ЧТО ТАКОЕ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

Если соединить атомы воображаемыми линиями в трех взаимно перпендикулярных направлениях, то получится пространственная кристаллическая решетка. Ее наименьшим структурным образованием является элементарная ячейка, контур которой представляет какое-нибудь составленное из атомов геометрическое тело, например куб ил шестигранную призму. Ячейки, примыкая друг к дургу и многократно повторяясь, образуют более крупные образования – зерна или кристаллиты. Аллотропия (полиморфизм) -способность некоторых металлов существовать в двух или нескольких кристаллических формах.

Примеры. Водород может существовать в двух формах (модификациях) — в виде орто- и пара-водорода. В молекуле ортоводорода ядерные спины направлены одинаково (параллельны), а у параводорода — противоположно друг другу (антипараллельны).

О2 — кислород и О3 — озон. Кислород бесцветен, не имеет запаха, озон же пахуч, имеет бледно-фиолетовый цвет, он более бактерициден.

Красный фосфор и белый фосфор. Белый фосфор ядовит, светится в темноте, способен самовоспламеняться, красный фосфор неядовит, не светится в темноте, сам по себе не воспламеняется.

Множество модификаций углерода, например: Алмаз, графит, фуллерен и карбин.

Элементарная ячейка кристалла

элементарная ячейка кристалла

элемента́рная яче́йка криста́лла

часть кристаллической решётки, параллельные переносы которой в трёх измерениях (трансляции) позволяют построить всю кристаллическую решётку. Выбор элементарной ячейки кристалла производится различными способами. Элементарная ячейка кристалла в общем случае имеет форму параллелепипеда. Длины рёбер обозначают a, b, с, а углы между ними — α, β, γ (рис.).

ЭЛЕМЕНТА́РНАЯ ЯЧЕ́ЙКА КРИСТА́ЛЛА, часть кристаллической решетки, параллельные переносы которой в трех измерениях (трансляции) позволяют построить всю кристаллическую решетку. Выбор элементарной ячейки кристалла производится различными способами. За ребра элементарной ячейки, т. е. за элементарные трансляции, принимают те направления в пространственной решетке (см. П РОСТРАНСТВЕННАЯ РЕШЕТКА), в которых период трансляции наименьший и которые наилучшим образом отражают симметрию решетки. Если по соображениям симметрии это возможно, то предпочтение отдается трансляциям взаимно перпендикулярным и (или) таким, чтобы периоды элементарных трансляций были равны друг другу.
Выбор основных трансляций в структуре кристалла определяет кристаллографическую систему координат. Параллелепипед, построенный на трех элементарных трансляциях a, b, c называется элементарным параллелепипедом или элементарной ячейкой. В трехмерной системе координат X, Y, Z трансляции a, b, c направлены, соответственно, вдоль осей X, Y, Z, а углы элементарной ячейки a, b, g лежат против осей X, Y, Z. Направления кристаллографических осей координат соответствуют направлениям ребер элементарной ячейки, а масштабные отрезки — длинам этих ребер.
Объем примитивной элементарной ячейки не зависит от ее формы и является величиной постоянной для данной решетки, он равен объему, приходящемуся на один узел.

.
.

Полезное

кристалла, минимальный объём кристалла, параллельные переносы (трансляции) которого в трёх измерениях позволяют построить всю кристаллическую решётку. Выбор Э. я. может быть произведён различными способами.

Большая советская энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия.
.

Смотреть что такое «Элементарная ячейка» в других словарях

У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка.

Кристалли́ческая решётка — вспомогательный геометрический образ, вводимый для анализа строения кристалла. Решётка имеет сходство с канвой или сеткой, что даёт основание называть точки решётки узлами. Решёткой является совокупность точек, которые возникают из отдельной произвольно выбранной точки кристалла под действием группы трансляции. Это расположение замечательно тем, что относительно каждой точки все остальные расположены совершенно одинаково. Применение к решётке в целом любой из присущих ей трансляций приводит к её параллельному переносу и совмещению. Для удобства анализа обычно точки решётки совмещают с центрами каких-либо атомов из числа входящих в кристалл, либо с элементами симметрии.

