СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Автор Николай Петрович На чтение 50 мин Опубликовано 04.12.2023

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке z_0
определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
. Очевидно, имеют место три возможности:

а) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
не существует;

б) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
существует и равен конечному числу;

в) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная
стремится к $z_0~(z\to z_0)$
по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$
.

Будем рассматривать $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
, где z_0
— особая точка.

Исследовать существование $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z},~ \lim\limits_{z\to0} \exp \frac{1}{z^2}$
в случаях a) $z=x\in\mathbb{R}$
; б) $z\in\mathbb{C}$
.

a) В действительной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$
не существует, так как не равны односторонние пределы $\lim\limits_{x\to0+0}\exp \frac{1}{x}=\infty,~ \lim\limits_{x\to0-0}\exp \frac{1}{x}=0$
, но существует предел второй функции: $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
.

б) В комплексной области, очевидно, $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$
не существует, так как он не существует в частном случае z=x
.

Но для второй функции полученного выше результата $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. $z=iy,~ y\to0\colon$

$\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{(iy)^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{-1}{y^2}=0.$

Сравнивая этот результат с полученным выше $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
, заключаем, что в комплексной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}$
не существует.

Аналогично можно показать, что не существует $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}$
, хотя $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}=\infty$
для случаев z=x
и z=iy
(по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка $z_0\in\mathbb{C}$
является изолированной особой точкой функции f(z)
, если существует число r>0
, такое, что в круге |z-z_0|<r
эта точка- единственная особая точка f(z)
, а в проколотой окрестности, т.е. в 0<|z-z_0|<r
функция f(z)
аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка $z_0=\infty$
является изолированной особой точкой функции f(z)
, если существует число R>0
, такое, что в области |z|>R
эта точка — единственная особая точка f(z)
, а в кольце $R<|z|<\infty$
функция f(z)
— аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки z=0
функций:

а) $\frac{\sin z}{z}$
; б) $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$
; в) $\exp \frac{1}{z}$
.

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке z_0
соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку $z=\infty$
, например, для функций $\exp \frac{1}{z},~ z^2+\frac{1}{z}$
и e^z
.

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка $z_0\in \overline{C}$
функции f(z)
называется:

– устранимой особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
существует и конечен (4.1);

– полюсом, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$
(4.2);

– существенно особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
не существует (4.3).

Если в случае устранимой особой точки z_0
положить $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
, то f(z)
будет аналитической в $O_{\delta}(z_0)$
и точку z_0
можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке z_0
устранена особенность.

Определить тип особой точки z=0
для функций $\frac{\sin z}{z};~~\frac{\sin z}{z^n},~n>1;~~\exp \frac{1}{z},~~ \exp \frac{1}{z^2}$
.

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что z=0
является устранимой особой точкой функции $\frac{\sin z}{z}$
; полюсом для $\frac{\sin z}{z^n}$
при любом n>1
; существенно особой точкой для функций $\exp \frac{1}{z}$
и $\exp \frac{1}{z^2}$
.

Определить тип особой точки $z=\infty$
для функций $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$
и f_2(z)=e^z
.

Рассмотрим $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$
. Для удобства введем обозначение $\frac{1}{z}=\xi$
. Для функции f_1(z)
получим $\lim\limits_{z\to\infty}f_1(z)= \lim\limits_{\xi\to0} \frac{\sin\xi}{\xi^n}=\infty~(n>1)$
(см. пример 4.2), поэтому $z=\infty$
является полюсом функции $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$
. Для функции f_2(z)=e^z
точка $z=\infty$
является существенно особой, так как $\lim\limits_{z\to\infty}e^z= \lim\limits_{\xi\to0}\exp \frac{1}{\xi}$
не существует (см. пример 4.1).

Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=\frac{\sin z}{z^4+1}$
б) $f_2(z)= \frac{\sin z}{\sin z^{-1}}$
и определить их тип.

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции f_1(z)
— функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения z^4+1=0
. Это четыре точки $z_k=\exp \frac{(\pi+2k\pi)i}{4},~k=0,1,2,3$
, или в алгебраической форме: $z_{1,2}= \frac{\pm1+i}{\sqrt{2}},~ z_{3,4}= \frac{\pm1-i}{\sqrt{2}}$
. Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса R=1
с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= \overline{z}_1$
.

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_1(z)=\infty$
для любой точки z_k,~k=1,2,3,4
.

б) Особыми точками функции f_2(z)
являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $\frac{1}{z_k}=k\pi$
или $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
, а также z=0
— особая точка знаменателя. Точки z_k
являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_2(z)=\infty$
. Точка z=0
— неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности |z|<r
(
— любое число, r>0
), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
. Точку z=0
в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=\frac{1}{k\pi}$
, так как $\lim\limits_{k\to\infty}z_k=0$
.

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого).
Если r_0
— существенно особая точка функции f(z)
, то для любого $A\in \overline{\mathbb{C}}$
существует последовательность $\{z_n\}$
, сходящаяся к точке z_0
, такая, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=A$
.

Теорема 4.2 (Пикара).
В любой окрестности существенно особой точки функция f(z)
принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) $f_1(z)=\exp \frac{1}{z},~ f_2(z)= \exp \frac{1}{z^2},~ z_0=0$
; б) $f_3(z)=e^z,~ z_0=\infty$
.

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки z_0=0
и $z_0=\infty$
являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем A=0
и $A=\infty$
. Используя результат примера 4.1, имеем $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=0$
, если z=x<0
, и $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=\infty$
, если z=x>0
, то есть $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$
для последовательности z_n=x_n
, такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и x_n<0
, и $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$
для последовательности z_n=x_n
, такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и x_n>0
.

Аналогично исследуем функцию f_2(z)
. Для числа A=0
выбираем z_n=iy_n
, где $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0$
и тогда $\lim\limits_{n\to\infty}f_2(z_n)=0$
, а для $A=\infty$
выбираем z_n= x_n
, где $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и тогда $\lim\limits_{n\to\infty} f_2(z_n)=\infty$
.

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $\exp \frac{1}{z}=A,~ \exp \frac{1}{z^2}=A$
, которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого $A\in \mathbb{C},~ A\ne0$
.

Например, для функции $f_1(z)= \exp\frac{1}{z}$
имеем $\exp\frac{1}{z}=A$
. Отсюда получаем

В частности, функция $\exp \frac{1}{z}$
в любой окрестности точки z_0=0
принимает значение A=1
бесконечное множество раз: в точках $z_k=\frac{-i}{2k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
(рис. 4.1).

Рис. 4.1.

б) Точка $z=\infty$
является существенно особой точкой функции e^z
(пример 4.4). Обозначив $z=\frac{1}{\xi}$
, можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $\exp\frac{1}{\xi}$
и точки $\xi=0$
.

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если z_0
— устранимая особая точка, то ряд Лорана функции f(z)
имеет вид

$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r$

для z_0
— конечной точки $z_0\in\mathbb{C}$
, и (для $z_0=\infty$
)

$f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<|z|<\infty.$

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции f(z)
в случае z_0
полюса имеет вид

$f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty} c_k(z-z_0)^k,\quad 0<|z-z_0|<r,$

если $z_0\in\mathbb{C}$
, и (если $z_0=\infty$
)

$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{n}c_kz^k,\quad R<|z|<\infty,$

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции f(z)
в случае z_0
— существенно особой точки имеет вид

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r,$

если $z_0\in\mathbb{C}$
, и (если $z_0=\infty$
)

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n,\quad R<|z|<\infty.$

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка $z_0\in\mathbb{C}$
является полюсом порядка
$(\Pi(n))$
функции f(z)
, если в разложении (4.6) $c_{-n}\ne0,~ c_k=0$
при k<-n
. Точка $z_0=\infty$
является полюсом порядка
$(\Pi(n))$
функции f(z)
, если в разложении (4.7) $c_n\ne0,~ c_k=0$
при k>n
.

Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$
в виде $\sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$
, или $\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$
, или, подробнее:

$\frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ \ldots+ \frac{c_{-1}}{z-z_0},\quad c_{-n}\ne0\,;$

б) в случае $z_0=\infty$
в виде $\sum_{k=1}^{n}c_nz^k$
, или $\sum_{k=-n}^{-1} \frac{c_{-k}}{z^k}$
(см. (4.7)), или, подробнее:

$c_n\cdot z^n+ c_{n-1}\cdot z^{n-1}+\ldots+c_1\cdot z,\quad c_n\ne0.$

Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$
в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$
, или $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$
(см.(4.8)), или, подробнее:

$\frac{c_{-1}}{z-z_0}+ \frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ \ldots+ \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\ldots;$

б) в случае $z_0=\infty$
в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{c_{-n}}{z^n}$
или $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$
(см.(4.9)), или, подробнее:

$c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots+c_n\cdot z^n+\ldots$

Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z-3}$
; б) $f_2(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$
.

Особыми точками функций являются $z_1=-1,~z_2=3,~z_3=\infty$
. Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) $f_1(z)= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$
. В главной части разложения — один член ряда: $\frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}$
, здесь $c_{-1}=\frac{-1}{4}\ne0$
, все c_n=0
для n<-1
. Следовательно, в точке z=-1
— полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции f_1(z)
.

Аналогично из разложения $f_1(z)= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$
получим такой же результат: точка z=3
— простой полюс функции f_1(z)
.

Разложение $f_1(z)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},~ |z|>3$
. Функции в окрестности $z=\infty$
не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка $z=\infty$
— устранимая особая точка функции f_1(z)
.

б) Из разложения $f_2(z)= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$
следует, что z=3
— простой полюс функции f_2(z)
.

Из разложения $f_2(z)= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{(z+1)^2}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<|z+1|<4$
, где $c_{-2}=\frac{-1}{4}\ne0$
и все c_n=0
для n<-2
, получаем, что z=-1
— полюс второго порядка функции f_2(z)
.

Разложение f_2(z)
в окрестности $z=\infty$
и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому $z=\infty$
— устранимая особая точка функции f_2(z)
.

Определить тип конечных особых точек для функций:

а) $\exp \frac{1}{z-a},~ \sin \frac{1}{z-a},~ \cos \frac{1}{z-a}$
; б) $\frac{\sin z}{z^n},~ \frac{1-\cos z}{z^3}$
.

а) Используем разложения функций по степеням $(z-a)\colon$

$\begin{gathered}\exp \frac{1}{z-a}= 1+\frac{1}{z-a}+ \frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots;\qquad \sin\frac{1}{z-a}= \frac{1}{z-a}- \frac{1}{3!(z-a)^3}+\ldots;\\ \cos\frac{1}{z-a}= 1-\frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots \end{gathered}$

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка z=a
является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1).

б) Запишем разложения функций по степеням $z\colon$

$\begin{aligned}\frac{\sin z}{z^n}&= \frac{1}{z^n}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{z^{n-3}\cdot3!}+\ldots;\\ \frac{1-\cos z}{z^3}&= \frac{1}{z^3}\! \left(1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\ldots\right)\right)= \frac{1}{2!z}-\frac{z}{4!}+\ldots \end{aligned}$

Для первой функции при n=1
в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка z=0
для $\frac{\sin z}{z}$
является устранимой особой точкой.

При n>1
главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка z=0
для $\frac{\sin z}{z^n}$
является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при n>1
в разложении старшая отрицательная степень равна (n-1)
, то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что z=0
для $\frac{\sin z}{z^n}$
при n>1
является полюсом порядка (n-1)
. Рассуждая аналогично, получаем, что z=0
является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$
.

Сравнивая разложения функций по степеням
в окрестности z_0=0
(формулы (4.4),(4.6),(4.8) при z_0=0
) и $z=\infty$
(формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Чтобы $z=\infty$
была устранимой особой точкой функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была устранимой (или не особой) для $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Чтобы $z=\infty$
была полюсом порядка
функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была полюсом порядка
функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Чтобы $z=\infty$
была существенно особой точкой функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была существенно особой точкой функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Как и в случае конечной особой точки z_0
, в которой функция не определена, но $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$
(см. утверждение 3.5) , так и для z=0
в случае $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$
, устранимую особую точку $z=\infty$
можно считать нулем функции f(z)
. Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции $\varphi(\xi)$
в точке $\xi=0$
.

Исследовать точку $z=\infty$
для функций: a) $f(z)=\frac{1}{z^2(z-2)}$
; б) $f(z)=\frac{z^2+1}{3z^2-2}$
; в) $f(z)= z\sin\frac{1}{z}$
.

Правила определения порядка полюса

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

Пусть $z_0~(z_0\in \mathbb{C})$
— полюс порядка $n~(\Pi(n))$
функции f(z)
. Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

где $\varphi(z)$
— функция, аналитическая в точке z_0
, как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и $\varphi(z_0)=c_{-n}\ne0$
.

Далее рассмотрим функцию $F(z)=\frac{1}{f(z)}$
, то есть $F(z)=\frac{(z-z_0)^n}{\varphi(z)}$
или $F(z)=(z-z_0)^n \varphi_1(z)$
, где $\varphi_1(z)$
— аналитическая в точке z_0
и $\varphi_1(z_0)\ne0$
. Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что z_0
является нулем порядка
функции F(z)
. Можно доказать и обратное утверждение.

А именно, если функция представлена в виде $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$
, где $\varphi(z)$
— функция, аналитическая в точке z_0
, и $\varphi(z_0)\ne0$
, то z_0
— полюс порядка
функции f(z)
, а также, если z_0
— нуль порядка
функции F(z)
, то для функции $f(z)=\frac{1}{F(z)}$
эта точка является полюсом порядка
.

Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
, где точка z_0
является нулем порядка
для функции f_1(z)
и нулем порядка
для функции f_2(z)
, то есть $f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}$
. При m>k
получаем $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$
, из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что z_0
— полюс порядка (m-k)
. Заметим, что при m=k
точка z_0
— устранимая особая точка; случай m<k
рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Для того чтобы точка z_0
была полюсом порядка
функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n},\quad \varphi(z_0)\ne0.$

Для того чтобы точка z_0
была полюсом порядка
функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка
функции $\frac{1}{f(z)}$
(связь нулей с полюсами).

Если точка z_0
является нулем порядка
функции f_1(z)
и нулем порядка
функции f_2(z)~(m>k)
, то она — полюс порядка (m-k)
для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
.

Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Так как конечными особыми точками рациональной дроби $\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$
являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_m(z)}$
, где $\varphi(z)$
— аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки z_0
— нуля порядка k~[0(k)]
знаменателя:

а) z_0
— полюс порядка
функции f(z)
, если $\varphi(z_0)\ne0$
;

б) z_0
— полюс порядка (k-n)
, если z_0
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
и k>n
;

в) z_0
— устранимая особая точка функции f(z)
, если z_0
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
;

г) z_0
— нуль порядка (n-k)
функции f(z)
, если z_0
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
и n>k
; при этом полагаем $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$
.

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$
; б) $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}$
.

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$
, далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции z_1=1,~ z_2=-2
. Для точки z_2=-2
можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z+2)^2}$
, где $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$
и $\varphi(-2)\ne0$
, получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки z_1=1
формула (4.14) не применима, так как из $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$
имеем <img alt="\varphi z=0 =0″ src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
. Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

Получаем, что z=1
— полюс второго порядка для f(z)
.

