ПЛОСКОСТЬ СИММЕТРИИ ЭТО

«Симметрия» в переводе с греческого означает «соразмерность» (повторяемость). Симметричные тела и предметы состоят из равнозначных, правильно повторяющихся в пространстве частей. Особенно разнообразна симметрия кристаллов. Различные кристаллы отличаются большей или меньшей симметричностью. Она является их важнейшим и специфическим свойством, отражающим закономерность внутреннего строения.

По более точному определению симметрия – это закономерная повторяемость элементов (или частей) фигуры или какого-либо тела, при которой фигура совмещается сама с собой при некоторых преобразованиях (вращение вокруг оси, отражение в плоскости). Подавляющее большинство кристаллов обладает симметрией.

Понятие симметрии включает в себя составные части – элементы симметрии. Сюда относятся плоскость симметрии, ось симметрии, центр симметрии, или центр инверсии.

Вспомогательные
элементы (точки,
линии, плоскости) с помощью которых
осуществляется симметрия – это
эл симметрии.

Плоскость
симметрии
— это воображаемая плоскость, которая
делит фигуру на две равные части так,
что одна из частей является зеркальным
отражением другой. Плоскость симметрии
обозначается буквой Р

Ось
симметрии
— воображаемая прямая линия , при повороте
вокруг которой всегда на один и тот же
угол происходит совмещение равных
частей фигуры. Наименьший угол поворота
вокруг оси, приводящий к такому
совмещению, называется элементарным
углом поворота оси симметрии a. Его
величина определяет порядок оси
симметрии n, который равен числу
самосовмещений при полном повороте
фигуры на 360° (n = 360/a).

Центр
симметрии
(центр инверсии) — это такая точка внутри
фигуры при проведении через которую
любая прямая встретит на равном от нее
расстоянии одинаковые и обратно
расположенные части фигуры. Центр
симметрии обозначается буквой С. Если
каждая грань кристалла имеет себе
равную и параллельную или обратно
параллельную, то данный кристалл
обладает центром симметрии. Некоторые
кристаллы могут не иметь центра
симметрии.

Совокупность
имеющихся элементов симметрии определяет
вид симметрии, вид движения.

Плоскость
симметрии – это такая плоскость, когда
кристалл совмещается сам с собой, если
все его точки одной части перенести за
плоскость по перпендикуляру на равные
расстояния.

.
Если плоскость σ перпендикулярна оси
Сn,
то плоскость
обозначается σh,
если плоскость σ проходит через ось Сn,
то плоскость
обозначается σv.

Теорема:
Если кристаллы имеют оси симметрии
порядка n≥3
(3,4,6),
то они
имеют и плоскости симметрии σv
проходящие
через эти оси.

оказательство:
Докажем эту теорему только для оси

,
с ней связаны повороты

наименьший собственный вектор
перпендикулярный оси С4.
Подействуем на

является наименьшим собственным вектором
в своем направлении. Проведем через ось
С4
и

.
Подействуем операцией σv
на

— третий базисный вектор кристалла.
Введем вектор

перпендикулярный оси С4,

плоскости в которой лежат вектора

,
проходящая через оси симметрии четвертого
порядка, является плоскостью симметрии
кристалла. Например, кристаллыNaCl
имеют три взаимно перпендикулярные
плоскости симметрии, в которых, в
соответствии с доказанной теоремой
лежат оси симметрии четвертого порядка.

Перечислите основные виды симметрии и приведите примеры их использования в архитектуре.

Простейший
вид симметрии — зеркальная
симметрия,
симметрия левого и правого. В этом
случае одна половина формы является
как бы зеркальным отражением другой.
Наиболее распространена в архитектуре
зеркальная симметрия. Ей подчинены
постройки Древнего Египта и храмы
античной Греции, амфитеатры, термы,
базилики и триумфальные арки римлян,
дворцы и церкви Ренессанса, равно как
и многочисленные сооружения со временной
архитектуры. Пример-здание Главного
адмиралтейства в Спб.