В зависимости от пространственной симметрии, все кристаллические решётки подразделяются на семь кристаллических систем. По форме элементарной ячейки они могут быть разбиты на шесть сингоний. Все возможные сочетания имеющихся в кристаллической решётке поворотных осей симметрии и зеркальных плоскостей симметрии приводят к делению кристаллов на 32 класса симметрии, а с учётом винтовых осей симметрии и скользящих плоскостей симметрии на 230 пространственных групп.

Помимо основных трансляций, на которых строится элементарная ячейка, в кристаллической решётке могут присутствовать дополнительные трансляции, называемые решётками Браве. В трёхмерных решётках бывают гранецентрированная (F), объёмноцентрированная (I), базоцентрированная (A, B или C), примитивная (P) и ромбоэдрическая (R) решётки Браве. Примитивная система трансляций состоит из множества векторов (a, b, c), во все остальные входят одна или несколько дополнительных трансляций. Так, в объёмноцентрированную систему трансляций Браве входит четыре вектора (a, b, c, ½(a+b+c)), в гранецентрированную — шесть (a, b, c, ½(a+b), ½(b+c), ½(a+c)). Базоцентрированные системы трансляций содержат по четыре вектора: A включает вектора (a, b, c, ½(b+c)), B — вектора (a, b, c, ½(a+c)), а C — (a, b, c, ½(a+b)), центрируя одну из граней элементарного объёма. В системе трансляций Браве R дополнительные трансляции возникают только при выборе гексагональной элементарной ячейки и в этом случае в систему трансляций R входят вектора (a, b, c, 1/3(a+b+c), —1/3(a+b+c)).

Классификация решёток по симметрии

Объём элементарной ячейки в общем случае вычисляется по формуле:

Элементарная ячейка — в геометрии, физике твёрдого тела и минералогии, в частности при обсуждении кристаллической решётки, минимальная ячейка, отвечающая единичной решёточной точке структуры с трансляционной симметрией в 2D, 3D или других размерностях.

Элементарная ячейка — фундаментальная область группы трансляций кристаллической решётки (решётки Браве).

Существует принципиальное различие между примитивной и элементарной ячейкой при рассмотрении структуры кристалла (англ. primitive unit cell, conventional unit cell). Примитивной ячейкой называется минимальный воображаемый объём кристалла, параллельные переносы (трансляции) которого в трёх измерениях позволяют построить трёхмерную кристаллическую решётку в целом. Элементарной примитивная ячейка может называться только в том случае, когда она обладает теми же элементами симметрии, что и конечный объем. Таким образом при моделировании кристаллических структур оказывается удобнее использовать именно элементарную ячейку, так как она воспроизводит не только структуру, но в конечном счете и свойства кристалла.

Бравэ были сформулированы 3 правила выбора элементарных ячеек:

Содержимое элементарной ячейки позволяет охарактеризовать всю структуру минерала. Часть структуры, охватываемая элементарной ячейкой, состоит из атомов, удерживаемых вместе благодаря электронным связям. Такие мельчайшие ячейки, бесконечно повторяющиеся в трехмерном пространстве, образуют кристалл. Элементарная ячейка не является физическим телом, её можно передвигать по структуре параллельно самой себе, независимо от выбора начала координат ячейка будет содержать те же атомы в прежних количествах, так как структура периодична. Элементарная ячейка и представляет собой такой минимальный период в трёх измерениях.

Применяемые в кристаллографии элементарные ячейки имеют вид параллелепипедов, их форма и размер определяются заданием трёх некомпланарных трансляций (векторов) решётки, то есть трёх не лежащих в одной плоскости ребер ячейки. Ячейка полностью определяет решётку. Обратное неверно: в одной и той же решётке выбор ячейки может совершаться по-разному.

