Называются трапецоэдры по количеству углов у основания антипризмы, двойственными к которой они являются. Например, четырёхугольный трапецоэдр — это многогранник, двойственный четырёхугольной антипризме.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 2 июня 2020 года; проверки требуют 3 правки.
Ромбоэдр (от ромб и др.-греч. — основание, грань) — это геометрическое тело, являющееся обобщением куба, у которого грани не обязательно квадратны, а лишь являются ромбами. Ромбоэдр является параллелепипедом, в котором все рёбра равны. Ромбоэдр можно использовать для определения ромбоэдрической решётчатой системы, сот с ромбоэдрическими ячейками.
В общем случае ромбоэдр может иметь три типа ромбических граней, которые разбиваются на конгруэнтные пары противоположных сторон. Ромбоэдр имеет симметрию Ci порядка 2.
à á â ã ä å
Рис. 70. Простые формы кристаллов средней категории (призмы, пирамиды и бипирамиды) и их сечения (верхний ряд) :
тригональная (а), дитригональная (б), тетрагональная (в), дитетрагональная (г), гексагональная (д), дигексагональная (е)
Грани данной простой формы занимают произвольное положение по отношению к элементам симметрии класса (., 70).
Таблица 10. Названия трапецоэдров.
Глава Простые формы кристаллов и комбинации простых форм
à. á. â. ã.
Рис. 71. Простые формы кристаллов низшей и средней категорий:
правый и левый тригональный трапецоэдры – класс D(а), правый и левый дигональные трапецоэдры (орторомбические тетраэдры — рис. 69е) — класс D(б), правый и левый тетрагональные трапецоэдры – класс D(в), правый и левый гексагональные трапецоэдры – класс D(ã)
Простые формы этого типа изображены на 70.
Данная простая форма встречается в кристаллах класса
Таблица 13. Названия антипризм (группа симметрии C)
Рис. 72. Простые формы кристаллов средней категории: ромбоэдр – класс S(а), тетрагональный тетраэдр – класс S(б), собственная симметрия этих форм (в)
Задавая грань в произвольном положении относительно совокупности элементов симметрии групп получаем еще один вид антипризм ().
Таблица 14. Названия антипризм (группа симметрии )
Рис. 73. Простые формы кристаллов средней категории: тригональный
скаленоэдр – класс (а), тетрагональный скаленоэдр – класс (á)
6.2. Простые формы в классах без единичных направлений
кристаллах высшей категории – кубической сингонии – встречаются 15 простых форм. Ни одна из ранее разобранных форм сюда не переходит. Никаких моноэдров, пинакоидов, призм, пирамид и бипирамид и т. д. здесь быть не может. Из старых названий мы находим здесь лишь тетраэдр.
è íà представлены простые формы для кристаллов высшей категории.
Таблица 15. Простые формы для кристаллов кубическлй сингонии.
В высшей категории все простые формы закрытые
Простые формы кубической сингонии выводятся как производные из основных форм путем “наращивания” на их гранях пирамид, двух-, трех- и четырехскатных “крыш”, допускаемых плоскостной симметрией граней
(индуктивный способ Н. В. Белова)
Основные формы кубической сингонии: куб (гексаэдр), октаэдр и кубический тетраэдр (), причем у кубического тетраэдра все грани в виде равностороннего треугольника, в отличие от тетрагонального тетраэдра (все грани в виде равнобедренного треугольника) и орторомбического тетраэдра (все грани – разносторонние треугольники).
Грани основных форм занимают строго фиксированное положение в координатной системе, как бы подчеркивая основные направления кубической сингонии – три координатные оси симметрии и четыре оси 3-го порядка.
Рис. 74. Тетраэдр, октаэдр, гексаэдр (куб)
Утроив грани тетраэдра, получим 12-гранник ():
грани в виде треугольника (тригона) —
грани в виде четырехугольника (тетрагона) –
грани в виде пятиугольника (пентагона) –
Рис. 75. Простые формы на основе тетраэдра
Утроив грани октаэдра, получим 24-гранник () :
Рис. 76. Простые формы на основе октаэдра
Разделив грань куба на две части можно получить ():
-12-гранник — (грань в виде пятиугольника – пентагона)
Если мы разделим грань пентогондодекаэдра пополам, то получим 24-гранник
Отметим, что тетраэдры, пентагонтритетраэдры и пентагондодекаэдры могут быть правыми и левыми, т. е. они образуют энантиоморфные формы.
Рис. 77. Простые формы на основе гексаэдра
СИММЕТРИЯ КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ СТРУКТУРЫ
Мы рассмотрели операции, элементы симметрии и группы симметрии, которые позволяют описывать симметрию непериодических фигур (в том числе – молекул). Переходим к рассмотрению симметрии фигур, обладающие периодичностью. К числу таких фигур относятся идеальные кристаллические структуры.
Глава Симметрия кристалли ч еской структуры
называют конкретное расположение атомов в пространстве кристаллического вещества. При этом принимают три допущения:
Атомы считают материальными точками, положение которых совпадает со средним по времени положением атомных ядер;
Не учитывают границ кристалла, полагая, что он занимает все пространство;
Считают, что структура обладает трехмерной периодичностью, т. е. не принимают во внимание обязательное присутствие в кристалле различных дефектов.