б) Особые точки функции — корни уравнения z^3+8i=0
, то есть $z=\sqrt[\LARGE{3}]{-8i}$
или $z_k= \exp \left[\left(-\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3}\right)\!i\right],~ k=0,1,2$
. Все эти точки: $z_{1,3}=2\! \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\!,~ z_2=2i$
— простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции f(z)
.

Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$
; б) $f(z)= \frac{z-2i}{z^3+8i}$
.

Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

а) $f(z)=\frac{\cos\pi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$
; б) $f(z)=\frac{\sin\pi z}{z^4-1}$
.

Конечными особыми точками этих функций вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$
, где $\varphi(z)$
— аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции: $z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$
. Точки z_3
и z_4
— простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$
— точка z_3
или z_4
. В точках $z=\pm\frac{1}{2}$
числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде $\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$
— точка z_1
или z_2
. Тогда для функции f(z)
получаем

$f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$

Так как $\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$
для $z_0=z_1=\frac{1}{2}$
или $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$
, то эти точки — устранимые особые точки функции f(z)
.

б) Особые точки функции: $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$
. Точки z_3=i
и z_4=-i
— простые полюсы.

Для точек z_1=1
и z_2=-1
проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки f(z)
.

Определить тип особой точки z=0
для следующих функций: а) $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$
; б) $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$
.

В точке z=0
и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4.

а) Из разложений по степеням
функций

$\begin{gathered} e^z-1-z&= \left(1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots\right)-1-z= \frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots\\ e^{z^5}-1&= \left(1+z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots\right)-1= z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots \end{gathered}$

находим, что z=0
— нуль второго порядка для числителя <img alt="(0 0(2) )» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
и нуль пятого порядка для знаменателя <img alt="(0 f(z) )» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
. Следовательно, z=0
— полюс третьего порядка для функции f(z)
.

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням
, находим, что z=0
является <img alt="0 0(2) » src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAWBAMAAAC4QDh0AAAAHlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABaVcReAAAACXRSTlMAKOhHf8OoEWHamHgWAAAA5UlEQVQY03WQvQ6CMBSFT0FAty7GsOHPAzS66NYYHNiqiTFuDurMIAOb6RP4O/C23lvAwcSbwG2/ck8PB/hbHenavN4N+HWkJwcCxZvpaQ34BmI70oiGRMQYyxyeQiHDF3AmFCYoNSxgdVTliEnTM+gd+DAz2Ct4GigJJZgAF8koPAALQjfx5IvEg8wkDfIdCum6zq1Fd0aWpH1C8RcJ9sSoR8i4wb7sSjfofLG82CGQTp5mlpJNFO9NRV8YFk3H7j+yqiITbBViRgnYNqRYtitPNYvVN0Hf1N2F01Rat+D6L+jf+gBlGybr5KyOcQAAAABJRU5ErkJggg==»>
для числителя и <img alt="0

» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAWBAMAAAC4QDh0AAAAIVBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAt9G3DAAAACnRSTlMAAUcn5nTCmhGxQqnF/AAAAPhJREFUGNN1UbFSwkAU3EsUxOoCBGdSMY5YUIUZCicV4ECdIjO2QUf+AG1TU6WS1mCXr3T3AhQyXrHvdue9d+/tAf+ediw0I0fMk3ALX2EwFD58vQHdNfqrzWZ980zFXyArcDVEVNd1iU81mWGXIrN4nATTAgl79nNEJfYAO7+SpsCO0twsYSxC0k4JjClV/kEPTS1wPXfSbeU56Z0ThdUxy/vR29K7lJKz1CYzkiJKuSsckEGFHc3laiJlhTOANVnMIdjim3CXE7KXBbRHkDDBjQr/vrBayPTkTxKf7OLaJtDl4+yglzfRmdMcu21iK/1rNEYXP2AEv1B4LJJX7XONAAAAAElFTkSuQmCC»>
для знаменателя. Следовательно, z=0
-полюс пятого порядка для f(z)
.

Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{e^{2+2i}}{z^4-16}$
; б) $f(z)= \frac{(z+\pi) \sin \frac{\pi z}{2}}{z\sin^2z}$
.

Определить тип особой точки z=0
для следующих функций:

а) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1-\dfrac{z^2}{2}}$
; б) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1-\dfrac{z^2}{2}}$
; в) $f(z)= \frac{\sin z-z}{\cos z-1+\dfrac{z^2}{2}}$
; г) $f(z)= \frac{\sin z+z}{\operatorname{ch}z-1+\dfrac{z^2}{2}}$
.

Точка z=0
является нулем и знаменателя, и числителя для каждой из функций. Определим порядок нуля в каждом случае, используя правило определения порядка нуля (утверждение 3.5), в частности, раскладывая соответствующую функцию по степеням
.

а) Из разложений

$\begin{aligned}\sin z-z&= \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)-z=-\frac{z^3}{3!}+ \frac{z^5}{5!}+\ldots\\ \cos z-1-\frac{z^2}{2}= \left(1-\frac{z^2}{2!}+ \frac{z^4}{4!}-\ldots\right)-1-\frac{z^2}{2}=-z^2+\frac{z^4}{4!}-\ldots \end{aligned}$

находим, что z=0
является <img alt="0

» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
для числителя и <img alt="0
» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAWBAMAAAC4QDh0AAAAHlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABaVcReAAAACXRSTlMAKOhHf8OoEWHamHgWAAAA5UlEQVQY03WQvQ6CMBSFT0FAty7GsOHPAzS66NYYHNiqiTFuDurMIAOb6RP4O/C23lvAwcSbwG2/ck8PB/hbHenavN4N+HWkJwcCxZvpaQ34BmI70oiGRMQYyxyeQiHDF3AmFCYoNSxgdVTliEnTM+gd+DAz2Ct4GigJJZgAF8koPAALQjfx5IvEg8wkDfIdCum6zq1Fd0aWpH1C8RcJ9sSoR8i4wb7sSjfofLG82CGQTp5mlpJNFO9NRV8YFk3H7j+yqiITbBViRgnYNqRYtitPNYvVN0Hf1N2F01Rat+D6L+jf+gBlGybr5KyOcQAAAABJRU5ErkJggg==»>
— для знаменателя, поэтому она — устранимая особая точка. Так как

$\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{z^3\! \left(-\frac{1}{3}+ \frac{z^2}{5!}+ \ldots\right)}{z^2\! \left(-1+\frac{z^2}{4!}-\ldots\right)}=0,$

то, полагая f(0)=0
, можно считать, что z=0
— нуль для f(z)
, причем <img alt="0

» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAWBAMAAAC4QDh0AAAAHlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABaVcReAAAACXRSTlMARgGEHObCqGkpX8TlAAAA2klEQVQY03WQsQrCQAyG/8aquNVB0O1qacFNEMWxg4ubLSKORX2AgqBrlz6Ap0vf1tylei4Gkv/yXQhJgL8WpSbS2Ca0MfFKgA8kgUlGtwsQntjPTPdM/AzLFN0AyeHJ6Z29v8O2Qq1AnkFb7hkXmJX206K4Yswop+MH9Utgwkj7jw/q5BYNtOeQbqsc8rT0cohCRjNGhauKtMw1/2m/48cLddoOobii4Fe9yOweSdM0CvHcLDlMlVkIREoWEusGorT6XtArRO1xxKZr0V71RSSHxtidnqbKiglvjaYqbPqc7/IAAAAASUVORK5CYII=»>
(см. замечания 4.4).

