Понятие простой формы
Как говорилось
в разделе 1, одно из основных макроскопических
свойств кристаллов – способность
самоограняться, т.е. расти в форме
многогранников (полиэдров). Именно по
внешней полиэдрической форме, по
взаимному расположению равных элементов
этой формы – граней, ребер, — мы определяли
симметрию кристаллов. Однако видов
симметрии 32, а разнообразие форм
кристаллических многогранников
чрезвычайно велико. К одному виду
симметрии могут относиться совершенно
различные по внешнему облику многогранники,
отличающиеся друг от друга числом
граней, их формой и относительными
размерами. В качестве примера на рис.
4.1 показаны разные формыкристаллов
кальцита СаСО3 (инверсионно-планальный
вид симметрии тригональной сингонии).
В основе
описания и анализа морфологии кристаллов
(греч. морфе – форма) лежит понятие
простой формы. Простая форма – это
совокупность граней, связанных друг с
другом элементами симметрии кристалла.
Собственно, мы уже имели дело с такими
совокупностями граней, размножая их
на проекции – при этом как раз и получался
набор граней, составляющих простую
форму. Очевидно, что грани, принадлежащие
одной простой форме, должны иметь
одинаковые очертания и размеры – раз
их связывают элементы симметрии, значит,
они равны друг другу. Заметим, что
существуют также простые формы, состоящие
из одной грани, см. раздел 4.2.
На кристалле
обычно присутствуют грани нескольких
простых форм – такой многогранник
называется комбинационным. Число
простых форм комбинационного многогранника
равно числу разных сортов граней,
различающихся по очертаниям и размерам,
или, по крайней мере, не меньше этого
числа (иногда могут встречаться случаи,
когда на кристалле присутствуют
одинаковые грани, не связанные элементами
симметрии, см. раздел 4.8). На рис. 4.2
показана одна из простых форм кристалла
кварца
в составе комбинационного
многогранника (а) и в чистом виде (б). По
числу разных сортов граней на этом
многограннике можно выделить пять
простых форм.
Простые формы
подразделяются на закрытые (замкнутые)
и открытые (незамкнутые). Грани закрытых
простых форм полностью замыкают
заключенное между ними пространство
(рис. 4.3а), грани открытой простой формы
не замыкают пространство (рис. 4.3б).
Понятно, что если на кристалле присутствуют
грани только одной простой формы, то
эта форма закрытая. Наличие граней
открытой простой формы требует
обязательного присутствия на кристалле
граней хотя бы еще одной простой формы
(открытой или закрытой). Например, на
рис. 4.2б простая форма 1 открытая, остальные
– закрытые.
Описание простых форм
Хотя формы
кристаллов – комбинационных многогранников
бесконечно разнообразны, число простых
форм ограничено и невелико, поскольку
имеется всего 32 вида симметрии, и в
каждом из них – небольшое число различных
положений граней относительно элементов
симметрии. Всего имеется 47 простых форм
кристаллов. Все простые формы и их
стереограммы изображены в табл. 4.1.
Заметим, что в названия многих простых
форм входят греческие числительные
(раздел 2.5).
Простые формы низшей и средней
категории
Эти три простые формы, естественно,
открытые, и могут встречаться лишь в
комбинациях. Далее в горизонтальных
строках таблицы помещены сходные простые
формы разных сингоний – ромбической,
тетрагональной, тригональной и
гексагональной. В некоторых строках не
все клетки заполнены, т.к. не все простые
формы имеют аналогов в каждой из этих
сингоний.
4
– 10. Призмы – сложены гранями,
пересекающимися в параллельных ребрах,
открыты с обоих концов и потому встречаются
только в комбинациях.
4 – 7. Ромбическая, тетрагональная,
тригональная и гексагональная призмы.
Поперечные сечения — ромб, квадрат,
правильный треугольник и правильный
шестиугольник соответственно. В средних
сингониях грани призмы параллельны
главной оси симметрии, в ромбической
сингонии – одной из осей второго порядка.
Ромбические призмы возможны также в
центральном виде симметрии моноклинной
сингонии (раздел 4.4), но грани их наклонны
к оси симметрии второго порядка.
8 – 10. Призмы с удвоенным числом граней
– дитетрагональная, дитригональная
и дигексагональная призмы. В ромбической
сингонии такая форма невозможна. Удвоение
граней можно создать, «разломив» каждую
грань n-гональной призмы
по средней линии, параллельной главной
оси. Две «половинки» связаны плоскостью
симметрии, проходящей через главную
ось. Поперечные сечения этих призм –
равносторонние многоугольники, углы в
которых равны через один: дитетрагон,
дитригон и дигексагон соответственно.
11
– 17. Пирамиды – сложены гранями,
пересекающимися в одной точке (вершине),
которая лежит на оси симметрии. Вершина
может быть обращена либо вверх, либо
вниз относительно плоскости проекции.
Соответственно, проекции граней – либо
только кружки, либо только крестики.
11 – 14. Ромбическая, тетрагональная,
тригональная и гексагональная пирамиды.
Форма поперечных сечений – как для
соответствующих призм.
15 – 17. Пирамиды с удвоенным числом
граней – дитетрагональная, дитригональная
и дигексагональная пирамиды. Получаем
«разламыванием» каждой грани
соответствующей n-гональной
пирамиды вдоль высоты грани. Две
«половинки» связаны плоскостью симметрии,
проходящей через главную ось. Формы
поперечных сечений – как для соответствующих
2n-угольных призм.
Пирамиды
– также открытые простые формы, возможные
лишь в комбинациях. Все последующие
простые формы – закрытые, и потому могут
встречаться на кристаллах самостоятельно.