Центрально-осевая
симметрия
реже использовалась в истории архитектуры.
Ей подчинены античные круглые храмы и
построенные в подражание им парковые
павильоны классицизма (один из
прекраснейших — так называемый «Храм
дружбы», созданный в Павловске по
проекту Ч. Камерона в 1782 г.). Темпьетто
во дворе церкви Сан-Пьетро в Риме (1502
год, архитектор — Донато Браманте)
отвечает законам центрально-осевой
симметрии . Центрально-осевая симметрия
определяет также форму некоторых
архитектурных деталей — например
колонн и их капителей.

Симметрия
переноса
-Пр: -простой метрический ряд,аркада
Колизея, Рим,монумент победы,
бордюр,памятнике в Апаране,стадион
«Коломб» в Париже.

Винтовая
симметрия
Пр: -Музей Соломона Гуггенхайма в
Нью-Йорке (арх Франк Ллойд Райт, 1943г).
Внешне музей выглядит как перевернутая
пирамидальная башня,круглая лестница
в Ватикане (Донато Броманте 1512г) ; жилые
башни арх Паоло Портогези ; Вилла
Бевилакуа.

Исходная
система из 6-ти уравнений разбивается
на 2 независимых уравнения и 2 системы
по 2 уравнения. Из 2-х независимых уравнений
точно определяются две дискретные
частоты, а 2-е системы решаются упрощенно
методом Релея.

т.к.
для оси Z
условия не изменились.

Для
упрощенного определения парциальных
частот, входящих в неравенство Релея,
составляются связки координат. Для
данной системы в связку входят 2 координаты
и составляются 2 подобные связки.

В
связки объединяются именно те координаты,
которые входят в системы из двух
дифференциальных уравнений.

Связки
составляются следующим образом:
выделяются координатные оси, лежащие
в плоскости симметрии, но не на пересечении
этих плоскостей. Координата, характеризующая
поворотное движение вокруг одной оси,
объединяется с координатой, характеризующей
поступательное движение вдоль другой
оси.

Физически,
наличие подобных связок координат
проявляется в единстве движений,
объединенных связкой, например: придавая
блоку поступательное движение вдоль
оси V
(для 1-ой связки), мы тем самым заставляем
двигаться блок вдоль оси «Х». Для 2-ой
связки: раскачивая блок вокруг «Y»,
мы тем самым заставляем его двигаться
вдоль оси U.
Если связок нет, то движение вдоль Z
или вокруг Z
существует без каких-либо побочных
движений, т.е. независимо.

В
записи «Т» и «П», представленными в
квадратичной форме, присутствовали
члены:

эта
взаимосвязь – математическая трактовка
физического явления связанности
движений.

т.е.
присутствуют все парные произведения,
следовательно, все движения связаны
между собой.

Введенные
преобразования системы координат
позволяют дать определение плоскости
и оси симметрии. Плоскостью симметрии
называется плоскость относительно
которой делается зеркальное отображение.
Понятие «плоскость симметрии» удобно
проиллюстрировать на буквах алфавита
(рис. 9).

Рис.
9. Плоскости симметрии.

Буква
Б не имеет плоскостей симметрии, буква
Л имеет одну вертикальную плоскость
симметрии AA’,
а С одну горизонтальную плоскость BB’.
Буква Н имеет две плоскости симметрии.
Квадрат имеет 4 плоскости симметрии
проходящие через вершины и середины
сторон (точнее, две системы плоскостей
по две плоскости в каждой), правильный
треугольник – 3, а ромб 2 плоскости
симметрии проходящих через вершины.

Плоскости
симметрии имеют правильные выпуклые
многоугольники и правильные звезчатые
многоугольники.

Скользящей
симметрией называют комбинацию двух
преобразований – зеркальной симметрии
и сдвига (рис. 10).

Рис.
10. Скользящая симметрия. Рис.
11. Ось симметрии второго порядка.

Осью
симметрии порядка n
называется прямая, перпендикулярная
плоскости рисунка,
при повороте относительно которой на
угол π/n
рисунок совпадает сам с собой (рис. 11).
Квадрат имеет ось симметрии четвертого
порядка, правильный треугольник –
третьего. Черно-белый рисунок (рис. 11)
имеет ось симметрии второго порядка,
раскрашенный не имеет оси симметрии.