б) Из разложений

находим, что z=0
является <img alt="0

» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAACMAAAAWBAMAAAC4QDh0AAAAG1BMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABp4cHsAAAACHRSTlMAAUTCHnTnotxV7RsAAADqSURBVBjTdZE7qwJBDIXP7ONqOav4KBdFsRzxUS9cQcsFYW1VtF8QsR618Gd7MgELLzdFkvkmnEkywL/WKMSbUTiYlfirocvRzuUwvsyB1pRZxyM5MSZHVAV+5HbigZuI7LEpUVmmS6INNbsO/TpcpluibklMdDBnIPttE/VqChD55M6X54LSQ0BNHxGlJZHhq1olaG2lquVVK6DFYHjPjaA+kSMys9nyUUu72pfIA7Fo7YHoye6lCZjYWzQcs2p31Dni18uFVpEMCqsDZZkOpBbGFrt8Nhg5jWE5avaqMS6/F43Rnx+QbeMNUXAoscdBLbMAAAAASUVORK5CYII=»>
— для знаменателя. Поэтому z=0
— полюс третьего порядка для f(z)
.

в) Как и в предыдущих пунктах, находим, что z=0
является <img alt="0

г) Точка z=0
является простым нулем числителя, нулем второго порядка для знаменателя. Следовательно, это простой полюс для f(z)
.

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Рассмотрим бесконечно удаленную точку. Тип особой точки можно определить, вычисляя $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$
или раскладывая функцию в ряд Лорана (см. примеры 4.4, 4.7). Можно свести задачу к исследованию конечной точки $\xi=0\,\left(\frac{1}{z}= \xi\right)$
(см. утверждение 4.2 и пример 4.9). В двух последних случаях определяется и порядок полюса.

Практически удобное правило определения порядка полюса $z=\infty$
можно получить, используя п. 2 утверждения 4.2 и правила определения порядка полюса в конечной точке (утверждение 4.3). Действительно, пусть $z=\infty-\Pi(n)$
для функции f(z)
, тогда $\xi=0-\Pi(n)$
для $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)$
и можно записать $f\! \left(\frac{1}{\xi}\right)= \frac{F(\xi)}{\xi^n},~ F(\xi)\ne0$
(см. (4.14)). Поэтому, обозначив $f\! \left(\frac{1}{z}\right)= \varphi(z)$
, для f(z)
получим

$f(z)=z^n\cdot \varphi(z),\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne0,\qquad \lim\limits_{z\to\infty} \varphi(z)\ne\infty.$

Представление функции в виде (4.15) является необходимым и достаточным условием полюса порядка
функции f(z)
в точке $z=\infty$
.

Используя формулу (4.15), нетрудно убедиться, что если $z=\infty-\Pi(m)$
для f_1(z)
и $\Pi(k)$
для f_2(z)
, то $z=\infty$
— полюс порядка (m-k)
для функции $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
.

Определить тип особой точки $z=\infty$
для функций: а) f(z)= z^2(z-2)
; б) $f(z)=\frac{z^5+z^2+1}{z^3-2z}$
.

Так как

в обоих случаях, то

для данных функций — полюс. Определим порядок полюса. $z=\pm\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$ а) Точка

является полюсом третьего порядка, в чем можно убедиться любым из следующих способов. z_1=1
<img alt="(0

)» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»> Разложение функции по степеням

имеет вид

, все

, и по определению (см. формулы (4.7), (4.11)) заключаем, что

Обозначим $f(z)=\frac{\sin\pi z}{z^4-1}$
, получим функцию

, для которой

. Поэтому, согласно п. 2 утверждения 4.2, точка

для

. $f(z)=\frac{\cos\pi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$

Запишем функцию в виде

и, так как функция

— удовлетворяет условиям формулы (4.15), получим, что $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$
для $\varphi(z)$
.

б) Разложение функции в ряд по степеням $z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$
представляет некоторые трудности. Используем другие способы.

z_3 Обозначим $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$
, получим z_3
, или z_4
. z_4
$\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ Поэтому z_2
является f(z)
для

и, следовательно,

для $f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$
. z_1

Представим функцию в виде

или $z_0=z_1=\frac{1}{2}$
, где $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$
, и, согласно формуле (4.15), f(z)
для

Используем замечание 4.5. Можно определить порядок полюса z_3=i
для дроби z_4=-i
, зная соответствующие порядки полюсов числителя и знаменателя. Здесь, очевидно,

для числителя и

— для знаменателя (см. формулы (4.7), (4.11)). Поэтому z_2=-1
для f(z)
. $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$

Определить порядок полюса в точке z=0
для следующих функций: а) $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$
; б) $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$
.

z=0

z=0 Определение типа особых точек для суммы, разности, произведения и частного функций f(z)

Пусть

— особая точка функций
и

и тип особой точки для каждой из функций известен. Требуется определить тип особой точки для функций

. Рассмотрим следующие случаи.

Пусть точка го является полюсом порядка $m~(\Pi(m))$
для функции f_1(z)
и полюсом порядка $k~(\Pi(k))$
для функции f_2(z)
.

а) При исследовании суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z)
воспользуемся формулой (4.14) (п.1 утверждения 4.3) и запишем слагаемые в виде

$f_1(z)=\frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^m},~~ f_2(z)=\frac{\varphi_2(z)}{(z-z_0)^k}$
, где $\varphi_1(z_0)\ne0,~\varphi_2(z_0)\ne0$
.

При k=m
для суммы f(z)= f_1(z)+ f_2(z)
получаем $f(z)= \frac{\varphi_1(z)+\varphi_2(z)}{(z-z_0)^m}$
или $f(z)=\frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^m}$
, где $\varphi(z)= \varphi_1(z)+ \varphi_2(z)$
. Если $\varphi(z_0)\ne0$
, то $z_0-\Pi(m)$
для функции f(z)
. Однако для функций $f_1(z),\, f_2(z)$
может выполняться условие $\varphi_1(z_0)+ \varphi_2(z_0)=0$
и’ следовательно, $\varphi(z_0)=0$
. В этом случае формула (4.14) не применима и точка z_0
не будет полюсом порядка
для f(z)
. В соответствии с п.3 утверждения 4.3 порядок полюса будет меньше, чем
, и равен (m-p)
в случае m>p
, где
— порядок нуля функции $\varphi(z)$
. Если p=m
, то z_0
— устранимая особая точка для f(z)
.

Таким образом, при сложении функций порядок полюса в точке может оказаться равным или меньше, чем наибольший из порядков слагаемых.

б) Для исследования произведения $f_1(z)\cdot f_2(z)$
воспользуемся формулой связи нулей с полюсами (п.2 утверждения 4.3) и рассмотрим вспомогательные функции $F_1(z)= \frac{1}{f_1(z)},~ F_2(z)= \frac{1}{f_2(z)}$
. Для первой из этих функций z_0-0(m)
, для второй соответственно z_0-0(k)
. а поэтому для $F(z)= F_1(z)\cdot F_2(z)$
она будет 0(m+k)
. Согласно п.2 утверждения 4.3, z_0
является $\Pi(m+k)$
для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$
.

в) Аналогичные рассуждения для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
приводят к результату: при m>k
точка z_0
является $\Pi(m-k)$
для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
.

Пусть точка z_0
является полюсом, устранимой особой точкой или не особой для f_1(z)
и существенно особой для f_2(z)
. Так как $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)$
не существует, то по свойству пределов он не существует для каждой из рассматриваемых комбинаций $f_1(z)\pm f_2(z);~ f_1(z)\cdot f_2(z);~ \frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
. Следовательно, для каждой из них z_0
— существенно особая точка. Заметим, что для функции $\frac{1}{f_2(z)}$
эта точка является либо существенно особой точкой, либо не является изолированной особой точкой. Последнее проиллюстрировано в примере 4.5 для функции $\frac{1}{\sin z^{-1}}$
.