Последние два допущение лежат в основе понятия идеальной кристаллической структуры.
7.1. Пространственная решетка. Ячейки Бравэ
Основное свойство кристаллической структуры и характеризующей ее пространственной решетки – бесконечная периодичность, т. е. любые два узла решетки можно совместить друг с другом при помощи Трансляция является самым характерным элементом симметрии бесконечных фигур. Периодичность подобных бесконечных систем можно описать, введя новый элемент симметрии Решетку можно считать выразителем кристаллического состояния вещества, ибо любой кристалл, даже лишенный внешней симметрии, обладает решеткой.
Пространственная решетка – геометрическая схема, описывающая расположение материальных частиц в пространстве. Три элементарные трансляции a, b, c с углами между ними , , определяют элементарную ячейку, или параллелепипед повторяемости. Точки пересечения трансляций, слагающих пространственную решетку, называются . Узел может находиться как в промежутке между материальными частицами, так и в центре масс одной частицы или группы частиц. Тип ячейки не зависит от того, какая из точек бесконечного узора была принята за исходный узел.
Выбор ячейки в двумерной, а тем более в трехмерной решетке не будет однозначным, так как каждый узел можно считать начальной точек для множества трансляционных векторов ().
Рис. 78. К выбору элементарной
ячейки Бравэ в плоской сетке.
(1848 г.) сформулировал три условия выбора элементарной ячейки, которые названы
Симметрия элементарной ячейки должна соответствовать симметрии кристалла, точнее, наиболее высокой симметрии той сингонии, к которой относится кристалл. Ребра элементарной ячейки должны быть трансляциями решетки.
Элементарная ячейка должна иметь максимально возможное число прямых углов или равных углов и равных ребер.
Элементарная ячейка должна иметь минимальный объем.
Эти условия должны выполняться последовательно: при выборе ячейки первое условие важнее второго, а второе важнее третьего.
Ячейки, в которых узлы находятся только в вершинах, называются Выбор примитивной ячейки по условию Бравэ дает систему координат самую удобную для описания структуры и свойств кристалла. Однако, в некоторых случаях , которые содержат дополнительные (не охваченные контуром ячейки) узлы, являются более предпочтительными.
7.1.1. Двумерные ячейки Бравэ
Плоская сетка определяется двумя трансляциями è и углом между ними. Ячейки плоской сетки должны заполнять плоскость без промежутков.
В плоской сетке могут быть только повороты вокруг осей 1, 2, 3, 4, 6 порядков и отражения в плоскости симметрии, причем и оси, и плоскости должны быть перпендикулярны плоскости сетки. Отсюда следует, что симметрия плоских сеток описывается 10 двумерными кристаллографическими точечными группами: 1, 2, 3, 4, 6, m, mm2, 3m, 4mm, 6mm.
Рассмотрим все возможные значения трансляций è и углом между ними (79).
Рис. 79. 5 двумерных элементарных ячеек.
Полная характеристика ячейки требует указания не только точечной группы, но и трансляционной компоненты ее группы – подгруппы переносов. Подгруппы переносов решетки обозначается буквой , центрированной (непримитивной) – буквой (). В третьем случае характеристическая ячейка повторяет по форме вторую ячейку, но имеет дополнительный узел в центре (). Таким образом, симметрия плоских сеток описывается 5 двумерными (плоскими) группами симметрии: p2, pmm2, cmm2, p4mm, p6mm ().
Таблица 16. Двумерные ячейки Бравэ
образования новых ячеек, которые связаны с меньшими трансляциями.
На ребрах ячейки исключается появление узлов, так как трансляционные расстояния самые короткие.
Плоская сетка в виде параллелограмма не может быть центрированной, так как можно выбрать параллелограмм примитивный, меньший
Рис. 80. Переход от одного
другому с меньшими
Не приводит к ячейке нового типа и центрировка квадратной ячейки, так как в этом случае характеристическая ячейка окажется примитивной .
Соседние файлы в папке Кристаллография
Минералы и горные породы России и СССР
МОРФОЛОГИЧЕСКИЕ ОСОБЕННОСТИ
МИНЕРАЛОВ
О кристаллах и их симметрии
Сингония, или кристаллографическая система
Разбивка 32-х классов симметрии кристаллов на
группы по признаку сходства симметрии приводит к
очень важному для минералогии и кристаллографии
понятию сингонии, или кристаллографической
системы. Кристаллы одной сингонии
объединяются одинаковой совокупностью
характерных углов и наличием одного или
нескольких одинаковых элементов симметрии (в
частности, главной оси или набора осей одного
порядка).
Всего выделяют семь (в России) или шесть (за
рубежом) сингонии; в порядке повышения симметрии
это триклинная, моноклинная, ромбическая,
тетрагональная, тригональная и гексагональная
(часто, особенно за рубежом, объединяются в одну
— гексагональную), а также кубическая
сингонии. В таблице 2А.1. приведено распределение
32-х классов (видов) симметрии с их названиями и
формулами симметрии по семи сингониям. Свои
названия классы симметрии получили по наиболее
характерным для них простым формам; обычно это
так называемые «общие» простые формы
каждого класса.