Ячейка, построенная на трёх кратчайших некомпланарных трансляциях решётки, называется основной ячейкой. Объём такой ячейки минимален, она содержит всего один узел кристаллической решётки, и относится поэтому к примитивным ячейкам. Нередко такая ячейка оказывается низкосимметричной, при том, что симметрия самой структуры выше. В таком случае выбирают другую, высокосимметричную ячейку большего объёма, с дополнительными узлами решётки (непримитивная, или центрированная ячейка).

При помощи рентгеноструктурного анализа определяют размеры элементарной ячейки минерала, его сингонию, вид симметрии и пространственную группу симметрии, а также расшифровывают кристаллическую структуру.

Элементарная ячейка – минимальный объем, который отображает положение частицы в кристалле.

— а, b, с – периоды решетки;

— α, β, γ – углы между осями.

Элементарная ячейка позволяет:

1. Задать направление.

Координаты в периодах решетки

2. Задать любую плоскость.

Любая плоскость задается тремя цифрами, которые называются индексами плоскости (h; k; l)

h = 1/m, k = 1/n, l = 1/p,

где m, n, p – отрезки, отсекаемые плоскостью по всем осям координат.

m = 1, n = ∞, p = ∞;

h = 1, k = 0, l = 0. (1; 0; 0)

(0; 0; 1)

(1; 1; 1)

3. Определить плоскость укладки атомов (решетки Ме).

1) ОЦК – объемно-центрированный куб (W, V, Mo, Ta, Nb, Cr)

n = 2 =(1 + 8● 1/8)

2) ГЦК – гранецентрированный куб (Ar, Pt, Au, Al, Cu, Ni)

n = 4, k = 12, 0.74

3) Гексагональная (Mg, Be)

n = 6, k = 12, 0.74

— n – число атомов, приходящихся на одну ячейку;

— k – координационное число, число ближайших равноудаленных соседей;

— ГПУ – гексагональная плотноупакованная;

— коэффициент заполнения = Vатома/Vячейки

— два способа наиплотнейшего уложения атомов в ГЦК и ГПУ

Определение параметров элементарной кристаллической ячейки в виде параллелепипеда с параметрами длины рёбер a, b, c и с углами между рёбрами α, β, γ

Постоя́нная решётки, или параметр решётки — размеры элементарной кристаллической ячейки кристалла. В общем случае элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с различными длинами рёбер, обычно эти длины обозначают как a, b, c. Но в некоторых частных случаях кристаллической структуры дли́ны этих рёбер совпадают. Если к тому же выходящие из одной вершины рёбра равны и взаимно перпендикулярны, то такую структуру называют кубической. Структуру с двумя равными рёбрами, находящимися под углом 120 градусов, и третьим ребром, перпендикулярным им, называют гексагональной.

Принято считать что, параметры элементарной ячейки описываются 6 числами: 3 длинами рёбер и 3 углами между рёбрами, принадлежащими одной вершине параллелепипеда.

Например, элементарная ячейка алмаза — кубическая и имеет параметр решётки при температуре .

В литературе обычно не приводят все шесть параметров решётки, только среднюю длину рёбер ячейки и тип решётки.

Размерность параметров решётки , , в СИ — длина. Величину, ввиду малости, обычно приводят в нанометрах или ангстремах (1 Å = 0,1 нм).

Объём элементарной ячейки

Объём элементарной ячейки можно вычислить, зная её параметры (длины и углы параллелепипеда). Если три смежных ребра ячейки представить в виде векторов, то объём ячейки равен (с точностью до знака) тройному скалярному произведению этих векторов (т.е. скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других). В общем случае

Для моноклинных решёток α = γ = 90°, и формула упрощается до

Для тригональных (ромбоэдрических) решёток α = β = γ ≠ 90°, а также a = b = c, поэтому

Слоистые полупроводниковые гетероструктуры

Постоянство параметров решётки разнородных материалов позволяет получить слоистые, с толщиной слоёв в единицы нанометров сэндвичи разных полупроводников. Этот метод обеспечивает получение широкой запрещённой зоны во внутреннем слое полупроводника и используется при производстве высокоэффективных светодиодов и полупроводниковых лазеров.

