Шаг за шагом найдите представление функций в ряд Тейлора
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Ordinary Differential Equations Calculator
Сохранить в блокнот!
Подпишитесь, чтобы подтвердить свой ответ
Войдите, чтобы сохранять заметки
Номер Строки
Шаг за шагом найдите представление функций в ряд Тейлора/Маклорена
Блог-сообщения, имеющие отношение к Symbolab
Advanced Math Solutions – Ordinary Differential Equations Calculator
Сохранить в блокнот!
Subscribe to verify your answer
Sign in to save notes
Number Line
Find the Taylor series representation of functions step-by-step
Frequently Asked Questions (FAQ)
What is the difference between Taylor and Maclaurin series?
The Taylor series is a power series expansion of a function around a point in its domain, whereas the Maclaurin series is a special case of the Taylor series expansion around the point 0!
What is a Taylor series?
The Taylor series is a power series expansion of a function around a point in its domain.
How do you find the Taylor series representation of functions?
What is the Taylor series used for?
Taylor series are used to approximate functions, analyze behavior, solve problems in physics/engineering, perform efficient computations, and expand functions as infinite series for mathematical analysis.
What are limitations of Taylor’s series method?
The limitations of Taylor’s series include poor convergence for some functions, accuracy dependent on number of terms and proximity to expansion point, limited radius of convergence, inaccurate representation for non-linear and complex functions, and potential loss of efficiency with increasing terms.
Advanced Math Solutions – Ordinary Differential Equations Calculator
Enter a problem
Save to Notebook!
Комплексные числа
Комплексное число в тригонометрической форме:
z=|z|[cos(φ+2πk)+i·sin(φ+2πk)]
. Данный сервис предназначен для представления комплексного числа в тригонометрической и показательной формах в онлайн режиме. Результаты вычисления оформляются в формате .
Правила ввода функции
Все математические операции выражаются через общепринятые символы + , - , * , / .
≡ 1/2+sqrt
*I
Если 0 ≤ arg z ≤ 2π:
см. также Как извлечь корень из комплексного числа
Действия с комплексными числами
z 2 =-1-i
Сложение комплексных чисел (отдельно складываются действительные и мнимые части)
Вычитание комплексных чисел (отдельно вычитаются действительные и мнимые части)
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел (подвести под общий знаменатель)
Что делать, если задано сложное комплексное выражение. Его можно упростить с помощью следующего правила. Например:
Необходимо умножить дробь на сопряженное выражение (2-i) .
Возведение в степень. Формула Муавра
При возведении комплексного числа в натуральную степень, модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на показатель степени.
. Найти
Решение .
= 218(cos6π + i*sin6π)=218=262144
Что делать, если комплексное число необходимо возвести в большую степень. Например: (1+i)988 . Достаточно это комплексное число сначала возвести во вторую степень:
(1+i)2 = 2i , а затем 2i988/2 = 2i494 = 2494i494 = 2494(-1)247 = -2494
Все вычисления с комплексными числами можно проверить в онлайн режиме.
Примечание :
abs — модуль комплексного числа |z| . Пример: abs(-5.5-6.6i)
arg — аргумент комплексного числа φ . Пример: arg(5.5+6.6i)
. Записать комплексное число в тригонометрической форме.
Базовая формула:
где φ =arctg((-4)/(-1));
Алгоритм
находим угол φ .
находим модуль |z| = sqrt(x 2 + y 2 ).
1. Находим тригонометрическую форму комплексного числа z=-1-4i
Действительная часть комплексного числа: x = Re(z) = -1
Мнимая часть: y = Im(z) = -4
Модуль комплексного числа равен:
Поскольку x<0 , y<0 , то arg(z) находим как:
Таким образом, тригонометрическая форма комплексного числа z=-1-4i
2. Находим показательную форму комплексного числа
. Как из тригонометрической формы комплексного числа преобразовать в алгебраическую форму .
Модуль комплексного числа равен 2 ,т.е. или x 2 +y 2 =4
Аргумент комплексного числа
или
Получаем систему из двух уравнений:
x2+y2=4
Выразим и подставим в первое выражение:
Поскольку , то получаем:
или или .
Таким образом, из выражения можно сразу было получить:
,
Признаки сходимости ряда
. Числовым рядом называется бесконечная сумма членов последовательности:
.