18
– 24. Дипирамиды. Эту форму можно
рассматривать как две пирамиды, сложенные
основаниями. Вершины двух пирамид лежат
на одной оси симметрии. Нижние грани
находятся точно под верхними и связаны
с ними плоскостью симметрии, совпадающей
с плоскостью общего основания, либо
осями второго порядка, лежащими в этой
плоскости. На стереограмме проекции
верхних и нижних граней совпадают
(крестики в кружках).
18 – 21. Ромбическая, тетрагональная,
тригональная и гексагональная дипирамиды.
Форма поперечных сечений – как для
соответствующих призм и пирамид.
22 -24. Дипирамиды с удвоенным числом
граней – дитетрагональная, дитригональная
и дигексагональная дипирамиды.
Смежные верхние или смежные нижние
грани связаны плоскостями симметрии.
Форма поперечных сечений – как для
2n-гональных призм и
пирамид.
25
– 27. Трапецоэдры (греч. трапеца
– неправильный четырехугольник) –
тетрагональный, тригональный,
гексагональный. Трапецоэдр можно
представить как дипирамиду, у которой
верхняя и нижняя пирамиды развернуты
вокруг общей оси симметрии L3,L4
или L6 на произвольный
угол (не фиксируемый операциями
симметрии). При таком развороте бывшие
треугольные грани дипирамиды преобразуются
в неправильные четырехугольники, откуда
и название простой формы. Каждая нижняя
грань расположена несимметрично между
двумя верхними, каждая верхняя грань –
несимметрично между двумя нижними. На
стереограмме проекции верхних и нижних
граней не совпадают (каждый крестик
лежит несимметрично между двумя кружками,
и наоборот). Смежная верхняя и нижняя
грани связаны горизонтальной осью
второго порядка, проходящей через
середину общего ребра.
28
– 29. Тетраэдры, ромбический и
тетрагональный — замкнутые
четырехгранники, сложенные треугольными
гранями так, что каждая нижняя грань
лежит между двумя верхними, и наоборот,
каждая верхняя грань – между двумя
нижними (симметрично – в тетрагональном
тетраэдре, несимметрично – в ромбическом).
В тетрагональном тетраэдре грани
– равносторонние треугольники, связанные
инверсионной осью Li4.
Ось проходит через середины двух
горизонтальных взаимно перпендикулярных
ребер, в которых пересекаются две верхние
и две нижние грани. В ромбическом
тетраэдре эти горизонтальные ребра
не перпендикулярны друг другу, а грани
– разносторонние треугольники. Смежные
верхняя и нижняя грани связаны
горизонтальными осями второго порядка,
проходящими через середины общих ребер.
Ромбический тетраэдр можно представить
как тетрагональный тетраэдр, «скрученный»
вокруг оси Li4,
которая при этом превращается в L2.
30.
Ромбоэдр – замкнутый шестигранник,
грани имеют форму ромбов, откуда и
название. Точки пресечения трех верхних
и трех нижних граней лежат на одной оси
Li3,
связывающей все шесть граней. Каждая
верхняя грань расположена симметрично
между двумя нижними, каждая нижняя грань
– симметрично между двумя верхними.
Ромбоэдр можно представить как
симметризованный тригональный трапецоэдр
(и наоборот, тригональный трапецоэдр
можно представить как «скрученный»
вокруг оси L3
ромбоэдр).
31-32.
Скаленоэдры (греч.скалена –
разносторонний, «косой» треугольник)
– тетрагональный и тригональный.
Формы, производные от тетрагонального
тетраэдра и ромбоэдра соответственно,
с удвоенным числом граней. Эти формы
можно представить как результат
«разламывания» граней исходных форм
вдоль перпендикулярных этим граням
плоскостей симметрии, проходящих через
ось Li4или
Li3.
Эти плоскости симметрии и связывают
«половинки» прежних граней. Каждая пара
верхних граней лежит симметрично между
двумя парами нижних граней, и наоборот.
Таким
образом, мы получили для низшей и средней
категорий 32 простые формы, показанные,
вместе с их проекциями, в таблице 3.1.
Простые формы
кубической сингонии
В
кристаллах кубической сингонии появляется
15 новых простых форм. Все эти формы
закрытые. Обращаем внимание, что ни одна
из простых форм низших и средних сингоний
не может встречаться в кубической
сингонии! Грубой, но часто повторяющейся
ошибкой является, например, определение
формы №38 табл. 4.1 как тетрагональной
дипирамиды, или формы №43 как трех
пинакоидов.
Удобно
рассматривать простые формы кубической
сингонии как производные от трех основных
простых форм – тетраэдра, октаэдра и
куба (№№ 33, 38 и 43 ). Грани основных
простых форм занимают строго фиксированное
положение относительно элементов
симметрии кубического кристалла: грани
тетраэдра либо октаэдра перпендикулярны
четырем осям L3,
грани куба перпендикулярны трем взаимно
перпендикулярным осям симметрии L2,
Li4
или L4. Образование
производных форм происходит путем
усложнения – удвоения, утроения,
учетверения или даже ушестерения граней
основных форм – подобно тому, как путем
удвоения граней получали ди-гональные
призмы, пирамиды и дипирамиды, а также
скаленоэдры. Рассмотрим последовательно
основные и производные простые формы
кубической сингонии.
33.
Кубический тетраэдр – единственный
четырехгранник в кубической сингонии
и единственная форма, название которой
уже встречалось среди форм низшей и
средней категорий. Помимо симметрии,
отличается от рассмотренных выше
ромбического и тетрагонального тетраэдров
формой граней, которые представляют
собой правильные (равносторонние)
треугольники. На стереограмме проекции
граней лежат на выходах осей L3,
причем в соседних квадрантах чередуются
верхние и нижние грани (кружки и крестики).