Согласование параметров решётки

Параметры решётки важны при эпитаксиальном выращивании тонких монокристаллических слоёв другого материала на поверхности иного монокристалла — подложки. При значительной разнице параметров решётки материалов трудно получить монокристалличность и бездислокационность наращиваемого слоя. Например, в полупроводниковой технологии для выращивания эпитаксиальных слоёв монокристаллического кремния в качестве гетероподложки обычно используют сапфир (монокристалл оксида алюминия), так как оба имеют практически равные постоянные решётки, но с разным типом сингонии, у кремния — кубическая типа алмаза, у сапфира — тригональная.

Обыкновенно параметры решётки подложки и наращиваемого слоя выбирают так, чтобы обеспечить минимум напряжений в слое плёнки.

Другим способом согласования параметров решёток является метод формирования переходного слоя между плёнкой и подложкой, в котором параметр решётки изменяется плавно (например, через слой твёрдого раствора с постепенным замещением атомов вещества подложки атомами выращиваемой плёнки, так чтобы параметр решётки слоя твёрдого раствора у самой плёнки совпадал с этим параметром плёнки).

Например, слой фосфида индия-галлия с шириной запрещённой зоны может быть выращен на пластине арсенида галлия с помощью метода промежуточного слоя.

Элементарная ячейка кристаллической решетки служит для описания микроструктуры материалов. От ее параметров зависят многие физико-химические свойства вещества: твердость, температура плавления, электро- и теплопроводность, пластичность и другие. Типы этих элементарных структур были описаны еще в 19 веке. Одной из разновидностей является примитивная ячейка. Для выделения в структуре материала элементарной ячейки необходимо соблюдение ряда условий.

Кристаллическая решетка

Все твердые тела по внутренней структуре можно классифицировать на две формы: аморфные и кристаллические. Отличительной особенностью последних является специфическая организованная структура частиц.

Кристаллическая решетка – это упрощенная трехмерная модель твердых кристаллов, которая используется для анализа их свойств в физике, химии, биологии, минералогии и других науках. Внешне она похожа на сетку. В ее узлах находятся атомы вещества. Данный массив точек имеет определенный, регулярно повторяющийся порядок, специфичный для каждого вида вещества.

Что такое элементарная ячейка?

Элементарная ячейка кристаллической решетки – это наименьшая часть твердого тела, которая позволяет охарактеризовать его свойства. Она служит основой решетки и дублируется в ней бесчисленное количество раз.

Данная модель используется для упрощения визуального описания внутреннего строения кристаллов. При этом применяется система из 3 кристаллографических координатных осей, которые отличаются от обычных ортогональных тем, что они являются конечными отрезками определенного размера. Углы между осями могут быть равны 90° или быть непрямыми.

Если плотно заполнить элементарными ячейками определенный объем, то можно получить идеальный монокристалл. На практике более распространены поликристаллы, состоящие из нескольких ограниченных в пространстве регулярных структур.

Виды

В науке выделяют 14 видов элементарных ячеек решеток, обладающих уникальной геометрией. Впервые их описал французский физик Огюст Бравэ в 1848 г. Этого ученого считают основателем кристаллографии.

Данные типы элементарных структур кристаллической решетки группируют в 7 категорий, называемых сингониями, в зависимости от соотношения длин сторон и равенства углов:

Наиболее простой и распространенной в природе из них является первая категория, которая в свою очередь делится на 3 типа решеток:

Примитивная ячейка

Элементарная ячейка называется примитивной, если ее частицы находятся только в вершинах решетки и отсутствуют в других местах. Ее объем является минимальным по сравнению с другими типами. На практике она оказывается часто низкосимметричной (примером может служить ячейка Вигнера-Зейтца).