Признаки сходимости знакопостоянного числового ряда можно разделить на необходимый и достаточные .
Необходимый признак сходимости состоит в том, что: .
Если этот признак не выполняется, то ряд расходится.
Правила ввода данных
В качестве переменной используйте только n .
Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4n , записываем как 4^n .
≡ n^2/(n+2)
≡ n+sqrt(n-1)
Это поле предназначено для ввода знаменателя дроби.
Правила ввода данных
Все математические операции выражаются через общепринятые символы ( + , - , * , / , ^ ). Например, 4 n , записываем как 4^n .
≡ n^2/(n+2)
≡ n+sqrt(n-1)
Рассмотрим четыре достаточных признака сходимости числового ряда .
1. Признак Даламбера .
Если , то
при q = 1 получаем неопределенность.
2. Радикальный признак Коши .
Если ,
при q = 1 получаем неопределенность.
3. Интегральный признак Коши .
Если существует, то ряд сходится; если интеграл не существует (т. е. равен ±∞) – ряд расходится.
4. Признак сравнения .
Если сходится и u n ≤ v n , то также сходится, если расходится и u n ≥ v n , то также расходится.
Для признака сравнения в качестве ряда часто используется , который , A — произвольная постоянная величина; причем .
5. Предельный признак сравнения .
Если предел отношений исходного ряда u n с расходимым рядом v n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд u n расходится.
Если предел отношений исходного ряда u n со сходимым рядом v n равен конечному числу, отличному от нуля, то ряд v n сходится.
Схема определения сходимости или расходимости ряда
Преобразование и упрощение
z=-1-4i Замена на замечательные эквивалентности
z=-1-4i
x2+y2=4
Замена на Vn
4n
Ряд Un сходится
Сходимость не определена
Ряд Un расходится
Сходимость не определена
Ряд Un сходится
Ряд Un расходится
Сходимость не определена
|z| = sqrt(x2 + y2)
. Исследовать ряд
на сходимость. y = Im(z) = -4 Решение:
Применим признак Даламбера:
;
= = ряд сходится.
x = Re(z) = -1 . Исследовать ряд
на сходимость. Решение:
Применим радикальный признак Коши:
Замечание:
вычисляем следующим образом: так как в числителе и знаменателе дроби старшие степени переменной n равны, то выписываем коэффициенты при n 2 соответственно из числителя и знаменателя.
. Исследовать ряд на сходимость.
Решение: Применим интегральный признак Коши:
, так как интеграл не существует, то ряд расходится.
. Исследовать ряд на сходимость. x2+y2=4 Решение: Сравним ряд с
, который сходится, так как степень α переменной
n
: α=2 > 1. При этом
, следовательно ряд также сходится.
. Исследовать ряд на сходимость.
Решениие .
Исходное выражение преобразуем к виду:
Тогда исходный ряд можно представить в виде:
Коэффициент общего члена не влияет на сходимость или расходимость ряда, поэтому выносим его за пределы суммы:
Поскольку u n ≤v n , то если ряд v n будет сходиться, то будет сходиться и исходный u n .
По определению этот ряд расходится, здесь α≤1.
Проведя анализ ряда можно сделать вывод, что признак сравнения здесь не применим (по условию ряд должен был сходиться, а он расходится). Поэтому продолжаем исследования далее. Используем предельный признак сравнения.
Сравним исследуемый ряд с расходящимся рядом:
здесь
Получено конечное число, отличное от нуля, значит, исследуемый ряд расходится.
Следовательно, ряд расходится.
Разложение в ряд Тейлора
Если функция f(x) имеет на некотором интервале, содержащем точку а , производные всех порядков, то к ней может быть применена формула Тейлора:
,
где r n
– так называемый остаточный член или остаток ряда, его можно оценить с помощью формулы Лагранжа:
, где число x заключено между х и а .
Если для некоторого значения х r n
→0 при n →∞, то в пределе формула Тейлора превращается для этого значения в сходящийся ряд Тейлора :
Таким образом, функция f(x) может быть разложена в ряд Тейлора в рассматриваемой точке х , если:
она имеет производные всех порядков;
построенный ряд сходится в этой точке.