34
– 36. Тригонтритетраэдр, тетрагонтритетраэдр,
пентагонтритетраэдр. Первая часть
названия каждой из этих форм отражает
контур грани – треугольник, четырехугольник,
пятиугольник. Вторая часть названия
показывает, что каждая грань тетраэдра
замещена тремя гранями (утроена), т.е.
эти формы – двенадцатигранники. Ребра
между замещающими гранями направлены
из центра бывшей грани тетраэдра к ее
вершинам (тригонтритетраэдр), серединам
бывших ее ребер (тетрагонтритетраэдр)
или косо к этим ребрам (пентагонтритетраэдр).
Отсюда и разная форма замещающих граней.
На стереограмме проекции граней
тригонтритетраэдра и тетрагонтритетраэдра
лежат на вспомогательных линиях,
соединяющих выходы осей L3и
L2 (Li4)-
см.рис.3.6,-и смещены от L3
к L2(Li4)
для тригонтритетраэдра и в противоположную
сторону для тетрагонтритетраэдра.
Проекции граней пентагонтритетраэдра
лежат внутри трех из шести сферических
треугольников, образованных вспомогательными
линиями, занимая их через один. Во всех
случаях в соседних квадрантах чередуются
верхние и нижние грани (тройки кружков
и тройки крестиков).
37.
Гексатетраэдр. Каждая грань тетраэдра
замещена шестью гранями, т.е. это
двадцатичетырехгранник. Замещающие
грани треугольные, ребра между смежными
гранями направлены из центра бывшей
грани тетраэдра к ее вершинам и к
серединам ее ребер. На стереограмме
проекции граней лежат внутри всех
сферических треугольников. В соседних
квадрантах чередуются верхние и нижние
грани (шестерки кружков и шестерки
крестиков).
38.
Октаэдр – восьмигранник, грани –
правильные треугольники. На стереограмме
проекции граней лежат на выходах осей
L3, под каждой верхней
гранью находится нижняя грань (крестики
в кружках).
39
– 41. Тригонтриоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр,
пентагонтриоктаэдр. Получаются
утроением граней октаэдра, подобно
соответствующим формам, производным
тетраэдра. Таким образом, это
двадцатичетырехгранники. Обращаем
внимание, что в тригонтриоктаэдре и
тригонтритетраэдре грани примыкают к
бывшим ребрам исходных форм, а в
тетрагонтриоктаэдре и тетрагонтритетраэдре
– к бывшим вершинам. Однако в стандартной
установке кристаллов три взаимно
перпендикулярные оси симметрии (3L2,
3Li4
или 3L4) выходят в
вершины октаэдра, — но в середины ребер
тетраэдра. Поэтому на стереограммах
позициям граней тригонтриоктаэдра
соответствуют позиции тетрагонтритетраэдра,
и наоборот (сравни проекции №№ 34 и 39,
35 и 40).
При
этом под каждой верхней гранью
тригонтриоктаэдра и тетрагонтриоктаэдра
находится нижняя грань (крестики в
кружках). На стереограммепентагонтриоктаэдра
проекции верхних и нижних граней не
совпадают, и шесть сферических
треугольников в каждом квадранте заняты
через один крестиками и кружками.
42.
Гексаоктаэдр – сорокавосьмигранник,
получается замещением каждой грани
октаэдра шестью гранями по той же схеме,
что и для гексатетраэдра. На стереограмме
проекции верхних и нижних граней
совпадают (крестики в кружках) и
располагаются внутри всех сферических
треугольников.
Таким
образом, имеются две совершенно
аналогичные серии простых форм —
тетраэдрическая и октаэдрическая, по
пять форм в каждой серии. Простые формы,
производные от куба, образуются иными
способами и имеют непохожие названия.
43.
Гексаэдр (куб) – шестигранник, хорошо
всем знакомая форма. Грани имеют
квадратные контуры, попарно параллельны,
двугранные углы прямые. На стереограмме
проекции граней куба лежат на выходах
трех взаимно перпендикулярных осей
симметрии L2, Li4
или L4.
44.
Ромбододекаэдр – двенадцатигранник,
грани имеют форму ромбов, отсюда и
название. Эту простую форму можно
получить, симметрично притупляя ребра
куба, т.е. проводя параллельно каждому
ребру плоскость, равно наклоненную к
соседним ребрам. На стереограмме проекции
граней ромбододекаэдра занимают строго
фиксированное положение (подобно
проекциям граней трех основных форм) –
на дугах больших кругов, проходящих
через выходы взаимно перпендикулярных
осей L2, Li4илиL4,
на равных угловых расстояниях от этих
выходов. В частности, четыре из двенадцати
точек лежат на окружности круга проекций.
Проекции нижних и верхних граней
совпадают (крестики в кружках).
45.
Пентагондодекаэдр — двенадцатигранник,
грани имеют форму неправильных
пятиугольников. Эту простую форму можно
получить аналогично предыдущей, но
притупляя ребра куба асимметрично. Еще
проще вывести пентагондодекаэдр из
куба, удваивая каждую грань куба
(«разламывая» ее на симметрично равные
половинки). В результате на каждой грани
куба как бы надстраивается двускатная
крыша, причем «коньки» крыш на соседних
гранях куба взаимно перпендикулярны.
На стереограмме проекции граней
пентагондодекаэдра лежат на тех же
дугах больших кругов, что и проекции
граней ромбододекаэдра (в частности,
четыре точки – на окружности круга
проекций), но расположены несимметрично
относительно выходов взаимно
перпендикулярных осей L2,
Li4или
L4. Проекции верхних
и нижних граней совпадают (крестики в
кружках).