Таблица 2А. 1. 32 класса (вида) симметрии
кристаллов
В настоящее время при описании минерала, даже
самом кратком, наряду с химической формулой
обязательно указывается и сингония, к которой
принадлежат кристаллы минерала; часто
приводится также класс (вид) симметрии. Это
связано, в частности, с тем, что в качестве
самостоятельных минеральных видов выделяются
полиморфные модификации, т.е. минералы, имеющие
одинаковый химический состав, но разную
структуру и, следовательно, симметрию. Ниже
приводится краткая характеристика сингонии (в
порядке повышения симметрии) — их элементов
симметрии, координатных систем (рис. 2 А.7),
морфологических параметров и простых форм.
Рис. 2 А.7. Кристаллографические
координатные (осевые) системы семи сингоний
1) Триклинная сингония (включает 2 в.с).
Синоним — агарная (безосная). Элементы
симметрии либо отсутствуют (не считая
бесчисленных одинарных осей Lx), либо
представлены только центром инверсии. Все
кристаллографические (координатные) оси наклонны;
параметры по всем трем осям различны.
Морфология кристаллов характеризуется
отношением параметров а:b:с (причем принимается
b=1) и значениями углов a, b, y. Единственно возможные
простые формы — моноэдры (педионы) и пинакоиды.
3) Ромбическая сингония (3 в.с). Синоним — дигирная
(с двойными осями). В наиболее симметричных
кристаллах (планаксиального типа симметрии)
представлены три взаимноперпендикулярных
двойных оси и три плоскости симметрии,
нормальные к ним, а также центр инверсии. В менее
симметричных кристаллах могут присутствовать
только три двойных оси (аксиальный тип симметрии)
либо одна полярная двойная ось и две проходящие
через нее взаимно-перпендикулярные плоскости
(планальный тип симметрии). Все три угла между
кристаллографическими осями — прямые, но сами
оси по-прежнему неравнозначны (a # b # c; a = y = 90°).
Морфологической характеристикой кристаллов
служит только осевое отношение a:b:c, где b
приравнивается к 1. Типичные простые формы
(помимо педионов и пинакоидов) — ромбические
призмы, пирамиды и бипирамиды, а также
ромбический тетраэдр (бисфеноид).
Триклинная, моноклинная и ромбическая сингонии
составляют группу низших сингонии; они
охватывают 8 классов симметрии, относящихся к
низшей категории по уровню симметрии. В этой
группе отсутствуют оси более высокого порядка,
нежели двойные.
Следующие три сингонии — тетра-, три- и
гексагональная — входят в группу средних
сингонии; к ним принадлежат 10 классов
симметрии, относящихся к средней категории по
уровню симметрии и характеризующихся наличием
одной оси высокого порядка — 3-го, 4-го или 6-го
(включая инверсионные). Причем, поскольку простые
формы в гексагональной и тригональной сингониях
(и только в них) в значительной мере
перекрываются, обе они нередко (особенно за
рубежом) объединяются в одну гексагональную, а
тригональная рассматривается как подсистема
гексагональной. Этим обусловлено расхождение в
общем числе сингонии: 6 или 7 у разных авторов.
4) Тетрагональная (квадратная, тетрагирная) сингония
(7 в.с). Имеется одна ось симметрии 4-го порядка
(простая или инверсионная), ориентированная
вертикально — вдоль кристаллографической оси с.
В наиболее высокосимметричном классе
(планаксиальный тип симметрии) наряду с
четверной присутствуют 4 двойных оси,
перпендикулярные ей, 5 плоскостей симметрии,
перпендикулярных пяти осям, и центр инверсии (но
не в кристаллах с осью L4i).
В других классах число элементов симметрии
существенно уменьшается, но наличие четверной
оси обязательно. Она может быть полярной,
биполярной или инверсионной; полярная или
инверсионная оси могут сопровождаться другими
элементами симметрии (в первом случае – в
планальном типе симметрии — четырьмя
плоскостями, проходящими через нее; во втором — в
инверсионно-планальном типе — двумя двойными
осями, ей перпендикулярными, и двумя плоскостями,
проходящими через нее), но могут и не
сопровождаться, т.е. являться единственным
элементом симметрии кристалла (в примитивном и
инверсионно-примитивном типах симметрии).
В центральном типе симметрии наряду с
биполярной осью 4-го порядка присутствуют
нормальная к ней плоскость и центр инверсии, в
аксиальном типе имеются только пять осей
симметрии: одна биполярная 4-го и четыре
(перпендикулярные ей) второго порядка. В
тетрагональной сингонии a = b # c, a = у = 90°).