При а =0 получаем ряд, называемый рядом Маклорена :
Разложение простейших (элементарных) функций в ряд Маклорена:
Показательные функции
, -∞ < x < +∞, R=∞
Тригонометрические функции
, -∞ < x < +∞, R=∞
, -∞ < x < +∞, R=∞
, (-π/2 < x < π/2), R=π/2
Функция actgx не разлагается по степеням x, т.к. ctg0=∞
Гиперболические функции
Логарифмические функции
, -1<x<1 , R = 1
Биномиальные ряды
.
Радиус сходимости этого ряда равен бесконечности, поэтому данное разложение справедливо для -∞< x <+∞.
Следовательно, искомый ряд Тейлора функции имеет вид:
Данное разложение также справедливо для -∞< x <+∞.
С помощью признака Даламбера можно убедиться, что ряд сходится при ½х-1½<1 . Действительно,
Ряд сходится, если ½ х- 1½<1, т.е. при 0< x <2. При х =2 получаем знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям признака Лейбница. При х=0 функция не определена. Таким образом, областью сходимости ряда Тейлора является полуоткрытый промежуток (0;2].
. Разложить в степенной ряд функцию .
Решение . В разложении
заменяем х на -х 2 , получаем:
. Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение . Имеем
Пользуясь формулой , можем записать:
подставляя вместо х в формулу –х , получим:
Отсюда находим: ln(1+x)-ln(1-x) = -
Раскрывая скобки, переставляя члены ряда и делая приведение подобных слагаемых, получим
. Этот ряд сходится в интервале (-1;1), так как он получен из двух рядов, каждый из которых сходится в этом интервале.
Замечание
.
Формулами
- можно пользоваться и для разложения соответствующих функций в ряд Тейлора, т.е. для разложения функций по целым положительным степеням ( х-а ). Для этого над заданной функцией необходимо произвести такие тождественные преобразования, чтобы получить одну из функций
-, в которой вместо х стоит k( х-а ) m , где k – постоянное число, m – целое положительное число. Часто при этом удобно сделать замену переменной t = х-а и раскладывать полученную функцию относительно t в ряд Маклорена.
Этот метод основан на теореме о единственности разложения функции в степенной ряд. Сущность этой теоремы состоит в том, что в окрестности одной и той же точки не может быть получено два различных степенных ряда, которые бы сходились к одной и той же функции, каким бы способом ее разложение ни производилось.
. Разложить в ряд Маклорена функцию , указать область сходимости.
Решение. Сначала найдем 1-x-6x 2 =(1-3x)(1+2x), далее разложим дробь с помощью сервиса .
на элементарные:
с областью сходимости |x| < 1/3.
. Разложить функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х =3.
Решение . Эту задачу можно решить, как и раньше, с помощью определения ряда Тейлора, для чего нужно найти производные функции и их значения при х =3. Однако проще будет воспользоваться имеющимся разложением :
Полученный ряд сходится при или –3<x-3<3 , 0< x < 6 и является искомым рядом Тейлора для данной функции.
. Написать ряд Тейлора по степеням ( х -1) функции ln(x+2) .
Решение .
Ряд сходится при , или -2 < x < 5.
. Разложить функцию f(x)=sin(πx/4) в ряд Тейлора в окрестности точки x =2.
Решение . Сделаем замену t=х-2 :
Воспользовавшись разложением , в котором на место х подставим π / 4 t, получим:
Полученный ряд сходится к заданной функции при -∞< π / 4 t<+∞, т.е. при (-∞<x<+∞).
Таким образом,
Приближенные вычисления с помощью степенных рядов
Степенные ряды широко используются в приближенных вычислениях. С их помощью с заданной точностью можно вычислять значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определенных интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.
Рассмотрим разложение функции в степенной ряд:
Для того, чтобы вычислить приближенное значение функции в заданной точке х , принадлежащей области сходимости указанного ряда, в ее разложении оставляют первые n членов ( n – конечное число), а остальные слагаемые отбрасывают:
Для оценки погрешности полученного приближенного значения необходимо оценить отброшенный остаток r n (x) . Для этого применяют следующие приемы:
если полученный ряд является знакочередующимся, то используется следующее свойство: для знакочередующегося ряда, удовлетворяющего условиям Лейбница, остаток ряда по абсолютной величине не превосходит первого отброшенного члена .
если данный ряд знакопостоянный, то ряд, составленный из отброшенных членов, сравнивают с бесконечно убывающей геометрической прогрессией.
в общем случае для оценки остатка ряда Тейлора можно воспользоваться формулой Лагранжа: a<c<x (или x<c<a ).