46.
Дидодекаэдр – двадцатичетырехгранник,
который можно получить из пентагондодекаэдра,
удваивая его грани («разламывая» каждую
грань на симметрично равные половинки,
или надстраивая на каждой грани двускатную
крышу). На стереограмме проекции граней
дидодекаэдра лежат внутри сферических
треугольников, занимая их через один.
При этом, в отличие от пентагонтриоктаэдра,
проекции верхних и нижних граней
совпадают (крестики в кружках).
47.
Тетрагексаэдр — двадцатичетырехгранник,
который получается учетверением граней
куба («разламыванием» их по диагоналям).
В результате на каждой грани куба как
бы надстраивается четырехскатная крыша.
Можно также получить эту форму,
«разламывая» грани ромбододекаэдра по
коротким диагоналям. Отсюда следует и
положение проекций граней тетрагексаэдра
на стереограмме – они лежат на тех же
дугах большого круга, что и проекции
граней ромбододекаэдра, на равных
угловых расстояниях от этих позиций. В
частности, восемь из двадцати четырех
точек лежат на окружности круга проекций.
Проекции верхних и нижних граней
совпадают (крестики в кружках).
15 простых форм кристаллов кубической
сингонии плюс 32 простые формы кристаллов
низшей и средней категорий и дают в
сумме 47 возможных простых форм кристаллов.
Минералы и горные породы России и СССР
МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
МИНЕРАЛОВ
О кристаллах и их симметрии
Сингония, или кристаллографическая система
Разбивка 32-х классов симметрии кристаллов на
группы по признаку сходства симметрии приводит к
очень важному для минералогии и кристаллографии
понятию сингонии, или кристаллографической
системы. Кристаллы одной сингонии
объединяются одинаковой совокупностью
характерных углов и наличием одного или
нескольких одинаковых элементов симметрии (в
частности, главной оси или набора осей одного
порядка).
Всего выделяют семь (в России) или шесть (за
рубежом) сингонии; в порядке повышения симметрии
это триклинная, моноклинная, ромбическая,
тетрагональная, тригональная и гексагональная
(часто, особенно за рубежом, объединяются в одну
— гексагональную), а также кубическая
сингонии. В таблице 2А.1. приведено распределение
32-х классов (видов) симметрии с их названиями и
формулами симметрии по семи сингониям. Свои
названия классы симметрии получили по наиболее
характерным для них простым формам; обычно это
так называемые «общие» простые формы
каждого класса.
Таблица 2А. 1. 32 класса (вида) симметрии
кристаллов
В настоящее время при описании минерала, даже
самом кратком, наряду с химической формулой
обязательно указывается и сингония, к которой
принадлежат кристаллы минерала; часто
приводится также класс (вид) симметрии. Это
связано, в частности, с тем, что в качестве
самостоятельных минеральных видов выделяются
полиморфные модификации, т.е. минералы, имеющие
одинаковый химический состав, но разную
структуру и, следовательно, симметрию. Ниже
приводится краткая характеристика сингонии (в
порядке повышения симметрии) — их элементов
симметрии, координатных систем (рис. 2 А.7),
морфологических параметров и простых форм.
Рис. 2 А.7. Кристаллографические
координатные (осевые) системы семи сингоний
1) Триклинная сингония (включает 2 в.с).
Синоним — агарная (безосная). Элементы
симметрии либо отсутствуют (не считая
бесчисленных одинарных осей Lx), либо
представлены только центром инверсии. Все
кристаллографические (координатные) оси наклонны;
параметры по всем трем осям различны.
Морфология кристаллов характеризуется
отношением параметров а:b:с (причем принимается
b=1) и значениями углов a, b, y. Единственно возможные
простые формы — моноэдры (педионы) и пинакоиды.
3) Ромбическая сингония (3 в.с). Синоним — дигирная
(с двойными осями). В наиболее симметричных
кристаллах (планаксиального типа симметрии)
представлены три взаимноперпендикулярных
двойных оси и три плоскости симметрии,
нормальные к ним, а также центр инверсии. В менее
симметричных кристаллах могут присутствовать
только три двойных оси (аксиальный тип симметрии)
либо одна полярная двойная ось и две проходящие
через нее взаимно-перпендикулярные плоскости
(планальный тип симметрии). Все три угла между
кристаллографическими осями — прямые, но сами
оси по-прежнему неравнозначны (a # b # c; a = y = 90°).
Морфологической характеристикой кристаллов
служит только осевое отношение a:b:c, где b
приравнивается к 1. Типичные простые формы
(помимо педионов и пинакоидов) — ромбические
призмы, пирамиды и бипирамиды, а также
ромбический тетраэдр (бисфеноид).
Триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии
составляют группу низших сингонии; они
охватывают 8 классов симметрии, относящихся к
низшей категории по уровню симметрии. В этой
группе отсутствуют оси более высокого порядка,
нежели двойные.
Следующие три сингонии — тетра-, три- и
гексагональная — входят в группу средних
сингонии; к ним принадлежат 10 классов
симметрии, относящихся к средней категории по
уровню симметрии и характеризующихся наличием
одной оси высокого порядка — 3-го, 4-го или 6-го
(включая инверсионные). Причем, поскольку простые
формы в гексагональной и тригональной сингониях
(и только в них) в значительной мере
перекрываются, обе они нередко (особенно за
рубежом) объединяются в одну гексагональную, а
тригональная рассматривается как подсистема
гексагональной. Этим обусловлено расхождение в
общем числе сингонии: 6 или 7 у разных авторов.