Типичным
примером фигур, обладающих осями и
плоскостями симметрии являются круглые
окна в готических соборах, украшенные
витражами (13,14).

Рис.
13. Розетка соборо в Упсале, Швеция.

Рис.
14. Церковь св. Николая в Блуа, Франция.
Х111 в.

Вторым
примером, показывающим как используются
на практике плоскости и оси симметрии
являются узоры на полосах. При всем
внешнем разнообразии таких орнаментов,
существует всего семь типов узоров,
которыу удобно иллюстрировать и
обозначать соответствующими буквами
латинского алфавита. Все узоры на полосе
получаются преобразованием сдвига,
т.е. повторением одной и той же стандартной
фигуры, но сама исходная фигура – базовый
элемент узора – может имет свои плоскости
и оси симметрии.

обозначение
L
L
L
L
L
L
L
L
L
L
(L
– повторяющаяся единица орнамента (рис
15)).

Рис.
15. Преобразование сдвига.

Рис.
11. Две плоскости симметрии.

Рис.
12. Арки внутреннего дворики собора в
Солсберри. Англия Х111 в.

Рис.
13. Четвертый тип узора на полосе. Две
оси симметрии.

Рис.
14. Пятый тип узора на полосе. Плоскость
и ось симметрии.

Рис.
15. Шестой тип узора на полосе. Плоскость
симметрии.

Рис.
16. Седьмой тип узора на полосе. Три
плоскости симметрии AA’,
BB’,
CC’
и две оси симметрии второго порядка.

Виды симметрии, определения, примеры

Как и в планиметрии, в пространстве мы будем рассматривать симметрию относительно точки и относительно прямой, но дополнительно появится симметрия относительно плоскости.

Точки А и

называются симметричными относительно точки О (центра симметрии), если О – середина отрезка

Чтобы для заданной точки А получить симметричную ей точку

относительно точки О, нужно провести прямую через точки А и О, отложить от точки О отрезок, равный ОА, и получить искомую точку

Рис. 1. Симметрия относительно точки

Аналогично точки В и

симметричны относительно точки О, т. к. О – середина отрезка

Так, задан закон, согласно которому каждая точка плоскости переходит в другую точку плоскости, и мы говорили, что при этом сохраняются любые расстояния, то есть

Рассмотрим симметрию относительно прямой в пространстве.

Чтобы получить для заданной точки А симметричную точку относительно некоторой прямой а, нужно из точки А на прямую опустить перпендикуляр и отложить на нем равный отрезок (рисунок 2).

Рис. 2. Симметрия относительно прямой в пространстве

называются симметричными относительно прямой а (ось симметрии) если прямая а проходит через середину отрезка

и перпендикулярна ему. Каждая точка прямой

называются симметричными относительно плоскости

(плоскость симметрии) если плоскость

и перпендикулярна ему. Каждая точка плоскости

Рис. 3. Симметрия относительно плоскости

Некоторые геометрические фигуры могут иметь центр симметрии, ось симметрии, плоскость симметрии.

Элементы симметрии фигур

Точка О называется центром симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, в параллелограмме и параллелепипеде точка пересечения всех диагоналей является центром симметрии. Проиллюстрируем для параллелепипеда.

Рис. 4. Центр симметрии параллелепипеда

Так, при симметрии относительно точки О в параллелепипеде

точка А переходит в точку

, точка В – в точку

называется осью симметрии фигуры если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, каждая диагональ ромба является для него осью симметрии, ромб переходит сам в себя при симметрии относительно любой из диагоналей.

Рассмотрим пример в пространстве – прямоугольный параллелепипед (боковые ребра перпендикулярны основаниям, в основаниях – равные прямоугольники). Такой параллелепипед имеет оси симметрии. Одна из них проходит через центр симметрии параллелепипеда (точку пересечения диагоналей) и центры верхнего и нижнего оснований.

называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно нее некоторой точке той же фигуры.

Например, прямоугольный параллелепипед имеет плоскости симметрии. Одна из них проходит через середины противоположных ребер верхнего и нижнего оснований (рисунок 5).

Рис. 5. Плоскость симметрии прямоугольного параллелепипеда

Элементы симметрии присущи правильным многогранникам.

Понятие правильного многогранника, теорема о правильных многогранниках

Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники, а в каждой вершине сходится одинаковое число ребер.

Не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при

Рассмотрим случай, когда

– правильный шестиугольник. Все его внутренние углы равны

внутренние углы будут

В каждой вершине многогранника сходятся не менее трех ребер, значит, в каждой вершине содержится не менее трех плоских углов. Их общая сумма (при условии, что каждый больше либо равен

) больше либо равна

. Это противоречит утверждению: в выпуклом многограннике сумма плоских всех углов при каждой вершине меньше

Примеры правильных многогранников

Куб (рисунок 6):

Рис. 6. Куб

-куб составлен из шести квадратов; квадрат – это правильный многоугольник;

-каждая вершина – это вершина трех квадратов, например вершина А – общая для граней-квадратов ABCD,

-сумма всех плоских углов при каждой вершине составляет

, т. к. состоит из трех прямых углов. Это меньше

, что удовлетворяет понятию правильного многогранника;

-куб имеет центр симметрии – точка пересечения диагоналей;

-куб имеет оси симметрии, например прямые а и b (рисунок 6), где прямая а проходит через середины противоположных граней, а b – через середины противоположных ребер;

-куб имеет плоскости симметрии, например плоскость, которая проходит через прямые а и b.

2. Правильный тетраэдр (правильная треугольная пирамида, все ребра которой равны между собой):

Рис. 7. Правильный тетраэдр

-правильный тетраэдр составлен из четырех равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по три ребра;

, т. к. правильный тетраэдр состоит из трех плоских углов по

— правильный тетраэдр имеет оси симметрии, они проходят через середины противоположных ребер, например прямая MN. Кроме того, MN – расстояние между скрещивающимися прямыми АВ и CD, MN перпендикулярно ребрам АВ и CD;

-правильный тетраэдр имеет плоскости симметрии, каждая проходит через ребро и середину противоположного ребра (рисунок 7);

-правильный тетраэдр не имеет центра симметрии.

3. Правильный октаэдр:

-состоит из восьми равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по четыре ребра;

, т. к. правильный октаэдр состоит из четырех плоских углов по

, что удовлетворяет понятию правильного многогранника.

4. Правильный икосаэдр:

-состоит из двадцати равносторонних треугольников;

-в каждой вершине сходятся по пять ребер;

, т. к. правильный икосаэдр состоит из пяти плоских углов по

5. Правильный додекаэдр:

-состоит из двенадцати правильных пятиугольников;

Итак, мы рассмотрели виды симметрии в пространстве и дали строгие определения. Также определили понятие правильного многогранника, рассмотрели примеры таких многогранников и их свойства.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Плоскость симметрии

Плоскость симметрии делит кристалл на две зеркально равные части. Обозначается она буквой Р. Части, на которые плоскость симметрии рассекает многогранник, относятся одна к другой, как предмет к своему изображению в зеркале разные кристаллы имеют различное количество плоскостей симметрии, которое ставится перед буквой Р. Наибольшее количество таких плоскостей у природных кристаллов – девять 9Р. В кристалле серы насчитывается 3Р, а у гипса только одна. Значит, в одном кристалле может быть несколько плоскостей симметрии. В некоторых кристаллах плоскость симметрии отсутствует.

Относительно элементов ограничения плоскость симметрии может занимать следующее положение:

В кристаллах возможны следующие количества плоскостей симметрии: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, отсутствие плоскости симметрии.

Правило определения собственных частот системы амортизации при 2-х плоскостях симметрии

Пример:
плоскости симметрии XOY,
YOZ.

Полученные
решения отличаются от строгих решений
из-за использования неравенства Релея.