. Вычислить ln с точностью до 0,01.
Решение . Воспользуемся разложением , где x=1/2 (см. пример 5 в предыдущей теме):
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после первых трех членов разложения, для этого оценим его с помощью суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
Таким образом, мы можем отбросить этот остаток и получаем
. Вычислить с точностью до 0,0001.
Решение . Воспользуемся биномиальным рядом. Так как 5 3 является ближайшим к 130 кубом целого числа, то целесообразно число 130 представить в виде 130=5 3 +5.
так как уже четвертый член полученного знакочередующегося ряда, удовлетворяющего признаку Лейбница, меньше требуемой точности:
, поэтому его и следующие за ним члены можно отбросить.
Многие практически нужные определенные или несобственные интегралы не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, ибо ее применение связано с нахождением первообразной, часто не имеющей выражения в элементарных функциях. Бывает также, что нахождение первообразной возможно, но излишне трудоемко. Однако если подынтегральная функция раскладывается в степенной ряд, а пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с наперед заданной точностью.
. Вычислить интеграл ∫
0
1
4
sin ( x )
x
с точностью до 10 -5 .
Решение . Соответствующий неопределенный интеграл не может быть выражен в элементарных функциях, т.е. представляет собой «неберущийся интеграл». Применить формулу Ньютона-Лейбница здесь нельзя. Вычислим интеграл приближенно.
Разделив почленно ряд для sin x на x , получим:
Интегрируя этот ряд почленно (это возможно, так как пределы интегрирования принадлежат интервалу сходимости данного ряда), получаем:
Так как полученный ряд удовлетворяет условиям Лейбница и достаточно взять сумму первых двух членов, чтобы получить искомое значение с заданной точностью.
Таким образом, находим
. Вычислить интеграл ∫
0
1
4
e
x
2
с точностью до 0,001.
Решение .
Проверим, можем ли мы отбросить остаток после второго члена полученного ряда.
Следовательно, .
Разложение в ряд Фурье
Это он-лайн сервис в два шага :
Ввести функцию, которую необходимо разложить
Ввести отрезок, на котором необходимо разложить
Введите функцию, которую будете раскладывать в ряд Тейлора
Выполним разложение функции f(x) в ряд Тейлора в точки x0 до n-го члена.
Данный калькулятор также знает как разложить функцию в степенной ряд .
Подробнее про Ряд Тейлора
.
Другие функции
С применением степени
(квадрат и куб) и дроби
(x^2 - 1)/(x^3 + 1)
sqrt(x)/(x + 1)
cbrt(x)/(3*x + 2)
С применением синуса и косинуса
2*sin(x)*cos(x)
x*arcsin(x)
x*arccos(x)
x*log(x, 10)
ln(x)/x
exp(x)*x
tg(x)*sin(x)
ctg(x)*cos(x)
(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)
x*arctg(x)
x*arcctg(x)
Гиберболические синус и косинус
2*sh(x)*ch(x)
Гиберболические тангенс и котангенс
ctgh(x)/tgh(x)
Гиберболические арксинус и арккосинус
x^2*arcsinh(x)*arccosh(x)
Гиберболические арктангенс и арккотангенс
x^2*arctgh(x)*arcctgh(x)
Правила ввода выражений и функций
Выражения могут состоять из функций (обозначения даны в алфавитном порядке):
absolute(x)
Абсолютное значение x
(модуль x или |x| )
arccos(x)
Функция - арккосинус от x
arccosh(x)
Арккосинус гиперболический от x
arcsin(x)
Арксинус от x
arcsinh(x)
Арксинус гиперболический от x
arctg(x)
Функция - арктангенс от x
arctgh(x)
Арктангенс гиперболический от x
exp(x)
Функция - экспонента от x (что и e ^ x )
log(x) or ln(x)
Натуральный логарифм от x
(Чтобы получить log7(x) , надо ввести log(x)/log
(или, например для log10(x)
=log(x)/log
)
sin(x)
Функция - Синус от x
cos(x)
Функция - Косинус от x
sinh(x)
Функция - Синус гиперболический от x
cosh(x)
Функция - Косинус гиперболический от x
sqrt(x)
Функция - квадратный корень из x
sqr(x) или x^2
Функция - Квадрат x
ctg(x)
Функция - Котангенс от x
arcctg(x)
Функция - Арккотангенс от x
arcctgh(x)
Функция - Гиперболический арккотангенс от x
tg(x)
Функция - Тангенс от x
tgh(x)
Функция - Тангенс гиперболический от x
