минералы моноклинной сингонии: ортоклаз, слюды, гипс, роговая обманка, пироксены и другие минералы.
Триклинная сингония — к ней относятся наиболее несимметричные кристаллы, лишенные совсем элементов симметрии или имеющие лишь центр симметрии (С). Характерные формы кристаллов: комбинации пинакоидов и моноэдров (рисунок 10). В триклинной сингонии кристаллизуются плагиоклазы, дистен, медный купорос и другие минералы.
Для определения сингонии неизвестного минерала по совокупности найденных элементов симметрии необходимо пользоваться таблицей 3.
4 Простые формы и комбинации простых форм. Открытые и закрытые формы.
Природные многогранники — кристаллы — могут образовывать либо простые формы, либо их комбинации. Простой формой: называется совокупность тождественных частей (граней), связанных элементами симметрии. Грани такой простой формы должныбыть одинаковыми по своим физическим и химическим свойствам, а в идеально равных многогранниках — по своим очертаниям и величине. Пример — это куб, тетраэдр, октаэдр и др.
1-куб (пирит, галенит, флюорит, перовскит); 2 — кубооктаэдр (галенит); 3 -октаэдр (золото, хромит, пикотит, магнетит, шпинель); 4 — ромбододекаэдр (золото, гранат, магнетит); 5 — тетрагон-триоктаэдр (гранат); 6 -комбинация двух тетраэдров (сфалерит); 7 — пентагон-додекаэдр (пирит, гранат); 8 – гексаоктаэдр (алмаз); 9 -двойник прорастания куба (пирит, торканит, флюорит).
1 — гексагональная дипирамида (кварц, корунд); 2 — комбинация призмы и дипирамиды (кварц); 3 — гексагональная призма (берилл, апатит); 4 – комбинация призмы с дипирамидой и пинакоидом (апатит).
1 — тетрагональная дипирамида (циркон, анатаз, ксенотим); 2 — анатаз; 3 — комбинация тетрагональной призмы с дипирамидой (циркон, брукит); 4 — комбинация дипирамиды и двух призм (рутил, циркон, ксенотим); 5, 6 — комбинация двух тетрагональных призм и дипирамиды с пинакоидом (везувиан); 7 — комбинация двух призм с двумя дипирамидами (касситерит); 8 — двойник касситерита; 9, 10 — вульфенит; 11 — шеелит.
1 — гематит; 2 — ильменит; 3, 4 — турмалин; 5 — кристалл турмалина со штриховкой на гранях (характерно поперечное сечение в форме сферического треугольника); 6 — корунд.
1 — ромбическая призма; 2 — ромбическая дипирамида; 3 — кристалл ставролита; 4, 5 — сросшиеся кристаллы ставролита в виде крестообразных двойников; 6 — комбинация призмы; пирамид и пинакоидов (оливин); 7 — комбинация двух призм и дипирамиды (топаз); 8 — кристалл топаза; 9, 10 — кристаллы арсенопирита; 11, 12 — кристаллы андалузита; 13, 14 — танталит; 15 — самарскит.
1 — комбинация трех пинакоидов; 2, 4 — кристаллы пироксена; 3 — комбинация призм и пинакоида (гипс, амфибол); 5, 6 — сфен; 7, 8 — монацит; 9 — вольфрамит; 10, 11 — эпидот.
Комбинацией называется сочетание двух или нескольких простых форм, объединенных элементами симметрии. Для кристаллов каждой сингонии характерны свои определенные простые формы.
Для кубической сингонии харакгерны только такие простые формы: куб, тетраэдр, октаэдр, тригон — тритетраэдр, тетрагон — тритетраэдр, пентагон-тритетраэдр, ромбододекаэдр, пентагон-додекаэдр, тетрагексаэдр, гексатетраэдр, дидодекаэдр, тетрагон-триоктаэдр, тригон-триоктаэдр, пентагон-триоктаэдр и гексаоктаэдр (рисунок 10). Перечисленные 15 простых форм (их 47) не могут встречаться ни в одной из сингоний средней или низшей категории.
В средней категории встречается 25 простых форм, присутствие которых невозможно ни в высшей, ни в низшей категориях. Это различные пирамиды (рисунок 10 — 2-7, 9-14, 16-21) кроме того, здесь присутствуют три трапецоэдра: тригональный, тетрагональный и гексагональный; два скаленоэдра — тетрагональный и дитригональный, и ромбоэдр (рисунок 10 — 24-28, 33, 35). Трапецоэдры отличаются от дипирамид тем, что нижняя их половина смещена по отношению к симметричней верхней на некоторый угол. Ромбоэдр получается при деформации куба вдоль оси третьего порядка. В средней категории встречается также тетрагональный тетраэдр. В отличии от тетраэдра кубической сингонии у него грани — треугольники равнобедренные, а не равносторонние, а в отличии от ромбического тетраэдра в сечении он дает квадрат. Скаленоэдры получаются при удвоении граней тетраэдра и ромбоэдра.