4) Тетрагональная (квадратная, тетрагирная) сингония
(7 в.с). Имеется одна ось симметрии 4-го порядка
(простая или инверсионная), ориентированная
вертикально — вдоль кристаллографической оси с.
В наиболее высокосимметричном классе
(планаксиальный тип симметрии) наряду с
четверной присутствуют 4 двойных оси,
перпендикулярные ей, 5 плоскостей симметрии,
перпендикулярных пяти осям, и центр инверсии (но
не в кристаллах с осью L4i).
В других классах число элементов симметрии
существенно уменьшается, но наличие четверной
оси обязательно. Она может быть полярной,
биполярной или инверсионной; полярная или
инверсионная оси могут сопровождаться другими
элементами симметрии (в первом случае – в
планальном типе симметрии — четырьмя
плоскостями, проходящими через нее; во втором — в
инверсионно-планальном типе — двумя двойными
осями, ей перпендикулярными, и двумя плоскостями,
проходящими через нее), но могут и не
сопровождаться, т.е. являться единственным
элементом симметрии кристалла (в примитивном и
инверсионно-примитивном типах симметрии).
В центральном типе симметрии наряду с
биполярной осью 4-го порядка присутствуют
нормальная к ней плоскость и центр инверсии, в
аксиальном типе имеются только пять осей
симметрии: одна биполярная 4-го и четыре
(перпендикулярные ей) второго порядка. В
тетрагональной сингонии a = b # c, a = у = 90°).
Морфологической характеристикой кристаллов
служит отношение ах. Типичные простые формы — тетрагональные
(четырехгранные, с квадратным поперечным
сечением) и дитетрагональные (восьмигранные,
с поперечным сечением в виде правильного
восьмиугольника) призмы, бипирамиды и пирамиды,
а также тетрагональный тетраэдр (бисфеноид), тетрагональный
трапецоэдр (его грани представлены трапецами,
от греческого «трапеза» — стол; не путать с
трапециями!; так в кристаллографии именуют
четырехугольники с одной парой равных соседних
сторон) и тетрагональный скаленоэдр (его
грани имеют форму разносторонних треугольников
— скаленов, от греческого «скаленос» —
косой). В некоторых классах по-прежнему возможны пинакоиды
и педионы, в частности базопинакоиды в
комбинации с призмами и педион (моноэдр) как
основание (базальная грань) пирамиды.
Всего в тетрагональной сингонии известно 9
простых форм.
5) Тригональная (тригирная) сингония (5
или 7 классов симметрии). Два класса симметрии, в
которых присутствует шестерная инверсионная
ось (равнозначная, как мы уже знаем, сочетанию
обычной тройной оси с перпендикулярной к ней
плоскостью симметрии), относят то к тригональной,
то к гексагональной сингонии, что подчеркивает
известную условность их разделения и отсутствие
между ними четко выраженной границы. Впрочем,
среди минералов представителей обоих этих
классов почти нет.
В этой сингонии (равно как и в гексагональной)
координатная система четырехосная; три оси,
обозначаемые буквой а (а1, а2 и а3),
эквивалентны и располагаются в горизонтальной
плоскости под углом 120° друг к другу, а четвертая
(с) вертикальна, т.е. перпендикулярна трем
остальным. По оси с ориентируется тройная ось
тригональных кристаллов, наличие которой для них
обязательно и служит отличительным признаком
тригональной сингонии.
Кроме нее могут присутствовать двойные оси
(до трех), зеркальные плоскости (до 3-х или — в
кристаллах с шестерной инверсионной осью — 4-х) и
иногда центр инверсии. Тройная ось может быть
полярной или биполярной (вспомним, что
инверсионная тройная ось равнозначна сочетанию
простой тройной оси с центром инверсии).
Характеристикой морфологии кристаллов служит
отношение с:а, которое может быть и больше, и
меньше единицы (а # с). Символы простых форм
тригональной сингонии, ввиду четырех-осности
координатной системы, состоят из четырех
индексов: (hkil), где i = -(h+k).
Помимо установки, общей для гексагональной и
тригональной сингонии (с четырьмя координатными
осями), для тригональных кристаллов, особенно
ромбоэдрических изометричного облика, иногда
принимается другая установка — ромбоэдрическая,
с трехосной системой координат, в которой
кристаллографические оси направлены вдоль трех
ребер так называемого основного ромбоэдра (1011),
пересекающихся на тройной оси.
Ромбоэдр — восьмивершинник с формулой
симметрии L33L23PC, получаемый
растяжением или сжатием куба (гексаэдра) вдоль
одной из его четырех тройных осей; все грани
ромбоэдра имеют форму одинаковых ромбов. В этой
установке все углы между осями равны, но отличны
от прямого (а = b = у # 90°). За единичную грань
принимают грань пинакоида или моноэдра,
перпендикулярную тройной оси; при этом все ее
линейные параметры оказываются одинаковыми (а = b
= с). Характерной морфологической константой
кристаллов становится угол между координатными
осями, т.е. угол а основного ромбоэдра .
Простые формы тригональной сингонии:
тригональные (трехгранные) и дитригональные
(шестигранные) призмы, бипирамиды и пирамиды,
ромбоэдры, тригональный трапецоэдр и
тригональный (дитригональный) скаленоэдр;
возможны также педион и пинакоид.
6) Гексагональная (гексагарная) сингония
(7 или 5 классов симметрии; см. сноску 8).
Отличительная особенность кристаллов —
присутствие одной вертикальной оси 6-го порядка
(совмещенной с координатной осью с). Шестерная
ось может быть биполярной и полярной; два класса
симметрии, в которых она является инверсионной,
нередко относят к тригональной сингонии
(поскольку, как мы знаем, ось L6i приводится к
простой тройной оси в сочетании с
перпендикулярной плоскостью симметрии).