Морфологической характеристикой кристаллов
служит отношение ах. Типичные простые формы — тетрагональные
(четырехгранные, с квадратным поперечным
сечением) и дитетрагональные (восьмигранные,
с поперечным сечением в виде правильного
восьмиугольника) призмы, бипирамиды и пирамиды,
а также тетрагональный тетраэдр (бисфеноид), тетрагональный
трапецоэдр (его грани представлены трапецами,
от греческого «трапеза» — стол; не путать с
трапециями!; так в кристаллографии именуют
четырехугольники с одной парой равных соседних
сторон) и тетрагональный скаленоэдр (его
грани имеют форму разносторонних треугольников
— скаленов, от греческого «скаленос» —
косой). В некоторых классах по-прежнему возможны пинакоиды
и педионы, в частности базопинакоиды в
комбинации с призмами и педион (моноэдр) как
основание (базальная грань) пирамиды.
Всего в тетрагональной сингонии известно 9
простых форм.
5) Тригональная (тригирная) сингония (5
или 7 классов симметрии). Два класса симметрии, в
которых присутствует шестерная инверсионная
ось (равнозначная, как мы уже знаем, сочетанию
обычной тройной оси с перпендикулярной к ней
плоскостью симметрии), относят то к тригональной,
то к гексагональной сингонии, что подчеркивает
известную условность их разделения и отсутствие
между ними четко выраженной границы. Впрочем,
среди минералов представителей обоих этих
классов почти нет.
В этой сингонии (равно как и в гексагональной)
координатная система четырехосная; три оси,
обозначаемые буквой а (а1, а2 и а3),
эквивалентны и располагаются в горизонтальной
плоскости под углом 120° друг к другу, а четвертая
(с) вертикальна, т.е. перпендикулярна трем
остальным. По оси с ориентируется тройная ось
тригональных кристаллов, наличие которой для них
обязательно и служит отличительным признаком
тригональной сингонии.
Кроме нее могут присутствовать двойные оси
(до трех), зеркальные плоскости (до 3-х или — в
кристаллах с шестерной инверсионной осью — 4-х) и
иногда центр инверсии. Тройная ось может быть
полярной или биполярной (вспомним, что
инверсионная тройная ось равнозначна сочетанию
простой тройной оси с центром инверсии).
Характеристикой морфологии кристаллов служит
отношение с:а, которое может быть и больше, и
меньше единицы (а # с). Символы простых форм
тригональной сингонии, ввиду четырех-осности
координатной системы, состоят из четырех
индексов: (hkil), где i = -(h+k).
Помимо установки, общей для гексагональной и
тригональной сингонии (с четырьмя координатными
осями), для тригональных кристаллов, особенно
ромбоэдрических изометричного облика, иногда
принимается другая установка — ромбоэдрическая,
с трехосной системой координат, в которой
кристаллографические оси направлены вдоль трех
ребер так называемого основного ромбоэдра (1011),
пересекающихся на тройной оси.
Ромбоэдр — восьмивершинник с формулой
симметрии L33L23PC, получаемый
растяжением или сжатием куба (гексаэдра) вдоль
одной из его четырех тройных осей; все грани
ромбоэдра имеют форму одинаковых ромбов. В этой
установке все углы между осями равны, но отличны
от прямого (а = b = у # 90°). За единичную грань
принимают грань пинакоида или моноэдра,
перпендикулярную тройной оси; при этом все ее
линейные параметры оказываются одинаковыми (а = b
= с). Характерной морфологической константой
кристаллов становится угол между координатными
осями, т.е. угол а основного ромбоэдра .
Простые формы тригональной сингонии:
тригональные (трехгранные) и дитригональные
(шестигранные) призмы, бипирамиды и пирамиды,
ромбоэдры, тригональный трапецоэдр и
тригональный (дитригональный) скаленоэдр;
возможны также педион и пинакоид.
6) Гексагональная (гексагарная) сингония
(7 или 5 классов симметрии; см. сноску 8).
Отличительная особенность кристаллов —
присутствие одной вертикальной оси 6-го порядка
(совмещенной с координатной осью с). Шестерная
ось может быть биполярной и полярной; два класса
симметрии, в которых она является инверсионной,
нередко относят к тригональной сингонии
(поскольку, как мы знаем, ось L6i приводится к
простой тройной оси в сочетании с
перпендикулярной плоскостью симметрии).
Помимо шестерной оси могут присутствовать двойные
оси (до 6), зеркальные плоскости (тоже до 6) и
иногда центр инверсии (только не в кристаллах
с осью L6i). Система координат
— четырехосная; символы граней включают 4
индекса; морфологической характеристикой
кристаллов служит отношение с:а. Простые формы:
гексагональные (6-гранные) и дигексагональные
(12-гранные) призмы, бипирамиды, пирамиды, а также
гексагональный трапецоэдр (с 12-ю гранями — по 6
сверху и снизу). Важно отметить отсутствие
ромбоэдра — наиболее характеристической формы
тригональной сингонии; отсутствует и скаленоэдр.
Всего в гексагональной и тригональной сингониях
в сумме насчитывается 16 простых форм.