cbrt(x)
Функция - кубический корень из x
gamma(x)
Гамма-функция
LambertW(x)
Функция Ламберта
x! или factorial(x)
Факториал от x
DiracDelta(x)
Дельта-функция Дирака
Heaviside(x)
Функция Хевисайда
Интегральные функции:
Si(x)
Интегральный синус от x
Ci(x)
Интегральный косинус от x
Shi(x)
Интегральный гиперболический синус от x
Chi(x)
Интегральный гиперболический косинус от x
В выражениях можно применять следующие операции:
Действительные числа
вводить в виде 7.5 , не 7,5
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^3
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
15/7
- дробь
Другие функции:
asec(x)
Функция - арксеканс от x
acsc(x)
Функция - арккосеканс от x
sec(x)
Функция - секанс от x
csc(x)
Функция - косеканс от x
floor(x)
Функция - округление x в меньшую сторону (пример floor(4.5)==4.0)
ceiling(x)
Функция - округление x в большую сторону (пример ceiling(4.5)==5.0)
sign(x)
Функция - Знак x
erf(x)
Функция ошибок (или интеграл вероятности)
laplace(x)
Функция Лапласа
asech(x)
Функция - гиперболический арксеканс от x
csch(x)
Функция - гиперболический косеканс от x
sech(x)
Функция - гиперболический секанс от x
acsch(x)
Функция - гиперболический арккосеканс от x
Постоянные:
pi
Число "Пи", которое примерно равно ~3.14159.
e
Число e - основание натурального логарифма, примерно равно ~2,7183.
i
Комплексная единица
oo
Символ бесконечности - знак для бесконечности
Ряд Фурье по шагам Примеры разложения в ряд Фурье
Кусочно-заданные и кусочно-непрерывные функции
1 - x при -pi < x < 0 0 при 0 < = x < pi
x при -2 < = x < 0 pi - x при 0 < = x < = 2
Элементарные функции
log(1 + x)
exp(x)
Что умеет калькулятор ряда Фурье;
Вы вводите функцию и период?
Выполняет преобразование Фурье
Различные формы и записи ряда:
Тригонометрический ряд Фурье
Комлексный ряд Фурье
Находит:
Коэффициенты Фурье функции f : $a_0$, $a_n$, $b_n$
Ввести точку, в окрестности которой необходимо разложить
Указать до какого члена раскладывать
Ряд Тейлора по шагам
Что умеет калькулятор ряда Тейлора?
Вы вводите функцию, точку, в которой надо разложить соотвествующую функцию и количество членов в разложении.
Раскладывает функцию в ряд Тейлора
Находит:
Коэффициенты: $a_k$
Сумму степенного ряда: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (x)}{k!}\, (x - x_0)^k$
Строит графики:
Самой функции
Частичные суммы ряда Тейлора
Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена и Тейлора ( пределы интегрирования вводите в поле для пределов графика)
Определённый интеграл с помощью ряда Тейлора
Для приближённого численного решения определённого интеграла введите:
пределы интегрирования в дополнительную форму в данные для графика
подберите точность вычисления в форме с помощью поля Разложить в ряд до члена степени
Примеры разложения в ряд Тейлора
Подробнее про Ряд Тейлора
.
Указанные выше примеры содержат также:
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x
- умножение
3/x
- деление
x^2
- возведение в квадрат
x^3
- возведение в куб
x^5
- возведение в степень
x + 7
- сложение
x - 6
- вычитание
Действительные числа
вводить в виде 7.5 , не 7,5
Постоянные
pi
- число Пи
e
- основание натурального логарифма
i
- комплексное число
oo
- символ бесконечности
Произведение ряда
Чтобы посчитать произведение ряда онлайн выполните следующие действия:
ввести выражение, для которого нужно вычислить произведение ряда
указать параметр, по которому считать произведение
указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность oo)
Сумма ряда
Калькулятор работает, доволен как слон
Чтобы посчитать сумму ряда онлайн выполните следующие действия:
ввести выражение, для которого нужно вычислить ряд
указать параметр, по которому будет считать сумма
указать значение параметра, до которого нужно подсчитать (для бесконечного ряда указываем бесконечность)
Господин Экзамен
Данный сайт позволяет решать некоторые математические задачи онлайн с подробными пошаговыми действиями.