Помимо шестерной оси могут присутствовать двойные
оси (до 6), зеркальные плоскости (тоже до 6) и
иногда центр инверсии (только не в кристаллах
с осью L6i). Система координат
— четырехосная; символы граней включают 4
индекса; морфологической характеристикой
кристаллов служит отношение с:а. Простые формы:
гексагональные (6-гранные) и дигексагональные
(12-гранные) призмы, бипирамиды, пирамиды, а также
гексагональный трапецоэдр (с 12-ю гранями — по 6
сверху и снизу). Важно отметить отсутствие
ромбоэдра — наиболее характеристической формы
тригональной сингонии; отсутствует и скаленоэдр.
Всего в гексагональной и тригональной сингониях
в сумме насчитывается 16 простых форм.
7) Кубическая (изометрическая,
правильная) сингония (5 классов симметрии) —
самая высокосимметричная, единственная,
относящаяся к высшей категории по уровню
симметрии. Для принадлежащих к ней кристаллов
обязательно наличие четырех
взаимноперпендикулярных осей 3-го порядка
(которые обычно биполярны, но в одном из классов,
отвечающем примитивному типу симметрии,
являются полярными). Наряду с ними в трех классах
(представляющих аксиальный, планальный и
планаксиальный типы симметрии) имеются три
четверных оси (в классе с планальным типом
симметрии они инверсионные). Обычно (за
исключением того же класса) присутствуют 3 или 6
двойных осей. В трех классах из пяти есть
плоскости симметрии (3, 6 или 9) и в двух из них —
центр инверсии.
Система координат — обычная трехосная, со
взаимно-перпендикулярными осями (параллельными
ребрам куба); параметры по всем трем осям равны,
т.е. их отношение имеет вид 1:1:1. Кроме того, углы
между соответствующими гранями простых форм
кубической сингонии постоянны для всех
кристаллов, к ней относящихся, и не могут служить
диагностическими или отличительными признаками
минералов. Таким образом, кристаллы кубической
сингонии лишены какой-либо специфической
морфологической характеристики; их принято
характеризовать величиной параметра кубической
элементарной ячейки (т.е. длиной ребра
элементарного куба) а0, очень легко и просто
определяемого непосредственно по
рентгенограмме порошка минерала. Зато простые
формы кубической сингонии весьма специфичны: ни
одна из них в других сингониях не встречается.
Всего в этой сингонии 15 простых форм (все — закрытые):
тетраэдр (4-гранник); куб, или гексаэдр (6-гранник);
октаэдр (8-гранник); пять 12-гранников —
ромбододекаэдр, пентагон-додекаэдр,
тригонтритетраэдр (триакис-тетраэдр),
тетрагон-тритетраэдр (дельтоэдр),
пентагон-тритетраэдр; шесть 24-гранников —
тригон-триоктаэдр (триакис-октаэдр),
тетрагон-триоктаэдр (икоситетраэдр),
пентагон-триоктаэдр (гироэдр), тетрагексаэдр,
гексатетраэдр, дидодекаэдр; и единственный
48-гранник — гексоктаэдр.
Простые формы низжих сингоний изображены на
рис. 2 А8, средних сингоний — на рис. 2 А.9 и
кубической сингонии на рис. 2 А.10.
Рис. 2 А.8. Простые формы низших сингоний:
1 — моноэдр; 2 — пинакоид; 3 — диэдр; 4 —
ромбическая призма; 5 — ромбический тетраэдр; 6 —
ромбическая пирамида; 7 — ромбическая
бипирамида;
Рис. 2 А.9. Простые формы средних
сингоний: пирамиды: 1 — тригональная; 2 —
дитригональная; 3 — тетрагональная; 4 —
дитетрагональная; 5 — гексагональная; 6 —
дигексагональная; бипирамиды: 7 — тригональная; 8
— дитригональная; 9 — тетрагональная; 10 —
дитетрагональная; 11 — гексагональная; 12 —
дигексагональная; призмы: 13 — тригональная; 14 —
дитригональная; 15 — тетрагональная; 16 —
дитетрагональная; 17 — гексагональная; 18 —
дигексагональная; 19 — тригональный трапецоэдр; 20
— тетрагональный тетраэдр; 21 — тетрагональный
трапецоэдр; 22 — ромбоэдр; 23 — гексагональный
трапецоэдр; 24 — тетрагональный скаленоэдр; 25 —
тригональный скаленоэдр. Вверху изображены
формы оснований и сечений, перпендикулярных
главной сии: а — тригон; б — дитригон; в —
тетрагон; г — дитетрагон; д — гексагон; е —
дигексагон.
Рис. 2 А.10. Простые формы кубической
сингонии: 1 — тетраэдр; 2 — тригон-тритраэдер; 3 —
тетрагон-тритетраэдр; 4 — пентагон-тритетраэдр; 5
— гексатетраэдр; 6 — октаэдр; 7 —
тригон-триоктаэдр; 8 — тетрагон-триоктаэдр; 9 —
пентагон-триоктаэдр; 10 — гексоктаэдр; 11 —
гексаэдр; 12 — тетрагексаэдр; 13 — ромбододекаэдр;
14 — пентагон-додекаэдр; 15 — дидодекаэдр.
Несколько дополним и расширим характеристику
классов симметрии и простых форм. В каждой
сингонии один из входящих в нее классов обладает максимальной
(для данной сингонии) симметрией, т.е. наибольшим
числом элементов симметрии, и носит название нормального,
или голоэдрического. К нему принадлежит
самая богатая гранями в данной сингонии простая
форма, которая называется полногранной и
считается общей формой голоэдрического класса —
голоэдром.