7) Кубическая (изометрическая,
правильная) сингония (5 классов симметрии) —
самая высокосимметричная, единственная,
относящаяся к высшей категории по уровню
симметрии. Для принадлежащих к ней кристаллов
обязательно наличие четырех
взаимноперпендикулярных осей 3-го порядка
(которые обычно биполярны, но в одном из классов,
отвечающем примитивному типу симметрии,
являются полярными). Наряду с ними в трех классах
(представляющих аксиальный, планальный и
планаксиальный типы симметрии) имеются три
четверных оси (в классе с планальным типом
симметрии они инверсионные). Обычно (за
исключением того же класса) присутствуют 3 или 6
двойных осей. В трех классах из пяти есть
плоскости симметрии (3, 6 или 9) и в двух из них —
центр инверсии.
Система координат — обычная трехосная, со
взаимно-перпендикулярными осями (параллельными
ребрам куба); параметры по всем трем осям равны,
т.е. их отношение имеет вид 1:1:1. Кроме того, углы
между соответствующими гранями простых форм
кубической сингонии постоянны для всех
кристаллов, к ней относящихся, и не могут служить
диагностическими или отличительными признаками
минералов. Таким образом, кристаллы кубической
сингонии лишены какой-либо специфической
морфологической характеристики; их принято
характеризовать величиной параметра кубической
элементарной ячейки (т.е. длиной ребра
элементарного куба) а0, очень легко и просто
определяемого непосредственно по
рентгенограмме порошка минерала. Зато простые
формы кубической сингонии весьма специфичны: ни
одна из них в других сингониях не встречается.
Всего в этой сингонии 15 простых форм (все — закрытые):
тетраэдр (4-гранник); куб, или гексаэдр (6-гранник);
октаэдр (8-гранник); пять 12-гранников —
ромбододекаэдр, пентагон-додекаэдр,
тригонтритетраэдр (триакис-тетраэдр),
тетрагон-тритетраэдр (дельтоэдр),
пентагон-тритетраэдр; шесть 24-гранников —
тригон-триоктаэдр (триакис-октаэдр),
тетрагон-триоктаэдр (икоситетраэдр),
пентагон-триоктаэдр (гироэдр), тетрагексаэдр,
гексатетраэдр, дидодекаэдр; и единственный
48-гранник — гексоктаэдр.
Простые формы низжих сингоний изображены на
рис. 2 А8, средних сингоний — на рис. 2 А.9 и
кубической сингонии на рис. 2 А.10.
Рис. 2 А.8. Простые формы низших сингоний:
1 — моноэдр; 2 — пинакоид; 3 — диэдр; 4 —
ромбическая призма; 5 — ромбический тетраэдр; 6 —
ромбическая пирамида; 7 — ромбическая
бипирамида;
Рис. 2 А.9. Простые формы средних
сингоний: пирамиды: 1 — тригональная; 2 —
дитригональная; 3 — тетрагональная; 4 —
дитетрагональная; 5 — гексагональная; 6 —
дигексагональная; бипирамиды: 7 — тригональная; 8
— дитригональная; 9 — тетрагональная; 10 —
дитетрагональная; 11 — гексагональная; 12 —
дигексагональная; призмы: 13 — тригональная; 14 —
дитригональная; 15 — тетрагональная; 16 —
дитетрагональная; 17 — гексагональная; 18 —
дигексагональная; 19 — тригональный трапецоэдр; 20
— тетрагональный тетраэдр; 21 — тетрагональный
трапецоэдр; 22 — ромбоэдр; 23 — гексагональный
трапецоэдр; 24 — тетрагональный скаленоэдр; 25 —
тригональный скаленоэдр. Вверху изображены
формы оснований и сечений, перпендикулярных
главной сии: а — тригон; б — дитригон; в —
тетрагон; г — дитетрагон; д — гексагон; е —
дигексагон.
Рис. 2 А.10. Простые формы кубической
сингонии: 1 — тетраэдр; 2 — тригон-тритраэдер; 3 —
тетрагон-тритетраэдр; 4 — пентагон-тритетраэдр; 5
— гексатетраэдр; 6 — октаэдр; 7 —
тригон-триоктаэдр; 8 — тетрагон-триоктаэдр; 9 —
пентагон-триоктаэдр; 10 — гексоктаэдр; 11 —
гексаэдр; 12 — тетрагексаэдр; 13 — ромбододекаэдр;
14 — пентагон-додекаэдр; 15 — дидодекаэдр.
Несколько дополним и расширим характеристику
классов симметрии и простых форм. В каждой
сингонии один из входящих в нее классов обладает максимальной
(для данной сингонии) симметрией, т.е. наибольшим
числом элементов симметрии, и носит название нормального,
или голоэдрического. К нему принадлежит
самая богатая гранями в данной сингонии простая
форма, которая называется полногранной и
считается общей формой голоэдрического класса —
голоэдром.
В триклинной сингонии голоэдрический
(пинакоидальный) класс относится к центральному
типу симметрии, во всех остальных сингониях
голоэдрическими являются классы планаксиального
типа симметрии. Распределение классов (видов)
симметрии по ступеням (типам) симметрии в рамках
каждой сингонии представлено в таблице 2А.2.