Пусть z_0
— полюс порядка
для f_1(z)
и устранимая особая точка для f_2(z)
. Разложения этих функций в ряд в окрестности z_0
имеют вид (4.6) и (4.4) соответственно.

а) При сложении рядов в общей области сходимости получится ряд, главную часть которого будет составлять главная часть ряда функции f_1(z)
. Следовательно, для $f(z)= f_1(z)\pm f_2(z)$
точка z_0
— полюс порядка
.

б) Аналогичные рассуждения приводят к заключению, что такой же результат получится и для $f(z)= f_1(z)\cdot f_2(z)$
, если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)\ne0$
.

Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$
и z_0-0(p),~ p<n
для функции f_2(z)
, то из равенства

$f_1(z)\cdot f_2(z)= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n}\cdot \varphi_2(z)\cdot (z-z_0)^p= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n-p}}$
заключаем, что $z_0-\Pi(n-p)$
.

в) Для частного $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
при условии $\lim\limits_{z\to z_0} f_2(z)\ne0$
из равенства $f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n f_2(z)}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n}$
заключаем, что $z_0-\Pi(n)$
для f(z)
.

Если $\lim\limits_{z\to z_0}f_2(z)=0$
и z_0-0(p)
для f_2(z)
, то, используя условие кратного нуля, из равенства

$f(z)= \frac{f_1(z)}{f_2(z)}= \frac{\varphi_1(z)}{(z-z_0)^n \varphi_2(z) (z-z_0)^p}= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{n+p}}$

заключаем, что z_0
является $\Pi(n+p)$
для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
, где
— порядок полюса функции f_1(z),~p
— порядок нуля функции f_2(z)
в точке z_0
.

Подводя итог, запишем следующее утверждение.

Пусть точка z_0
является $\Pi(m)$
для функции f_1(z)
и $\Pi(k)$
для функции f_2(z)
. Тогда:

а) для

она будет

, а при z_4
— устранимой особой точкой;

$f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$ б) для $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$
она является

; z_3=i

она будет z=0
.

<img alt="(0

)» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»> z=0

Пусть
— существенно особая точка для функции

и устранимая особая точка или полюс для функции

. Тогда

— существенно особая точка для

f(z)
<img alt="(0 f_1(z) )» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$

$z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$ Пусть точка $f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$
является z_3
для функции z_4
и устранимой особой точкой для функции $z=\pm\frac{1}{2}$
. Тогда: z_3

$\varphi(z)$

$\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$ а) для z_2
она будет f(z)
; z_1

б) для

она является

, если

, и $\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$
, если $z_0=z_1=\frac{1}{2}$
и $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$
— порядок нуля f(z)
в точке

;

в) для z_4=-i
она будет

, если

, и z_1=1
, если z_2=-1
и f(z)
— порядок нуля

в точке

; $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$

z=0 $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$

Если точка

для z=0
, то она существенно особая точка для сложной функции

. В этом можно убедиться, рассматривая ряды для

и
в окрестности

Определить тип особой точки z=0
для функции f(z)
, если f(z)= f_1(z)+ f_2(z)
, где $f_1(z)= \frac{1}{z^2}$
, а функция f_2(z)
определяется следующим образом:

а) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{2}{z^2}$
; б) $f_2(z)= \frac{1}{z}-\frac{1}{z^2}$
; в) $f_2(z)=1-\frac{1}{z}$
.

Найти особые точки функции $f(z)= \frac{1}{e^z-1}-\frac{1}{z}$
. Определить их тип.

Особыми точками функции являются особые точки первого слагаемого $z=2k\pi i,~ k\in\mathbb{Z}$
, особая точка второго слагаемого z=0
входит в это множество. Точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$
являются простыми нулями знаменателя и поэтому простыми полюсами первой функции; для второго слагаемого эти точки не являются особыми. Поэтому точки $z_k=2k\pi i,~k\ne0$
-простые полюсы f(z)
(см. п. 3 «а» утверждения 4.4).

Точка z=0
— простой полюс и для первого, и для второго слагаемого. Для f(z)
— это или простой полюс, или устранимая особая точка (см. п.1 «а» утверждения 4.4). Преобразуем разность в дробь: $f(z)= \frac{z-e^z+1}{(e^z-1)z}$
. Точка z=0
является нулем второго порядка и для числителя, и для знаменателя. Следовательно, это — устранимая особая точка, в чем можно убедиться, используя определение, т.е. находя $\lim\limits_{z\to0}f(z)$
. Действительно,

$\lim\limits_{z\to0}f(z)= \lim\limits_{z\to0} \frac{-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots+z+ 1}{\left(-1-z-\dfrac{z^2}{2!}+\ldots-1 \right)\!z}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-\dfrac{z^2}{2!}-\dfrac{z^3}{3!}-\ldots}{z^2\! \left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}= \lim\limits_{z\to0} \frac{-z^2\! \left(\dfrac{1}{2!}+ \dfrac{z}{3!}+\ldots\right)}{ z^2\!\left(1+\dfrac{z}{2!}+\ldots\right)}=-\frac{1}{2}\,.$

Точка $z=\infty$
для данной функции является неизолированной особой точкой, так как в любой ее окрестности |z|>R
содержится бесконечное множество особых точек вида $z_k=2k\pi i$
. Эта точка- предельная точка полюсов. Заметим, что для знаменателя первого слагаемого функции она — существенно особая точка.

Найти особые точки следующих функций, определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z-\pi}{\sin^2z}\cos \frac{1}{z-2i}+ \frac{1}{z^6+1}$
; б) $f(z)= \frac{1}{z^2-1} \sin \frac{\pi z}{2z+1}+ \frac{1}{e^z+i}$
.

Обозначим f_1(z)
— первое слагаемое, f_2(z)
— второе слагаемое функции f(z)
, т.е. имеем f(z)=f_1(z)+f_2(z)
.

а) Для f_1(z)
точка z=2i
является существенно особой точкой, так как это существенно особая точка для $\cos \frac{1}{z-2i}$
множителя этой функции. Поэтому она — существенно особая точка для f(z)
(п. 2 утверждения 4.4).

Точки $z_k=k\pi,~k\ne1$
— полюсы второго порядка функции f_1(z)
, так как ее можно записать в виде $f_1(z)=\frac{\varphi(z)}{\sin^2z}$
, где $\varphi(z_k)\ne0$
, а для знаменателя эти точки — нули второго порядка . Так как для f_2(z)
эти точки не особые, то $z_k=k\pi,~z\ne\pi$
— полюсы второго порядка для f(z)
(п. 3 утверждения 4.4).

С помощью аналогичных рассуждений получаем, что $z=\pi$
— простой полюс для f(z)
.

Особыми точками f_2(z)
являются корни уравнения z^6+1=0
, то есть $z_k=\exp \frac{(-\pi+2k\pi)i}{6},~ k=0,1,\ldots,5$
. Все они — простые нули знаменателя- функции F(z)
, а потому — простые полюсы для $f_2(z)= \frac{1}{F(z)}$
. Так как эти точки не являются особыми для f_1(z)
, то для f(z)
— это простые полюсы.

Точка $z=\infty$
— неизолированная особая точка f(z)
.

б) Точка $z=\frac{-1}{2}$
— полюс дроби $\frac{\pi z}{2z+1}$
является существенно особой точкой для $\sin\frac{\pi z}{2z+1}$
(п.4 утверждения 4.4), поэтому она — существенно особая точка для f_1(z)
и, следовательно, для f(z)
.

Точка z=1
— простой полюс для f_1(z)
, так как можно записать $f_2(z)= \frac{\varphi(z)}{z-1},~ \varphi(z)\ne0$
. Поскольку z=1
не является особой точкой для f_2(z)
, то она — простой полюс для f(z)
.