В триклинной сингонии голоэдрический
(пинакоидальный) класс относится к центральному
типу симметрии, во всех остальных сингониях
голоэдрическими являются классы планаксиального
типа симметрии. Распределение классов (видов)
симметрии по ступеням (типам) симметрии в рамках
каждой сингонии представлено в таблице 2А.2.
Таблица 2А.2. Распределение видов
(классов) симметрии по ступеням (типам) симметрии
для всех сингоний.
Из голоэдрического класса выводятся остальные
классы соответствующей сингонии путем
последовательного (ступенчатого) снижения
симметрии, что достигается сокращением числа
граней полногранных форм сначала вдвое, а затем
вчетверо (т.е. еще раз вдвое). Такого рода операции
называются мероэдрическими (от греческого
«мерос» — часть), а выводимые с их помощью
простые формы с уменьшенным числом граней (в
зависимости от ступени сокращения) — гемиэдрическими
(первая ступень: формы с половинным числом
граней) и тетартоэдрическими (вторая ступень:
формы с четвертью исходного числа граней). В
гексагональной и тригональной сингониях
возможна (в единственном случае) и третья ступень
сокращения числа граней, приводящая к огдоэдрии
— уменьшению количества граней в 8 раз; при этом
возникает класс примитивной симметрии с одним
элементом симметрии — тройной полярной осью.
Мероэдрические операции в низших, средних и
кубической сингониях осуществляются разными
способами; но приводят они в конечном счете к
классам (и соответствующим простым формам)
аксиальной, планальной, центральной и, наконец
сингонии примитивная симметрия достигается уже
при гемиэдрическом превращении пинакоидов в
моноэдры).
В ходе мероэдрических операций возможны
различные варианты. Так, при переходе к классам аксиальной
симметрии (в кристаллах присутствуют только
простые поворотные оси и нет центра инверсии) мы
сталкиваемся с явлением энантиоморфизма
(греческое «энантиос» — обратный,
противоположный): возникают пары зеркально
равных фигур, относящихся друг к другу как
зеркальные изображения (подобно правой и левой
рукам). У таких энантиоморфных кристаллов
различают правую и левую разновидности, которые
могут быть совмещены путем отражения в
зеркальной плоскости (но не путем поворота
вокруг оси симметрии).
Правые и левые разновидности известны,
например, для таких простых форм, как сфеноид
(осевой диэдр) в моноклинной и ромбический тетраэдр
(бисфеноид) — в ромбической сингонии,
тетрагональный, тригональный и гексагональный
трапецоэдры, тригональная бипирамида,
дитригональная пирамида, ромбоэдр — в
средних сингониях и, наконец, пентагон-триоктаэдр
(гироэдр) — в кубической сингонии.
Достаточно присутствия на кристаллах
минералов, принадлежащих к гемиэдрическим
классам с аксиальной симметрией, граней
перечисленных выше простых форм, чтобы по ним
можно было различить правую и левую
энантиоморфные разновидности; так, например,
правый и левый кварц (рис. 2 А.11)
различаются по положению граней энантиоморфных
фигур — тригонального трапецоэдра и/или
тригональной бипирамиды (если, конечно, они
наблюдаются на кристаллах, что бывает далеко не
всегда). Гемиэдрическое преобразование вообще
может затронуть только общую форму голоэдрического
класса (голоэдр), не касаясь других простых форм;
но для возникновения пары энантиоморфных
разновидностей и этого достаточно (например, из
ромбической бипирамиды получаются два
бисфеноида — правый и левый ромбические
тетраэдры).
Рис. 2 А.11. Правый (а) и левый (б) кристаллы кварца.
Простые формы: (1011) и (0111 ) — ромбоэдры 1-го и 2-го
рода; (0111 ) — тригональная бипирамида (правая и
левая); (1121) — тригональный трапецоэдр (правый и
левый)
Если же мероэдрические операции приводят к
классам планальной или центральной симметрии, то
вместо энантиоморфных разновидностей
гемиэдрических простых форм возникают конгруэнтные
(совместимые при вращении) пары; они
совмещаются путем поворота около двойной оси
симметрии. Эти пары различаются по ориентировке
относительно координатных осей: одна форма — та,
единичная грань которой пересекает только
положительные направления осей, — считается положительной
и обозначается знаком «+», а другая, у которой
единичная грань пересекает отрицательное
направление хотя бы одной из осей, — отрицательной
(со знаком «-«).
Как и в геометрической системе координат,
положительный конец X (а) обращен вперед (на
зрителя), отрицательный назад; положительное
направление оси Y (b) — вправо, отрицательное
— влево, а оси Z (с): положительное — вверх,
отрицательное — вниз. Положительным
является верхний правый октант трехосной
системы координат.
Таких положительных и отрицательных форм в
гемиэдрических и тетраэдрических классах очень
много. На кристаллах они могут присутствовать одновременно
и, что интересно, в некоторых случаях (хотя отнюдь
не всегда) их можно различить по внешнему виду.
Например, у минерала халькопирита
CuFeS2 грани положительного тетрагонального
тетраэдра (бисфеноида) покрыты штриховкой или
матовые, а грани отрицательного — гладкие,
блестящие. Положительный тетраэдр кубического
минерала сфалерита ZnS визуально
отличается от отрицательного различной
структурой граней (более четкие бугорки роста на
гранях положительного тетраэдра), фигурами
травления (обычно отсутствующими на гранях
отрицательного тетраэдра), а также частым
закономерным нарастанием халькопирита только на
грани положительного тетраэдра сфалерита.