Таблица 2А.2. Распределение видов
(классов) симметрии по ступеням (типам) симметрии
для всех сингоний.
Из голоэдрического класса выводятся остальные
классы соответствующей сингонии путем
последовательного (ступенчатого) снижения
симметрии, что достигается сокращением числа
граней полногранных форм сначала вдвое, а затем
вчетверо (т.е. еще раз вдвое). Такого рода операции
называются мероэдрическими (от греческого
«мерос» — часть), а выводимые с их помощью
простые формы с уменьшенным числом граней (в
зависимости от ступени сокращения) — гемиэдрическими
(первая ступень: формы с половинным числом
граней) и тетартоэдрическими (вторая ступень:
формы с четвертью исходного числа граней). В
гексагональной и тригональной сингониях
возможна (в единственном случае) и третья ступень
сокращения числа граней, приводящая к огдоэдрии
— уменьшению количества граней в 8 раз; при этом
возникает класс примитивной симметрии с одним
элементом симметрии — тройной полярной осью.
Мероэдрические операции в низших, средних и
кубической сингониях осуществляются разными
способами; но приводят они в конечном счете к
классам (и соответствующим простым формам)
аксиальной, планальной, центральной и, наконец
сингонии примитивная симметрия достигается уже
при гемиэдрическом превращении пинакоидов в
моноэдры).
В ходе мероэдрических операций возможны
различные варианты. Так, при переходе к классам аксиальной
симметрии (в кристаллах присутствуют только
простые поворотные оси и нет центра инверсии) мы
сталкиваемся с явлением энантиоморфизма
(греческое «энантиос» — обратный,
противоположный): возникают пары зеркально
равных фигур, относящихся друг к другу как
зеркальные изображения (подобно правой и левой
рукам). У таких энантиоморфных кристаллов
различают правую и левую разновидности, которые
могут быть совмещены путем отражения в
зеркальной плоскости (но не путем поворота
вокруг оси симметрии).
Правые и левые разновидности известны,
например, для таких простых форм, как сфеноид
(осевой диэдр) в моноклинной и ромбический тетраэдр
(бисфеноид) — в ромбической сингонии,
тетрагональный, тригональный и гексагональный
трапецоэдры, тригональная бипирамида,
дитригональная пирамида, ромбоэдр — в
средних сингониях и, наконец, пентагон-триоктаэдр
(гироэдр) — в кубической сингонии.
Достаточно присутствия на кристаллах
минералов, принадлежащих к гемиэдрическим
классам с аксиальной симметрией, граней
перечисленных выше простых форм, чтобы по ним
можно было различить правую и левую
энантиоморфные разновидности; так, например,
правый и левый кварц (рис. 2 А.11)
различаются по положению граней энантиоморфных
фигур — тригонального трапецоэдра и/или
тригональной бипирамиды (если, конечно, они
наблюдаются на кристаллах, что бывает далеко не
всегда). Гемиэдрическое преобразование вообще
может затронуть только общую форму голоэдрического
класса (голоэдр), не касаясь других простых форм;
но для возникновения пары энантиоморфных
разновидностей и этого достаточно (например, из
ромбической бипирамиды получаются два
бисфеноида — правый и левый ромбические
тетраэдры).
Рис. 2 А.11. Правый (а) и левый (б) кристаллы кварца.
Простые формы: (1011) и (0111 ) — ромбоэдры 1-го и 2-го
рода; (0111 ) — тригональная бипирамида (правая и
левая); (1121) — тригональный трапецоэдр (правый и
левый)
Если же мероэдрические операции приводят к
классам планальной или центральной симметрии, то
вместо энантиоморфных разновидностей
гемиэдрических простых форм возникают конгруэнтные
(совместимые при вращении) пары; они
совмещаются путем поворота около двойной оси
симметрии. Эти пары различаются по ориентировке
относительно координатных осей: одна форма — та,
единичная грань которой пересекает только
положительные направления осей, — считается положительной
и обозначается знаком «+», а другая, у которой
единичная грань пересекает отрицательное
направление хотя бы одной из осей, — отрицательной
(со знаком «-«).
Как и в геометрической системе координат,
положительный конец X (а) обращен вперед (на
зрителя), отрицательный назад; положительное
направление оси Y (b) — вправо, отрицательное
— влево, а оси Z (с): положительное — вверх,
отрицательное — вниз. Положительным
является верхний правый октант трехосной
системы координат.
Таких положительных и отрицательных форм в
гемиэдрических и тетраэдрических классах очень
много. На кристаллах они могут присутствовать одновременно
и, что интересно, в некоторых случаях (хотя отнюдь
не всегда) их можно различить по внешнему виду.
Например, у минерала халькопирита
CuFeS2 грани положительного тетрагонального
тетраэдра (бисфеноида) покрыты штриховкой или
матовые, а грани отрицательного — гладкие,
блестящие. Положительный тетраэдр кубического
минерала сфалерита ZnS визуально
отличается от отрицательного различной
структурой граней (более четкие бугорки роста на
гранях положительного тетраэдра), фигурами
травления (обычно отсутствующими на гранях
отрицательного тетраэдра), а также частым
закономерным нарастанием халькопирита только на
грани положительного тетраэдра сфалерита.