Точка z=-1
— устранимая особая точка для f_1(z)
, так как она — простой нуль и для числителя, и для знаменателя дроби $\frac{\sin\dfrac{\pi z}{2z+1}}{z^2-1}$
. Так как z=-1
не является особой точкой для f_2(z)
, то она — устранимая особая точка для f(z)
.

Особыми точками f_2(z)
являются простые нули знаменателя — корни уравнения e^z+i=0
, или e^z=-i
, то есть $z=\operatorname{Ln}(-i)$
. Все точки

являются простыми полюсами для f_2(z)
и, следовательно, простыми полюсами для f(z)
.

Точка $z=\infty$
— неизолированная особая точка f(z)
.

Математический форум
(помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Что умеет?

Производит простые операции с комплексными числами
Выполнять деление с подробным решением
Находить разные формы комплексных чисел:
1. Алгебраическую
2. Тригонометрическую
3. Показательную
Модуль и аргумент комплексного числа
Комплексно-сопряжённое к данному
Геометрическую интерпретацию комплексного числа

вычислить комплексное выражение — Калькулятор работает, доволен как слон

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Комплексное число записывается в виде: a + bj, например 1.5 + 4.7j (j писать слитно)
Комплексная единица (Мнимая): — должна записываться в виде 1j (Просто j не будет работать)
(3+4j)/(7-5j): — деление
(3.6+4j)*(7+5j): — умножение
(3+56j)^7: — возведение в степень
(5+6j) + 8j: — сложение
(5+6j) — (7-1j): — вычитание
conjugate(1+4j)
или conj(1+4j): Сопряженное (комплексно-сопряженное) число для (1 + 4j)
re(1+I): Реальная часть комплексного числа 1 + I
im(1+I): Мнимая часть 1 + I
sign(1+I): Комплексный знак числа 1 + I
absolute(1+I): Модуль от 1 + I
arg(1+I): Аргумент от 1 + I

Другие примеры:

Можно использовать следующие функции от z (например, от z = 1 + 2.5j):

Правила ввода выражений и функций

Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):

absolute(x): Абсолютное значение x
(модуль x
или |x|
)
arccos(x): Функция — арккосинус от x
arccosh(x): Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x): Арксинус от x
arcsinh(x): Арксинус гиперболический от x
arctg(x): Факториал от x
DiracDelta(x): Дельта-функция Дирака
Heaviside(x): Функция Хевисайда

Интегральные функции:

Si(x): Интегральный синус от x
Ci(x): Интегральный косинус от x
Shi(x): Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x): Интегральный гиперболический косинус от x

В выражениях можно применять следующие операции:

Действительные числа: вводить в виде 7.5
, не 7,5
2*x: — умножение
3/x: — деление
x^3: — возведение в степень
x + 7: — сложение
x — 6: — вычитание
15/7: — дробь

Другие функции:

asec(x): Функция — арксеканс от x
acsc(x): Функция — арккосеканс от x
sec(x): Функция — секанс от x
csc(x): Функция — косеканс от x
floor(x): Функция — округление x
в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x): Функция — округление x
в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x): Функция — Знак x
erf(x): Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x): Функция Лапласа
asech(x): Функция — гиперболический арксеканс от x
csch(x): Функция — гиперболический косеканс от x

x $\varphi(z)$

$z_1=\frac{2}{2},~ z_2=-\frac{1}{2},~ z_3=i\sqrt{3},~-i \sqrt{3}$ acsch(x) z_3

z_4
Функция — гиперболический арккосеканс от z_3 x z_4
$f(z)= \frac{\varphi(z)}{z-z_0},~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$

$\cos\pi z= (z-z_0)\cdot \varphi(z),~ \varphi(z_0)\ne0,~ z_0$

z_1 Постоянные: z_2

f(z)

$f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$

Число «Пи», которое примерно равно ~3.14159.
$z_0=z_1=\frac{1}{2}$
$z_0=z_2=-\frac{1}{2}$

f(z)
$z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$
Число z_4=-i e

— основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.
z_3=i

f(z) i

z_2=-1

Комплексная единица
z=0
$f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$

z=0 oo

$f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$

Символ бесконечности — знак для бесконечности

<img alt="(0

z=0

f(z)
Значения функций представить в
алгебраической форме

$z=\sqrt[\LARGE{3}]{-8i}$
$z_{1,3}=2\! \left(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}-i \frac{1}{2}\right)\!,~ z_2=2i$ Аналитические функции комплексного переменного f(z)

$f(z)= \frac{z-2i}{z^3+8i}$ Дифференцируемость и аналитичность функций комплексного переменного

$f(z)= \frac{z^6+z^4-z^2-1}{(z^2-4z+3)^2}$

$z_k= \exp \left[\left(-\frac{\pi}{6}+ \frac{2k\pi}{3}\right)\!i\right],~ k=0,1,2$

Однозначная функция

,
определенная в некоторой окрестности
точки

,
называется дифференцируемой в этой
точке, если существует конечный предел

$f(z)=\frac{\cos\pi z}{(4z^2-1)(z^2+3)}$

$f(z)=\frac{\sin\pi z}{z^4-1}$
Этот предел называется

производной

функции

в точке

(если предел существует, то он не зависит
от способа стремления

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_4(z)}$ Критерий дифференцируемости функции
в точке.
Для дифференцируемости
функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

в точке
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

необходимо и достаточно, чтобы частные
производные функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

и
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

были непрерывны в точке
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

и удовлетворяли условиям Коши-Римана

Производная может быть найдена по одной
из следующих формул:

Условия Коши-Римана в полярных координатах:

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Производная в полярных координатах
вычисляется по формуле

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Функция СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
определенная в окрестности точки

, называется аналитической в точке

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

, если она дифференцируема в некоторой
окрестности этой точки.

Примеры с решениями

Пример
3
.1.

Показать, что функция
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

не аналитическая ни в одной точке
комплексной плоскости и дифференцируема
только в точке СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Найти
.

Решение.
Поскольку СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
то
,

,
;
.
Т.е. условия Коши -Римана выполняются
только в точке
,
и не в какой другой точке. Поэтому функция
не аналитическая. Найдем производную
в точке СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Имеем

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Пример
3
.2.

Показать, что для функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

выполняются условия Коши-Римана в
точке СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
но производная не существует.

Решение.
Поскольку
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

, то СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
;
из
.
.
Таким образом условия Коши-Римана в
точке

выполняются. Но действительная часть
этой функции СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
не дифференцируема в точке (0,0), тем самым
не выполнено одно из условий критерия
существования производной.

Пример
3
.3.

Найти области дифференцируемости и
аналитичности функции СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Доказать, что
.

Решение.

. СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,

,

,

Как видим, условия Коши-Римана выполняются
на всей комплексной плоскости, а
соответствующие частные производные
непрерывны, следовательно, функция
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

дифференцируема и аналитична во все
комплексной плоскости. Найдем производную.
По формуле (3.2) получим СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Пример
3
.4.

Решение.
Действительные и мнимые
части этой функции проще найти в полярных
координатах с помощью формулы Муавра.
Имеем

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Частные производные от действительной
и мнимой части соответственно равны

Как видим, условия Коши-Римана (3.3)
выполняются на всей комплексной
плоскости, а соответствующие частные
производные непрерывны, следовательно,
функция
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

дифференцируема и аналитична на всей
комплексной плоскости. Производную
найдем по формуле (3.4). Имеем

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Восстановление аналитических функций
.
Условия Коши-Римана позволяют восстановить
аналитическую функцию по ее известной
действительной или мнимой части.
Например, если известна функция СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
то

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Остается восстановить функцию
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

по ее полному дифференциалу.