В гемиэдрических классах планальной
симметрии ромбической и средних сингонии, где в
ацентричньгх кристаллах присутствуют только
полярные оси и проходящие через них плоскости
симметрии, в результате одной из мероэдрических
операций, состоящей в сокращении числа граней
вдвое путем ликвидации верхней или нижней частей
голоэдра, с преобразованием бипирамид в пирамиды,
возникают гемиэдрические формы — верхняя и
нижняя пирамиды, причем каждая из них может быть
положительной и отрицательной.
Несовпадение огранения этих пирамид на обоих
концах одного и того же кристалла может служить
ярким выражением гемиморфизма, о котором
упоминалось выше и который проявляется только в
кристаллах гемиэдрических классов. Помимо
тригональных турмалина и кварца, хорошим примером тут может
служить ромбический минерал гемиморфит (каламин) Zn4Si2O7(OH)2
• H2O; в самом его названии заключено
указание на гемиморфный облик кристаллов.
Характеризуя простые формы средних
сингоний, нужно еще упомянуть, что на кристаллах,
к ним относящихся, могут появляться грани призм,
пирамид, бипирамид, ромбоэдров,
тетрагональных тетраэдров 1-го, 2-го и 3-го
рода. Одноименные простые формы разного рода
различаются только по ориентировке относительно
кристаллографических осей (т.е. по символам
граней), а по внешнему виду обычно неотличимы (см.
рис. 2 А.11). Среди них (кроме призм) могут
встречаться положительные и отрицательные,
а также энантиоморфные разновидности.
Познакомиться с изображениями и описаниями других объектов природы России и сопредельных стран —
минералов и горных пород,
деревьев, кустарников, кустарничков и лиан,
травянистых растений (цветов),
ягод и других дикорастущих сочных плодов,
водных беспозвоночных животных,
пресноводных и проходных рыб,
птиц, птичьих гнезд, их яиц и голосов, а также
В разделе Природа в фотографиях
размещены также тысячи научных фотографий грибов, лишайников, растений и
животных России и стран бывшего СССР, а в разделе
Природные ландшафты мира — фотографии природы
Австралии и Новой Зеландии и
В разделе Методические материалы
Вы также можете познакомиться с описаниями разработанных экологическим центром «Экосистема»
печатных определителей растений средней полосы,
карманных определителей объектов природы средней полосы,
определительных таблиц «Грибы, растения и животные России»,
компьютерных (электронных) определителей природных объектов,
полевых определителей для смартфонов и планшетов,
методических пособий по организации проектной деятельности школьников и полевых экологических исследований
(включая книгу для педагогов «Как организовать полевой экологический практикум»), а также
учебно-методических
фильмов по организации проектной исследовательской деятельности школьников в природе.
Приобрести все эти материалы можно в нашем некоммерческом Интернет-магазине.
Там же можно приобрести mp3-диски Голоса птиц средней полосы России и
Голоса птиц России, ч.1: Европейская часть, Урал, Сибирь.
Распределение простых форм по сингониям и категориям
Простой формой называют совокупность граней, выводящихся друг из друга при помощи элементов симметрии. К одной простой форме относятся те грани, которые имеют одинаковые форму и размер.
Перебрав 32 комбинации кристаллографических формул с учетом теорем взаимодействия, находим, что в природе может существовать всего лишь 47 простых форм.
Названия большинства форм основаны на следующих древнегреческих словах:
Простые формы подразделяются на открытые (не замыкающие полностью пространство) – моноэдр, диэдр, пинакоид, призмы, пирамиды, и закрытые (полностью замыкающие пространство) – дипирамиды, ромбоэдр, трапецоэдры, куб, октаэдр, скаленоэдры, тетраэдры, додекаэдры и др.
Все простые формы распределяются по категориям и сингониям: для кристаллов низшей категории возможны 7 простых форм, средней – 25 и высшей – 15.
Пинакоид – две параллельные грани любой формы.
3. Диэдр – две драни, пересекающиеся под углом
4. Ромбическая призма – призма, в сечении которой ромб, грани параллельны главной оси симметрии
5. Пирамида ромбическая
6. Дипирамида ромбическая
7. Тетраэдр ромбический – четыре грани в форме разностороннего треугольника
Рисунок 4.1 – Простые формы низшей категории
Простые формы средней категории (табл. 4.1).
К средней категории относится 25 простых форм. Кроме того, в кристаллах средней категории встречаются еще 2 простые формы из низшей категории – моноэдр и пинакоид.
Таблица 4.1 — Простые формы средней категории
Простые формы высшей категории (кубической сингонии) (рис. 4.2).
Рисунок 4.2 – Простые формы кубической сингонии
Из них различают исходные формы и производные. К исходным формам относят:
1. тетраэдр кубический (грани — 4 равносторонних треугольника);
2. гексаэдр (куб);
3. октаэдр (грани — 8 равносторонних треугольников);
4. ромбододекаэдр (12 граней в виде ромба);
5. пентагондодекаэдр (12 граней в виде пятиугольника).
Производные формы образуются из исходных путем надстраивания различных пирамид на гранях исходной формы, причем размножение исходной грани может происходить в 2, 3, 4 и 6 раз.
Надстраивание производных форм строятся следующим образом:
тригон — форма новой грани, образовавшейся на исходной грани,
три – количество новых граней на одной исходной,
тетраэдр – название исходной формы.
Простые формы кубической сингонии легко определяются по количеству граней, относящихся к одному сорту:
— если грани четыре, то это кубический тетраэдр
— если таких граней шесть, то это куб
— если их восемь – октаэдр.
Гексаоктаэдр (48 граней) – максимальное количество граней в природе.