У не примитивных ячеек атом в центре объема делит их на 2 или на 4 одинаковые части. В гранецентрированной структуре происходит разделение на 8 частей. В металлографии пользуются понятием элементарной, а не примитивной ячейки, так как симметрия первой позволяет более полноценно описать кристаллическую структуру материала.

Признаки

Все 14 видов элементарных ячеек обладают общими свойствами:

При выборе структуры элементарной ячейки руководствуются некоторыми правилами. У нее должны быть:

Объем

Объем элементарной ячейки определяется в зависимости от ее геометрической формы. Для кубической сингонии он вычисляется как длина грани (межцентровое расстояние атомов), возведенная в третью степень. Для гексагональной сингонии объем можно определить по формуле, указанной ниже:

где a и c – параметры кристаллической решетки, измеряющиеся в ангстремах.

На практике параметры кристаллической решетки рассчитываются для того чтобы в дальнейшем можно было определить структуру соединения, массу атома (исходя из веса данного объема и числа Авогадро) или его радиус.

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА КРИСТАЛЛА — часть кристаллической решетки, параллельные переносы которой в трех измерениях (трансляции) позволяют построить всю кристаллическую решетку. Выбор элементарной ячейки кристалла производится различными способами. Элементарная ячейка кристалла в общем случае имеет форму параллелепипеда. Длины ребер обозначают a, b, c, а углы между ними — ?, ?, ?.

Большой Энциклопедический словарь.
.

Смотреть что такое «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ЯЧЕЙКА КРИСТАЛЛА» в других словарях

Структура кристалла – это конкретное расположение частиц в пространстве (физическая реальность). Чтобы представить структуру кристалла, нужно знать относительные размеры частиц, расстояния между ними, силы связи ме­жду частицами, их взаимное расположение, повторяющее расположение частиц в пространстве (пространственную решётку), и законы симметрических преоб­разований.

Симметрия – основная особенность, характерная для структуры кристаллов. Теорию строения структуры кристаллов развил английский учёный Бравэ, основываясь на многих экспериментальных результатах других исследовате­лей. Положив в основу своей теории анизотропию и симметрию кристаллов, он пришёл к понятию о пространственной решётке.

Пространственная решётка – это способ представления периодичности повторения в пространстве отдельных материальных частиц или групп частиц. Кристаллическая решётка – пространственная сетка, в узлах которой располагаются частицы (атомы, ионы, молекулы), образующие кристалл. Основу кристалла, её остов, каркас можно представить как бесконечную решётку, со­стоящую из множества одинаковых смежных параллелепипедов — ячеек Бравэ (рис. 1.11). Например, кристаллическая решётка поваренной соли NaCl пред­ставляет собой две кубические решётки с атомами хлора и атомами натрия в узлах, «вставленные» одна в другую (рис. 1.8). Какова бы ни была кристалли­ческая решётка, описывающая структуру кристалла, в её основе всегда лежат ячейки Бравэ.

Рис. 1.11. Пространственные решётки некоторых веществ

Рассмотрим простейший случай, когда одинаковые частицы расположены в кристалле параллельными бесконечными рядами. На 1 мм в кристалле находится порядка 107 частиц (рис. 1.12). Трансляция (период идентичности) –симметричное преобразование, при котором точка (частица) повторяется в пространстве. Её величина – кратчайшее из возможных расстояний между одина­ковыми точками в ряду.

Рис. 1.12. Линейная цепочка атомов

Если сдвинуть точки бесконечного ряда на один период идентичности вдоль направления трансляции, то ряд совместится сам с собой, его вид не на­рушится. Выбор основных трансляций в структуре кристалла очень важен, по­тому что ими определяются кристаллографические системы координат. В об­щем случае это косоугольные координаты с разными масштабными отрезками по осям (рис. 1.13).