Системы уравнений по шагам
Для линейных систем уравнений Вы получите несколько подробных решений, в том числе решение "в лоб", методом Крамера и методом Гаусса. Для любых других систем уравнений будет дан быстрый ответ.
Неравенства по шагам
Кроме аналитического решения неравенства вы увидите решение неравенства на графике.
Построение графика функции по шагам
Калькулятор строит график функции в декартовых координатах, возможно задать промежуток построения графика, на этом графике отображаются точки пересечения, если функций задано несколько, а также производится исследование соответствующей функции.
Исследование графика функции по шагам
Калькулятор генерирует подробное исследование графика функции: экстремумы функций, горизонтальные и вертикальные асимптоты, наклонные асимптоты, чётность и нечётность функции, точки перегибов, точки пересечения графика с осью X и Y, область определения функции, а также построение графика соответствующей функции.
Производная по шагам
С помощью калькулятора производных можно вычислить производную функции с одной переменной с подробным решением, частные производные от функции двух и трёх переменных, а также производную от неявной функции, заданной уравнением.
Ряд Тейлора по шагам
Есть возможность с помощью этого калькулятора разложить функцию в ряд Тейлора до заданного показателя степени ряда.
Ряд Фурье по шагам
Этот калькулятор позволяет разложить функцию в ряд Фурье на заданном отрезке на оси X.
Сумма ряда по шагам
Даёт аналитический и численный ответ суммы ряда, а также график скорости сходимости суммы ряда.
Интеграл по шагам
Этот калькулятор интегралов предоставляет возможность решать определённые, неопределённые, несобственные интегралы с решением по шагам.
Тройной интеграл
Канонический вид
Приводит вид уравнений для линий на плоскости и в пространстве 2-го порядка и поверхностей 2-го порядка к каноническому виду.
Комлексные числа по шагам
Проводятся операции над комплексными числами: деление, умножение и другое упрощение, нахождение комплексно-сопряжённого числа, алгебраическая, тригонометрическая и экспоненциальная формы комплексного числа.
Также вы найдёте модуль комплексного числа.
Матрицы
В этом разделе Вы можете выполнить как стандартные операции с матрицами, такие как умножение, сложение, детерминант, обратная, ранг, так и экзотические операции с матрицами: комлексно-сопряжённая, собственные вектора и собственные значения, QR и LU.
Математическая логика
Калькулятор умеет расставлять скобки, упрощать логические выражения, строить таблицу истинности, находит нормальную форму выражения.
Пределы по шагам
Калькулятор пределов позволяет найти предел функции в конечной точке или на бесконечности с пошаговым решением, а также с применением метода Лопиталя.
Обычные уравнения по шагам
Калькулятор обычных уравнений умеет решать уравнения со степенями, в том числе квадратные и кубические, некоторые четвёртой степени, уравнения с модулем, простые линейные, показательные уравнения, простые тригонометрические и некоторые др. Любые другие уравнения с ответом. Есть возможность решать уравнения численно.
Упрощение выражений
Введите упрощаемое выражение и калькулятор найдёт все возможные виды упрощений алгебраического выражения или сложного числа.
Упрощение выражений
Введите упрощаемое выражение и калькулятор найдёт все возможные виды упрощений алгебраического выражения или сложного числа.
Множества
Преподаватель очень удивится увидев твоё верное решение😉
Что умеет калькулятор ряда Тейлора?
Вы вводите функцию, точку, в которой надо разложить соотвествующую функцию и количество членов в разложении.
Раскладывает функцию в ряд Тейлора
Находит:
Коэффициенты: $a_k$
Сумму степенного ряда: $\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)} (x)}{k!}\, (x - x_0)^k$
Строит графики:
Самой функции
Частичные суммы ряда Тейлора
Приближенное вычисление определенного интеграла с помощью разложения подынтегральной функции в ряд Маклорена и Тейлора ( пределы интегрирования вводите в поле для пределов графика)
Определённый интеграл с помощью ряда Тейлора
Для приближённого численного решения определённого интеграла введите:
пределы интегрирования в дополнительную форму в данные для графика
подберите точность вычисления в форме с помощью поля Разложить в ряд до члена степени