В низшей категории присутствуют свои особые простые формы, невозможные в кубической сингонии: моноэдр, пинакоид, диэдр, ромбическая пирамида, ромбическая призма, ромбический тетраэдр, ромбическая дипирамида. Их всего 7 (рисунок 10 — 1,8, 15, 22, 31, 32, 34). Иногда моноэдр и пинакоид могут встречаться в кристаллах средней категории. Ромбическая призма может присутствовать как в ромбической, так и в моноклинной сингониях.
Если простая форма со всех сторон замыкает пространство, она называется эакрытой. Например, куб, октаэдр и т.д. Но среди простых форм имеются такие, которые неполностью замыкают пространство. Это призмы, пирамида. Такие формы называются открытыми. Открытые формы могут существовать в кристалле только в сочетании с другими простыми формами. Так например, кристалл в форме тригональной пирамиды (рисунок 10) представляет сочетание двух простых форм – пирамиды и единичной грани — моноэдра, а кристалл в форме тригональной призмы слагают грани призмы и пинакоида (двух параллельных и равных граней).
1. Что такое сингония?
2. Какие категории сингоний вы знаете?
3. Дать характеристику простых и сложных форм кристаллов.
4. Какие формы кристаллов называются открытыми, какие закрытыми?
Глава 3. Решение кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа
1. Цель работы: научить студентов решать кристаллографические задачи с помощью сетки Г. В. Вульфа, для наглядного отображения элементов симметрии и граней кристаллов.
2. Задание по работе: решить кристаллографические задачи по вариантам на построение стереографических проекций дуг большого круга, угла между двумя направлениями и т.д.
3. Общие сведения о стереографической сетке Г. В. Вульфа
Для изображения кристаллов и решения кристаллографических задач требуются точные построения. Для этих целей используются специальные стереографические сетки. Наиболее широкое применение получила стереографическая сетка Г. В. Вульфа.
Сетка Г,В, Вульфа представляет собой проекцию дуг меридианов и параллелей на плоскость меридиана. Точка зрения помещается на экваторе и на сетке совмещается с центром проекций. Стереографическая сетка имеет диаметр 20 см и цену деления 2º. Каждый десятый градус для удобства отсчета выделяется жирной линией (рисунок 11).
3.1 Правила работы с сеткой Г. В. Вульфа
Для решения кристаллографических задач с помощью сетки Г. В. Вульфа используется лист кальки, соответствующий формату сетки. Лист кальки накладывается на сетку Вульфа и в центре ее наносят точку и четыре черточки в виде креста. Черточки не доходят до точки и не пересекаются. Черточки проводят по горизонтальному и вертикальному диаметрам сетки и при начале работы с сеткой совмещают их с диаметром, а точку – с центром проекций. С правой стороны кальки за концом горизонтального диаметра сетки проводят на кальке черточку за кругом проекций (рисунок 12).
Данная черточка будет в дальнейшем соответствовать нулевому значению долготы и даст начало отсчету ее в направлении по часовой стрелке по кругу в интервале от 0º до 360º. Центральная точка кальки соответствует 0º ρ. Полярное расстояние отсчитывается от этой точки по любому концу диаметра в направлении центральной точки, если велярное расстояние более 90º (до 180º). Таким образом, любая точка, расположенная на большем круге проекций, будет иметь Р=90º. Если точка расположена в центре кальки, то полярное расстояние может быть равно нулю или 180º.
Все решения задач проводят на кальке.
Построить стереографическую проекцию направления, заданного, координатами φ и ρ.
Требуется найти стереографическую проекцию этого направления.
Ход решения задачи:
1) Накладывают кальку на сетку Вульфа, совмещают центр кальки с центром сетки, а нулевую риску (0º φ) – с правым концом горизонтального диаметра сетки Вульфа.
3) Вращением кальки совмещают найденную риску с концом ближайшего диаметра сетки (центр кальки придерживают остро заточенным карандашом в совмещенном положении с центром сетки).
4) По данному диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной черточки отсчитывают полярное расстояние — 68º (данные определенного варианта) и отмечают найденную точку кружочками.
5) Возвращают кальку в исходное положение и обозначают кружочек буквой «а». Найденная точка является стереографической проекцией направления А.