В гемиэдрических классах планальной
симметрии ромбической и средних сингонии, где в
ацентричньгх кристаллах присутствуют только
полярные оси и проходящие через них плоскости
симметрии, в результате одной из мероэдрических
операций, состоящей в сокращении числа граней
вдвое путем ликвидации верхней или нижней частей
голоэдра, с преобразованием бипирамид в пирамиды,
возникают гемиэдрические формы — верхняя и
нижняя пирамиды, причем каждая из них может быть
положительной и отрицательной.
Несовпадение огранения этих пирамид на обоих
концах одного и того же кристалла может служить
ярким выражением гемиморфизма, о котором
упоминалось выше и который проявляется только в
кристаллах гемиэдрических классов. Помимо
тригональных турмалина и кварца, хорошим примером тут может
служить ромбический минерал гемиморфит (каламин) Zn4Si2O7(OH)2
• H2O; в самом его названии заключено
указание на гемиморфный облик кристаллов.
Характеризуя простые формы средних
сингоний, нужно еще упомянуть, что на кристаллах,
к ним относящихся, могут появляться грани призм,
пирамид, бипирамид, ромбоэдров,
тетрагональных тетраэдров 1-го, 2-го и 3-го
рода. Одноименные простые формы разного рода
различаются только по ориентировке относительно
кристаллографических осей (т.е. по символам
граней), а по внешнему виду обычно неотличимы (см.
рис. 2 А.11). Среди них (кроме призм) могут
встречаться положительные и отрицательные,
а также энантиоморфные разновидности.
Познакомиться с изображениями и описаниями других объектов природы России и сопредельных стран —
минералов и горных пород,
деревьев, кустарников, кустарничков и лиан,
травянистых растений (цветов),
ягод и других дикорастущих сочных плодов,
водных беспозвоночных животных,
пресноводных и проходных рыб,
птиц, птичьих гнезд, их яиц и голосов, а также
В разделе Природа в фотографиях
размещены также тысячи научных фотографий грибов, лишайников, растений и
животных России и стран бывшего СССР, а в разделе
Природные ландшафты мира — фотографии природы
Австралии и Новой Зеландии и
В разделе Методические материалы
Вы также можете познакомиться с описаниями разработанных экологическим центром «Экосистема»
печатных определителей растений средней полосы,
карманных определителей объектов природы средней полосы,
определительных таблиц «Грибы, растения и животные России»,
компьютерных (электронных) определителей природных объектов,
полевых определителей для смартфонов и планшетов,
методических пособий по организации проектной деятельности школьников и полевых экологических исследований
(включая книгу для педагогов «Как организовать полевой экологический практикум»), а также
учебно-методических
фильмов по организации проектной исследовательской деятельности школьников в природе.
Приобрести все эти материалы можно в нашем некоммерческом Интернет-магазине.
Там же можно приобрести mp3-диски Голоса птиц средней полосы России и
Голоса птиц России, ч.1: Европейская часть, Урал, Сибирь.
Простые формы средней категории
К средней
категории относятся тригональная,
тетрагональная и гексагональная
сингонии. Эта группа объединяет кристаллы,
обладающие только одной осью симметрии
порядка выше второго.
В
сингониях средней категории вероятны
моноэдры, пинакоиды, призмы разного
рода, различные пирамиды и дипирамиды,
трапецоэдры, ромбоэдры, скаленоэдры,
тетрагональные тетраэдры (рис. 13).
Рис.13.
Простые формы средней категории сингоний:
1–6
пирамиды: 1
– тригональная, 2 – дитригональная, 3 –
тетрагональная, 4 – дитетрагональная,
5 – гексагональная, 6 – дигексагональная;
7–12
дипирамиды: 7
– тригональная, 8 – дитригональная, 9 –
тетрагональная, 10 – дитетрагональная,
11 – гексагональная, 12 – дигексагональная;
13–25
призмы: 13
– тригональная, 14 – дитригональная, 15
– тетрагональная, 16 – дитетрагональная,
17 – гексагональная, 18 – дигексагональная,
19 – тригональный трапецоэдр, 20 –
тетраэдр, 21 – тетрагональный трапецоэдр,
22 – ромбоэдр, 23 – гексагональный
трапецоэдр, 24 – тетрагональный скаленоэдр,
25 – тригональный скаленоэдр
Тригональная
сингония определяется
тремя базовыми векторами одинаковой
длины, с равными, но не прямыми, углами
между
векторами
(рис.14).
Рис.
14. Элементарная ячейка кристаллов
тригональной сингонии
В
тригональной сингонии высшее сочетание
элементов симметрии – L33L23PC.
Типичная форма кристаллов –
ромбоэдры (кальцит (а),
доломит (б),
магнезит (в),
гематит (г)
и др.). К этой же сингонии принадлежат
также корунд (д)
и кварц (е)
(рис. 15). Вершины кристаллов кварца
представляют собой комбинацию двух
ромбоэдров.