Отметим также следующие формулы

Докажем формулу (3.5). Пусть функция
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
где

и
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

— действительные функции своих переменных,
которые имеют аналитические продолжения
на область комплексных значений
параметров a
и b
. Тогда, полагая СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,

,
получим
.
Или

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Аналогично, поменяв местами параметры
z
и z
₀
, получим

Применим к последнему выражению операцию
комплексного сопряжения, учитывая что
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

и
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

— действительные функции своих переменных.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Тогда СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
что и требовалось доказать. Формула
(3.6) доказывается аналогично.

Пример
3
.5.

Определить аналитическую функцию СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
если
,
.

Решение.
Рассмотрим способ, основанный
на условиях Коши-Римана. Имеем

Интегрируя первое равенство по СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
получаем

Подставляя полученную функцию во второе
равенство, получаем

Откуда имеем: СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
т.е.

.
Поэтому
.
Значение константы

находим из условия СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
,
т.е.
.
И мы получаем ответ

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Пример
3
.6.

Определить аналитическую функцию СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
если
.

Решение.
Используем формулу (3.6).

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Отметим, что восстановление аналитической
функции путем интегрирования, как в
примере 5, гораздо сложнее.

Вычисление вычетов.

Вычетом
функции f
(
z
)

в конечной изолированной особой точке
a
называется число

где
C
-окружность
достаточно малого радиуса с центром в
точке a
,
пробегаемая против часовой стрелки.
Вычет в бесконечности (-изолированная
особая точка) определяется по формуле

где
C ^—

-окружность достаточно большого радиуса,
пробегаемая по часовой стрелке. Вычет
функции f
(
z
)

в конечной изолированной особой точке
a

равен коэффициенту с
_-1

в разложении функции f
(
z
)

в ряд Лорана при (
z
—
a
)
^-1

Вычет
функции f
(
z
)

в изолированной особой точке 
равен коэффициенту — с
_-1

в разложении функции f
(
z
)

в ряд Лорана при z
^-1

Если
у аналитической функции f(z)
имеется лишь конечное чисто изолированных
особых точек, то сумма вычетов в этих
точках, включая вычет в 
равна нулю.

Если
a

– полюс порядка n

функции f
(
z
)
,
то

В случае полюса
первого порядка формула имеет вид

1.
Найти вычет функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно всех изолированных особых
точек (и.о.т.).

Решение
.
Функция имеет два полюса второго порядка
в точках i
и –i.
В 
имеется устранимая особенность.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Аналогично

.
Из формулы для суммы вычетов следует,
что
.

2.
Найти вычет функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно всех изолированных особых
точек.

Решение
.
Функция имеет две и.о.т. 0 и .
Воспользуемся разложением экспоненты
в ряд Тейлора для получения разложения
исходной функции в ряд Лорана.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

3.
Найти вычет функций
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно
всех изолированных особых точек.

Решение
.
Покажем вначале, что функции sin

z

и cos

z

в комплексной плоскости имеют нули
только на вещественной оси. Действительно,

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Откуда следует,
что sin

z

= 0
лишь в
случае sin

x

= 0
и sh

y

= 0
. Аналогично
для функции cos

z

имеем: СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Откуда
следует, что cos

z

= 0
лишь в
случае cos

x

= 0
и sh

y

= 0
. Таким
образом, исходная функция имеет только
полюсы второго порядка в нулях синуса,
т.е. в точках 
k
.
Так как
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
и
вычет единицы равен нулю, то вычеты
можно считать для функции
.
Имеем

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Воспользовавшись первыми двумя членами
разложений в ряд Тейлора функций sin

и cos

легко установить, что бесконечно малая
sin
u
– u
cos
u
в нуле имеет третий порядок малости.
таким образом в последнем выражении
числитель имеет четвертый порядок
малости, в то время, как знаменатель
имеет третий порядок малости, и указанный
предел равен нулю. Все вычеты равны
нулю.

4.
Найти вычет функций
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно
всех изолированных особых точек.

Решение
.
Функция имеет две и.о.т. 0 и .
Воспользуемся разложением синуса в ряд
Тейлора для получения разложения
исходной функции в ряд Лорана.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
При перемножении общий член ряда Лорана
будет иметь вид

.
Отсюда следует, что c
_-1
=0
.
вычеты в нуле и бесконечности равны
нулю.

5.
Найти вычет функций
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно
всех изолированных особых точек.

Решение
.
Функция имеет две и.о.т. 0 и .
Воспользуемся разложением косинуса в
ряд Тейлора для получения разложения
исходной функции в ряд Лорана по степеням
z
-2
.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Коэффициент
c
_-1

будет складываться из двух значений,
из первой суммы при k
=2

и третьей сумма при k
=1

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Вычет в 
будет равен 143/24.

6.
Найти вычет функций
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
относительно
всех изолированных особых точек.

Решение
.
Функция имеет полюс второго порядка в
0, полюс первого порядка в 1 и устранимую
и.о.т. в .

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Отсюда следует, что

Если
функция непрерывна вплоть до границы
области D

и аналитична внутри области, за исключением
конечного число особых точек a
_k
,
то

Решение
.
Контур представляет собой окружность
радиуса 1 с центром в начале координат.
Корни знаменателя подынтегральной
функции лежат на единичной окружности
и на биссектрисах первого-третьего и
второго-четвертого углов. Внутрь контура
C
попадают два из них, лежащих в правой
полуплоскости
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Остальные два
лежат вне области.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Исходный интеграл будет равен

.

2.
Вычислить интеграл
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
проходимая в положительном направлении.

Решение
.
Внутри контура лежат пять особых точек,
вне контура две: 3-полюс первого порядка,
-
устранимая особая точка. Вычет в точке
три будем считать по формуле для полюсов,
вычет в 
вычислим по ряду Лорана.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Разложение в ряд Лорана подынтегральной
функции в окрестности 
имеет вид

3.
Вычислить интеграл
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
проходимая в положительном направлении.

Решение
.
Все особые точки подынтегральной функции
лежат не окружности радиуса
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
и, таким образом, попадают внутрь контура
интегрирования. Следовательно, интеграл
будет равен

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Для вычисления вычета в 

воспользуемся
разложением в ряд Лорана

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
откуда c _-1
=0.5,
следовательно

Ответ
i.

Решение
.

является изолированной особой точкой.
Для вычисления вычета в бесконечности
воспользуемся разложением в ряд Лорана.

Не
нулевой коэффициент при –1 степени
формируется из индексов, удовлетворяющих
условию 2k+2m-2=1,
k+m=3/2
.
Таких
индексов нет, следовательно, интеграл
равен нулю.

Решение.

Воспользуемся разложением в ряд Лорана.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Равенство k-n=1
Будет выполнено при n

-1. Для этих значений параметра

.
Для остальных значений параметраn
интеграл I=0.

Для
вычисления интегралов вида
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
используют
следующие два вспомогательных утверждения

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Следствие
.
Если для функции f
(
z
)

выполнены условия леммы, то СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
где сумма берется по всем вычетам
подынтегральной функции из верхней
полуплоскости.

Для
решения задач этого раздела можно
использовать следующие оценки для
значений модуля многочлена на окружности
радиуса R.

где
m>0.
Аналогично,
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Таким образом, при оценках значения
рациональной функции
на окружности радиусаR
следует смотреть лишь на старшие члены
многочленов числителя и знаменателя

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Учитывая это, условие леммы

для рациональной функции будет выполнены,
если n
—
m
+1

-1
,
или n
—
m
+1<0
.

Решение.

Для
подынтегральной функции
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
выполнено условие n
—
m
+1=-1<0
.
Далее

Решение.