В случае, если полярное расстояние какого-либо направления больше 90º, стереографическая проекция будет расположена в нижней полусфере. Отсчет полярного расстояния будет производиться от центра проекций в направлении круга и обратно – от круга к центру. Такая проекция обозначается крестиком (рисунок 13). Точка «в» с координатами: φ=205º, ρ=124º.
Провести дуги большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений.
Требуется провести дугу большого круга через стереографические проекции «а» и «с» направлений А и С.
Направления А и С
1) Вращением кальки совмещают обе точки «а» и «с» с одним из вспомогательных меридианов сетки.
2) Простым карандашом обводят меридиональную дугу, соединяющую точки «а» и «с», и возвращают кальку в исходное положение (рисунок 14).
В том случае, если точки будут располагаться на разных полусферах вращением кальки, вращением кальки приводят их на симметрично расположенные по отношению к центру меридиональные дуги и обводят их простым карандашом: через точку «а» — сплошной линией, через точку «с» — пунктирной.
Найденная дуга большого круга может изображать гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении двух граней (в этом случае заданные точки являются гномостереографическими проекциями этих граней), или стереографическую проекцию грани, если точки – стереографические проекции ребер, лежащих в плоскости данной грани.
Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (угол между направлениями А и С см. рисунок 13).
1) Вращением кальки совмещают точки «а» и «с» с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа.
2) По заданной дуге отсчитывают количество градусов, заключенных между точками «а» и «с», получают АС=113º.
3) Измеренный угол может быть углом между нормалями к граням, если точки «а» и «с» представляют собой их гномостереографические проекции или углом между ребрами, если данные точки – стереографические проекции ребер.
Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (полюсом дуги является точка, равноотстоящая от всех точек дуги на 90º). Требуется найти полюс дуги «ас».
1) Вращением кальки совмещают данную дугу с меридиональной дугой сетки Вульфа.
2) Отсчитывают от точки пересечения данной дуги с горизонтальным диаметром в направлении к центру сетки 90º по диаметру и отмечают найденную точку кружочком.
3) Вращают кальку в исходное положение и надписывают точку значком Рас.
Для найденного полюса можно найти сферические координаты: φ=62º, ρ=61º (см. задачу 2). Данный полюс может представлять собой стереографическую проекцию ребра кристалла, если дуга является гномостереографической проекцией грани, если данная дуга – стереографическая проекция этой грани.
Аналогичным способом находится полюс дуги «сd». Его координаты: φ=194º, ρ=59º.
Измерить угол между двумя дугами больших кругов. Допустим, что требуется определить угол между дугами «ас» и «аd» (рисунок14).
1) Вращением кальки совмещают точку пересечения дуг «а» (вершину определяемого угла) с горизонтальным диаметром сетки.
2) Принимают данную вершину за полюс и проводят соответствующую ему экваториальную дугу.
3) Измеряют отрезок дуги между точками пересечения данной дуги с заданными дугами. Измеренная величина дуги составит величину искомого угла.
Измеренный угол при вершине «а» равен 65º, при вершине «с» равен 75º, при вершине «d» — 116º.
Измеренные углы представляют собой углы между соответствующими гранями при условии, что заданные дуги больших кругов – стереографические проекции этих граней.
1. Дать определение стереографической сетки Г. В. Вульфа.
2. Что такое стереографическая проекция кристаллов?
Таблица 3 Сравнительная характеристика сингоний
* — осями высшего наименования называются L3, L4, L6
Классификация групп в многомерных пространствах
В четырёхмерном пространстве элементарная ячейка определяется четырьмя сторонами () и шестью углами между ними (). Следующие соотношения между ними определяют 23 сингонии:
Для моноклинной и триклинной сингонии Вейс использовал прямоугольную систему координат (современные кристаллографические координатные системы для этих сингоний являются косоугольными).
В обоих классификациях Вейс и Моос выделяет всего четыре системы, хотя перечислены все шесть сингоний, только моноклинную и триклинную сингонии они рассматривают как подсистемы ромбической. Согласно его собственному утверждению, Моос развил эту концепцию в 1812-14 годах, что и послужило предметом спора с Вейсом о приоритете открытия кристаллических систем. В отличие от Вейса, Моос указал на необходимость косоугольной системы осей для моноклинных и триклинных кристаллов.
Названия кристаллографических сингоний у авторов XIX века
Браве делит решётки в зависимости от их симметрии на 7 систем (классы совокупностей).
При этом сам Браве отмечает, что ещё Гаюи делил решётки гексагональной системы (по классификации Наумана) «на кристаллы, порожденные правильной гексагональной призмой, и кристаллы, порожденные ядром в виде ромбоэдра».