Узлы ряда – одинаковые точки, связанные между собой величиной трансляции а в бесконечном ряду. При перенесении точек по трём направлениям на величину трансляций а, b, c можнополучить трёхмерную сетку.

Ячейки сетки – параллелограммы, вершины которых являются узлами.

Элементарная ячейка – параллелепипед с характерным для данной решётки расположением частиц, с помощью которого весь кристалл может быть построен путём его многократного повторения в трёх направлениях. Она стро­ится на трёх элементарных трансляциях а, b, с. Элементарную ячейку принято выбирать так, чтобы она удовлетворяла следующим условиям: наилучшим об­разом отражала симметрию сетки, имела бы прямые углы и, если возможно, обладала бы наименьшим объёмом.

Примитивной называется элементарная ячейка, внутри которой нет узлов, частицы содержатся только в вершинах (рис. 1.13). Узлы решётки – вершины ячеек, в которых располагаются одинаковые атомы или группы атомов. Они эк­вивалентны друг другу.

Период (постоянная) кристаллической ячейки – расстояние между однородными атомами. Параметры элементарной ячейки: три ребра ячейки a, b, c; три угла между ними α, β, γ. Например, для представленной на рис. 1.13 примитивной ячейки, соотношения между параметрами следующие:

Рис. 1.13. Примитивная элементарная ячейка

Элементарные ячейки, составляющие кристаллическую решётку кристалла, имеют одинаковые форму и объём. Кристалл можно построить с помощью разных примитивных ячеек. В некоторых случаях удобно характеризовать про­странственную сетку не примитивной, а сложной элементарной ячейкой, у ко­торой узлы есть не только в вершинах, но и внутри ячейки. Элементарная ячей­ка может содержать несколько примитивных ячеек.

Элементарные ячейки различаются по элементам симметрии и степени заполнения атомами (рис. 1.14).

Рис. 1.14. Разные примитивные ячейки в плоской сетке

К элементам симметрии относятся: трансляции, плоскости симметрии, зеркальные плоскости, оси симметрии разных порядков, инверсионные оси симметрии (рис. 1.15).

Рис. 1.15. Элементы симметрии в кубическом кристалле

Кристаллические ячейки делятся по элементам симмет­рии на 7 сингоний: триклинная, моноклинная, ромбическая, ромбоэдрическая, гексагональная, тетрагональная, кубическая. Сингония в дословном переводе – сходноугольность. В сингонию объединяют кристаллы, у которых одинакова симметрия элементарных ячеек и одинаковая система координат. На рис. 1.16 показана тетрагональная ячейка.

Рис. 1.16. Кристаллическая ячейка тетрагональной сингонии

В каждой сингонии элементарные ячейки делятся по степени заполнения их атомами. Так на одну ячейку простой кубической ячейки имеет приходится 1 атом: n = (1/8)8 = 1; объёмноцентрированной кубической ячейки (ОЦК) – 2 атома: n = (1/8)8 + 1 = 2; гранецентрированной кубической ячейки (ГЦК) – 4 атома: n =(1/8)8 + (1/2)6 = 4 Рис. 1.17); гексагональной с плотной упаковкой (ГПУ) – 2 атома.

Рис. 1.17. Кристаллические ячейки

Кристаллическую решетку общего типа называют решеткой с базисом (БЦК). Решетка с базисом представляется в виде двух вставленных одна в другую подрешеток Бравэ, каждая из которых определяется трансляцион­ными векторами. Базисный вектор устанавливает смещение реше­ток друг относительно друга. Количество базисных векторов может быть сколь угодно большим.

Рис. 1.18. Решётки Браве

Все известные в природе кристаллические тела кристаллизуются в 14 ре­шётках Браве (рис. 1.18). Далее они делятся на 32 класса симметрии и 230 пространственных групп.