Условие
леммы выполнено n

–
m

+1 = -2 < 0
.
Нули знаменателя
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
В верхнюю полуплоскость попадает нуль
,
являющийся полюсом второго порядка для f
(
z
).

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Решение.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
Условие
леммы выполнено n

–
m

+1 = -1 < 0
.
Нули знаменателя

.
В верхнюю полуплоскость попадает нуль
,
являющийся полюсом второго порядка для f
(
z
).

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Решение.

Условие
леммы выполнено n

–
m

+1 = -3 < 0
. В
верхнюю полуплоскость попадают нули
знаменателя
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
являющиеся полюсами первого порядка
для функции f
(
z
).

Поэтому

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Решение.

Условие
леммы выполнено n

–
m

+1 = -1 < 0
.
Корни знаменателя подынтегральной
функции лежат на единичной окружности
и на биссектрисах первого-третьего и
второго-четвертого углов.

В
верхнюю полуплоскость попадают нули
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Исходный
интеграл будет равен
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Решение.

Рассмотрим
функцию
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.
Для функции f
(
z
)

выполнены условия леммы Жордана
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
поэтому

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Соседние файлы в папке Шпоры к экзамену

Свойства равномерно сходящихся рядов

Равномерно
сходящиеся ряды от непрерывных функций
комплексного переменного на множестве

обладают свойствами конечных сумм:

1) сумма ряда
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

является непрерывной функцией на
множестве

;

2) ряд можно
почленно интегрировать;

3) ряд, составленный
из аналитических функций можно почленно
дифференцировать.

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости)

Если
ряд

на некотором множестве

мажорируется сходящимся числовым рядом

с положительными членами

,
то он сходится на области

равномерно.

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
=
,

где СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
− комплексная
переменная;
− комплексные
числа, является степенным
рядом
в
комплексной области.

При
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

степенной ряд принимает вид

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

= СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

для
исследования сходимости степенных и
функциональных рядов остаются
справедливыми основные положения,
известные из действительного анализа.

Теорема Абеля

Если
степенной ряд

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

сходится в некоторой точке

,
то он абсолютно сходится в круге

.

Если ряд

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

расходится в точке

,
то он расходится и при любом значении

,
для которого

.

Число
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

называют радиусом
сходимости

степенного ряда
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
область

− кругом сходимости ряда. Для степенного
ряда

областью сходимости будет круг

.

Радиус
сходимости

находят по уже известным из действительного
анализа формулам:

или СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Для рядов вида

радиус сходимости находят по тем же
формулам, но для
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Исследование
сходимости ряда можно также провести,
применяя непосредственно признаки
сходимости.

Границу области
сходимости необходимо исследовать
дополнительно. На границе круга сходимости
могут лежать как точки сходимости, так
и точки расходимости степенного ряда.

Задача 18.

Найти область сходимости ряда
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Исследуют ряд
непосредственно по признаку Даламбера:

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
где
.

Получают, что при

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

область сходимости вырождается в точку.

При
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

ряд расходится.

Задача 19.
Найти
радиус сходимости ряда
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

Находят
значение радиуса сходимости по формуле
, учитывая, что

Ряд
сходится в круге

Задача 20.
Найти
круг сходимости степенного ряда

.

Находят значение

по формуле :

Ряд сходится, если
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
.

На границе
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

получают ряд
СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ
,
который расходится, так как не выполняется
необходимый признак. Окончательно
получают, что область сходимости – круг

Находят
значение радиуса сходимости по формуле
:

Ряд сходится в
круге

.
На границе круга

получают
ряд

Для исходного ряда
составляют ряд из модулей его членов:

Следовательно, и
исходный ряд

сходится в замкнутом круге

,
причем абсолютно.

Так как в этом
круге исходный ряд мажорируется
сходящимся числовым рядом, то по признаку
Вейерштрасса сходимость в этом замкнутом
круге будет равномерная.

Задача 22.
Исследовать
сходимость степенного ряда

.

Находят
значение радиуса сходимости по формуле
:

Область сходимости
данного ряда − круг с центром в точке

и радиусом

,
т.е. вся комплексная плоскость.

Задача 23.
Исследовать
на равномерную сходимость ряд

.

Для равномерной
сходимости исходный ряд должен
мажорироваться сходящимся числовым
рядом
.

Полученный числовой
ряд

сходится при условии

или

,
.
Следовательно, исходный ряд

равномерно сходится в области

.

а) Данный ряд
имеет вид

и сходится при

,
в круге

.

находят по формуле
суммы членов геометрической прогрессии

При

для членов бесконечной убывающей
прогрессии получают сумму ряда
=
.

б) Для
решения этой задачи используют свойство
дифференцирования ряда

.
При дифференцировании получают

или

.

Окончательно
находят

.
сумма
ряда будет

при

.

Однородные уравнения:

Линейные уравнения первого порядка:

Дифференциальное уравнение Бернулли:

Дифференциальное уравнение Риккати:

Различные замены из контекста уравнения

Для уравнений первого порядка используется метод Бернулли или вариации произвольной константы

Тригонометрические и гиперболические преобразования

Проверка на потерю частных решений

Калькулятор во время вычислений самостоятельно производит группировку, замену или умножение уравнения, выбирая при этом более подходящий метод решения

Произведение степенных функций и гиперболических

Степенные, логарифмические, тригонометрические и гиперболические преобразования

Замены, группировки с помощью упрощений

Для вычисления несобственных интегралов калькулятор учитывает пределы на бесконечности, левосторонние и правосторонние пределы в точках разрыва функции на отрезке

Список задействованных математических функций:

Калькулятор решает — уравнения, а именно:

Линейные уравнения

Квадратные уравнения с вещественными и комплексными коэффициентами

Взаимные уравнения 3-й степени

Кубические уравнения

Взаимные уравнения 4-й степени

Произведение четырех членов арифметической прогрессии

Уравнения различных степеней: логарифмические, тригонометрические, гиперболические и обратные им

Применяет метод Феррари, решая кубическую резольвенту для уравнения

Табличные формулы для тригонометрических, гиперболических и обратных функций

Тригонометрические и гиперболические формулы и преобразования

Формулы суммы и разности ,

Группировка членов, исключение общего множителя, деление и умножение обеих частей уравнения

Логарифм обеих частей уравнения, возведение в степень

Замены из контекста уравнения

Переход к простому функциональному уравнению $f\left(g\left(x\right)\right) = f\left(r\left(x\right)\right)\;\ Rightarrow\;g\left(x\right)=r\left(x\right)$

Подстановка ранее рассчитанного уравнения в текущее уравнение, поиск решения по значениям РАВ

После ввода функции или — где калькулятор отображает ее производную, а также правила, используемые на конкретных шагах

Калькулятор обрабатывает как числовые значения, так и комбинации арифметических операций и функций

Если в процессе решения матрица или пара матриц не удовлетворяет условию текущей операции, отображаются все ранее рассчитанные шаги и четко указывается несоответствие

При наведении курсора на вычисляемые элементы подсвечиваются все значения, использованные в расчете. Например, при перемножении матриц можно увидеть, какие элементы строки и столбца участвуют в вычислении

Все нематричные операции при расчетах выполняются в обычном порядке

СВОЙСТВА РАВНОМЕРНО СХОДЯЩИХСЯ РЯДОВ

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Типы особых точек функции

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Ряд Лорана в окрестности особой точки

Правила определения порядка полюса

Определение порядка полюса в бесконечно удаленной точке

Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение😉

Что умеет?

Введите комплексное выражение, которое необходимо вычислить

Правила ввода комплексных выражений с примерами:

Другие примеры:

Правила ввода выражений и функций

Примеры с решениями

Вычисление вычетов.

Свойства равномерно сходящихся рядов

Признак Вейерштрасса (достаточный признак равномерной сходимости)

Теорема Абеля