Система решётки (Lattice system)
Всего существует семь систем решёток, которые, аналогично предыдущим классификациям (сингония и кристаллическая система) делятся на три категории.
Не следует путать ромбоэдрическую систему решётки с тригональной кристаллической системой. Кристаллы ромбоэдрической системы решётки всегда принадлежат тригональной кристаллической системе, но тригональные кристаллы могут принадлежать как ромбоэдрической, так и гексагональной системам решётки. Например, группы R и P321 (обе из тригональной кристаллической системы) принадлежат к разным системам решётки (ромбоэдрической и гексагональной, соответственно).
Общее определение, применимое для пространств любых размерностей — Решётки относятся к одному типу, если они комбинируются с одними и теми же точечными группами. Например, все ромбические решётки (ромбическая P, ромбическая C, ромбическая I и ромбическая F) относятся к одному типу, так как они комбинируются с точечными группами 222, mm2 и mmm, образуя пространственные группы P222, Pmm2, Pmmm; C222, Cmm2, Cmmm; I222, Imm2, Immm; F222, Fmm2, Fmmm. В то же время ячейки гексагональной сингонии (примитивная P и дважды центрированная R) соответствуют разным системам решётки: обе комбинируются с точечными группами тригональной кристаллической системы, но с группами гексагональной системы комбинируется только примитивная ячейка (существуют группы P6, P, P6/m, P622, P6mm, Pm2, P6/mmm, но не существует групп R6, R, R6/m, R622, R6mm, Rm2, R6/mmm).
Связь между сингонией, кристаллической системой и системой решётки в трёхмерном пространстве дана в следующей таблице:
Сингония
Кристаллографические классы, или виды симметрии, объединяются в более крупные группировки, называемые системами или сингониями. Таких сингоний семь:
В каждую сингонию входят кристаллы, у которых отмечается одинаковое расположение кристаллографических осей и одинаковые элементы симметрии.
Высшая категория
Кубическая сингония. В этой сингонии кристаллизуются наиболее симметричные кристаллы. В кубической сингонии присутствует более одной оси симметрии выше второго порядка, т. е. L3 или L4 . Кристаллы кубической сингонии обязательно должны иметь четыре оси третьего порядка (4L3) и, кроме того, либо три взаимно перпендикулярные оси четвертого порядка (3L4), либо три оси второго порядка (3L2). Максимальное количество элементов симметрии в кубической сингонии может быть выражено формулой 3L4 4L36L29PC. Кристаллы кубической сингонии встречаются в виде куба октаэдра, тетраэдра, ромбододекаэдра, пентагон-додекаэ дра и др.
Средняя категория
Сингонии средней категории. Эта группа объединяет кристаллы, обладающие только одной осью симметрии порядка выше второго. К средней категории относятся гексагональная, тетрагональная и тригональная сингонии. Гексагональная сингония характеризуется наличием одной оси симметрии шестого порядка (L6). Максимальное количество элементов симметрии может быть следующим» L56L27PC. Кристаллы гексагональной сингонии образуют приз мы, пирамиды, дипирамиды и др.
Низшая категория
Кристаллические системы также разбиваются на три категории, в зависимости от числа осей высшего порядка (осей выше второго порядка).
Возможные в трехмерном пространстве кристаллические системы с определяющими их элементами симметрии, то есть элементами симметрии, наличие которых необходимо для отнесения кристалла или точечной группы к определенной кристаллической системе:
Кристаллическая система пространственной группы определяется системой соответствующей ей точечной группы. Например, группы Pbca, Cmcm, Immm, Fddd (класс mmm) принадлежат к ромбической системе.
Современное определение кристаллической системы (применимое не только к обычным трёхмерным группам, но и для пространств любых размерностей) относит точечные группы (и производные от них пространственные группы) к одной кристаллической системе, если эти группы могут комбинироваться с одними и теми же типами решёток Браве. Например, группы mm2 и 222 обе принадлежат ромбической системе, так как для каждой из них существуют пространственные группы со всеми типами ромбической решётки (Pmm2, Cmm2, Imm2, Fmm2 и P222, C222, I222, F222), в то же время группы 32 и не принадлежат одной кристаллической системе, так как для группы 32 допустимы примитивная и дважды-центрированная гексагональные ячейки (группы P321 и R32), а группа комбинируется только с примитивной гексагональной ячейкой (есть группа P, но не существует R).
Список точечных групп
В таблице приведён список точечных групп в тригональной сингонии. Приведены международное обозначение и обозначение по Шёнфлиссу классов симметрии, а также примеры.
Таблица. Список точечных групп для тригональной кристаллической системы