Некоторым телам свойственна не одна, а две или более кристаллических структур, устойчивых при различных температурах и давлениях. Такое явление называется полиморфизмом. Полиморфные формы (модификации вещества) имеют, например, углерод и олово. Углерод может существовать в виде алмаза и графита. Алмаз очень прочный и твёрдый, графит – хрупкий. Элементарные ячейки алмаза и графита относятся к различным сингониям (рис. 1.19).

Рис. 1.19. Кристаллические решётки алмаза и графита

Олово может существовать в виде двух модификаций – серого и белого. Серое олово при температурах ниже 13,3 °С. имеет решётку типа алмаза. При температурах выше 13,3 °С серое олово превращается в белое олово – очень хрупкое вещество, которое легко разрушается в порошок. Белое (металличе­ское) олово имеет тетрагональную объёмноцентрированную решётку.

Полиморфные модификации обозначают греческими буквами: α, β, γ,., начиная с самой низкой температуры. Переход от одной модификации к другой сопровождается выделением или поглощением скрытой теплоты превращения. Полиморфное превращение является фазовым переходом 1-го рода. Полимор­физм имеет важное практическое значение: это свойство используется при термической обработке сталей, придании сталям различных свойств, получении нержавеющих сталей.

Для описания кристаллических многогранников и структур применяется метод индицирования. Через узлы кристаллической решетки можно провести прямые линии и плоскости. Выберем один из узлов решётки за начало координат.

Любой другой узел решётки определяется радиус–вектором:

R = m a + n b + р с.

Рис. 1.20. Миллеровские индексы узлов

Проходящая сквозь узлы прямая, а также ребро кристаллического многогранника имеют наклон в выбранной системе координат. В целом плоские сет­ки в пространственной решётке и соответствующие им грани кристаллического многогранника имеют наклон в системе координат.

Пусть некоторая плоскость решётки пересекает все три оси координат, отсекая на них отрезки ma, nb, pc. Отношение чисел m:n:p характеризует наклон плоскости к осям координат. Серию отношений рациональных чисел m:n:p для всех параллельных плоско­стей можно заменить отношением взаимно простых чисел р:q:r. Числа р, q, r называются параметрами Вейса.

Миллеровские индексы плоскости – три простых числа (HKL), записанные в круглых скобках. Индексы плоскости – дополнительные множители к величинам, обратно пропорциональным числу осевых единиц, отсекаемых лю­бой плоскостью данного семейства на координатных осях Х, У, Z.

Миллеровские индексы опреде­ляются из соотношения чисел р:q:r.

Пусть некоторая плоскость отсекает на осях координат отрезки:

р =1, q = 3, c = 2 (рис. 1.21). Составим отношения:

p:q:c = 1:3:2

Общий знаменатель равен 6. Дополнительные множители: H = 6, K = 2, L = 3.

Миллеровские индексы данной плоскости (623).

Рис.1.21. Индексы плоскости(623)

Межплоскостное расстояние – это расстояние между параллельными плоскостями, содержащими одинаковое количество атомов. Чем больше индексы H, K, L, тем меньше расстояние между плоскостями. Для кубического кристалла межплоскостное расстояние d для параллельных плоскостей с одинаковыми индексами выражаются через индексы этих плоскостей соотношением:

а– постоянная решётки.

В 1819 г. Гаюи сформулировал закон целых чисел (теперь закон Гаюи): для любых двух граней реального кристалла двойные отношения параметров равны отношению малых чисел. На кристаллографическом многограннике образуются лишь такие грани, для которых двойные отношения отрезков, отсекаемых данной гранью и еди­ничной гранью на трёх рёбрах кристалла, принятых за оси координат, равны отношению целых небольших простых чисел.

Грани, для которых отношение р:q:r является иррациональным, в реальном кристалле невозможны. Наклон всякой грани можно определить тремя целыми числами, если за оси координат выбрать направление трёх рёбер кристалла, а за параметры – отрезки, отсекае­мые на этих осях данной гранью.