В
элементарной ячейке кристаллов
тетрагональной сингонии два из трех
базовых векторов имеют одинаковую
длину, а третий отличается от них.
Все
три вектора перпендикулярны друг к
другу. Тетрагональная или квадратная
сингония отличается присутствием в
кристаллах одной оси четвертого порядка.
В сечении, перпендикулярном к этой оси,
обычно наблюдается форма квадрата или
восьмиугольника (рис. 16). Высшим сочетанием
элементов симметрии в этой сингонии
может быть L44L25PC.
Рис.
15. Кальцит (а),
доломит (б),
магнезит (в),
гематит (г),
Рис.16.
Кристаллы тетрагональной сингонии
Эта
сингония присуща халькопириту (а)
и рутилу (б)
(рис. 17).
Рис.
17. Халькопирит (а),
рутил (б)
Гексагональная
сингония –
кристаллографическая
сингония, для которой характерно
следующее соотношение между углами (α,
β,
γ)
и рёбрами (а, b, с)
элементарной ячейки кристалла: а = b ≠ с,
α = β = 90º,
γ = 120º.
Её элементарная ячейка строится на трёх
базовых векторах (трансляциях),
два из которых равны и образуют угол
120°, а третий им перпендикулярен. В
гексагональной сингонии три элементарных
ячейки образуют
правильную призму на шестигранном
основании (рис. 18).
Рис.
18. Гексагональная сингония
Гексагональная
сингония характеризуется наличием
одной оси симметрии шестого порядка
L6.
Для кристаллов гексагональной сингонии
характерна форма шестигранных призм,
грани которых параллельны оси шестого
порядка L6
(β–кварц
(а),
апатит (б),
нефелин (в),
рис. 19). Кристаллы гексагональной сингонии
образуют призмы, пирамиды, дипирамиды
и др. Высшее сочетание элементов симметрии
в ней L66L27PC.
Рис.
19. β–кварц
(а),
апатит (б),
нефелин (в)
Ромбоэдрическая решётчатая система
Ромбоэдрическая решётчатая система имеет ромбоэдрические ячейки с 3 парами уникальных ромбических граней:
Ромбоэдр с помеченными вершинами
Объём ромбоэдра, длина стороны которого равна a является упрощением формулы объёма параллелепипеда и задаётся формулой
Так как площадь основания задаётся формулой , высота ромбоэдра h задаётся формулой (объём, делённый на площадь основания)
Например, для единичного ромбоэдра с острым углом 72 градуса, три внутренних диагонали (BG, CF и DE) равны 1.543, а длинная диагональ (AH) равна 2.203. Объём этого ромбоэдра равен 0.8789, а высота равна 0.9242.
Простые формы низшей категории сингоний
В
низшей категории насчитывается 7 простых
форм – из них 5 открытых и 2 замкнутые –
тетраэдр и дипирамида ромбическая
(рис. 7).
Рис.
7.
Простые формы кристаллов низшей
категории:
1
–
моноэдр; 2 –
пинакоид; 3 –
диэдр; 4 –
ромбическая призма;
5
–
ромбический тетраэдр; 6 –
ромбическая
пирамида;
7
– ромбическая дипирамида
Наименее
симметричны кристаллы триклинной
сингонии. У них из всех возможных
элементов симметрии обычно наблюдается
только центр симметрии, но иногда и он
отсутствует. Элементарная
ячейка кристаллов строится на трёх
базовых векторах (трансляциях)
разной длины, все углы между которыми
не являются прямыми
(рис. 8).
Этот
вид сингонии свойственен альбиту (а),
микроклину (б)
(рис. 9) и др.
К
моноклинной сингонии относятся кристаллы,
которые имеют либо одну плоскость
симметрии, либо одну ось второго порядка,
либо и ту и другую вместе в сочетании с
центром симметрии. Элементарная ячейка
кристаллов моноклинной
сингонии строится на трёх векторах a, b
и c,
имеющих разную длину, с двумя прямыми и
одним непрямым углами между ними (рис.
10).
Рис.8.
Элементарная
ячейка кристаллов
триклинной сингонии
а
б
Рис.
9. Альбит (а),
микроклин (б)
Рис.
10.
Элементарная ячейка кристаллов
моноклинной
сингонии
Этот
вид сингонии свойственен ортоклазу
(а),
гипсу (б),
мусковиту (в)
(рис. 11), некоторым амфиболам.
Рис.
11. Ортоклаз (а),
гипс (б),
мусковит (в)
Ромбической
сингонией обладают кристаллы с одной
или тремя осями второго порядка и двумя
или тремя плоскостями симметрии (L22P
или 3L23PC),
а также кристаллы с тремя осями второго
порядка без плоскости симметрии (3L2).
В поперечном сечении они имеют форму
ромба. Элементарная ячейка
определяется
тремя базовыми векторами (трансляциями),
которые перпендикулярны друг
к другу, но не равны между собой. Часто
используется другое название
– орторомбическая
сингония.
Этот
вид сингонии присущ оливину (а),
сере (б),
александриту (в)
(рис. 12) и др.
Рис.
12. Оливин (а),
сера (б), александрит (в)