Центральная симметрия

Две фигуры называются симметричными относительно какой-либо точки О пространства, если каждой точке А одной фигуры соответствует в другой фигуре точка А’, расположенная на прямой ОА по другую сторону от точки О, на расстоянии, равном расстоянию точки А от точки О (черт. 114). Точка О называется центром симметрии фигур.

Пример таких симметричных фигур в пространстве мы уже встречали (§ 53), когда, продолжая за вершину рёбра и грани многогранного угла, получали многогранный угол, симметричный данному. Соответственные отрезки и углы, входящие в состав двух симметричных фигур, равны между собой. Тем не менее фигуры в целом не могут быть названы равными: их нельзя совместить одну с другой вследствие того, что порядок расположения частей в одной фигуре иной, чем в другой, как это мы видели на примере симметричных многогранных углов.

В отдельных случаях симметричные фигуры могут совмещаться, но при этом будут совпадать несоответственные их части. Например, возьмём прямой трёхгранный угол (черт. 115) с вершиной в точке О и рёбрами ОХ, OY, OZ.

Построим ему симметричный угол ОХ’Y’Z’. Угол OXYZ можно совместить с OX’Y’Z’ так, чтобы ребро ОХ совпало с OY’, а ребро OY c OX’. Если же совместить соответственные рёбра ОХ с ОХ’ и OY с OY’, то рёбра OZ и OZ’ окажутся направленными в противоположные стороны.

Если симметричные фигуры составляют в совокупности одно геометрическое тело, то говорят, что это геометрическое тело имеет центр симметрии. Таким образом, если данное тело имеет центр симметрии, то всякой точке, принадлежащей этому телу, соответствует симметричная точка, тоже принадлежащая данному телу. Из рассмотренных нами геометрических тел центр симметрии имеют, например:

Симметрия относительно плоскости

Две пространственные фигуры называются симметричными относительно плоскости Р, если каждой точке А в одной фигуре соответствует в другой точка А’, причём отрезок АА’ перпендикулярен к плоскости Р и в точке пересечения с этой плоскостью делится пополам.

Всякие два соответственных отрезка в двух симметричных фигурах равны между собой.

Пусть даны две фигуры, симметричные относительно плоскости Р. Выделим две какие-нибудь точки А и В первой фигуры, пусть А’ и В’ — соответствующие им точки второй фигуры (черт. 116, на чертеже фигуры не изображены).

Пусть далее С — точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р, D — точка пересечения отрезка ВВ’ с той же плоскостью. Соединив прямолинейным отрезком точки С и D, получим два четырёхугольника ABDC и A’B’DC. Так как AС = A’С, BD = B’D и

∠ACD = ∠ACD, ∠BDC = ∠В’DC, как прямые углы, то эти четырёхугольники равны (в чём легко убеждаемся наложением). Следовательно, АВ = А’В’. Из этой теоремы непосредственно вытекает, что соответствующие плоские и двугранные углы двух фигур, симметричных относительно плоскости, равны между собой. Тем не менее совместить эти две фигуры одну с другой так, чтобы совместились их соответственные части, невозможно, так как порядок расположения частей в одной фигуре обратный тому, котoрый имеет место в другой. Простейшим примером двух фигур, симметричных относительно плоскости, являются: любой предмет и его отражение в плоском зеркале; всякая фигура, симметрична со своим зеркальным отражением относительно плоскости зеркала.

Если какое-либо геометрическое тело можно разбить на две части, симметричные относительно некоторой плоскости, то эта плоскость называется плоскостью симметрии данного тела.

Геометрические тела, имеющие плоскость симметрии, чрезвычайно распространены в природе и в обыденной жизни. Тело человека и животного имеет плоскость симметрии, разделяющую его на правую и левую части.

На этом примере особенно ясно видно, что симметричные фигуры нельзя совместить. Так, кисти правой и левой рук симметричны, но совместить их нельзя, что можно видеть хотя бы из того, что одна и та же перчатка не может подходить и к правой и к левой руке. Большое число предметов домашнего обихода имеет плоскость симметрии: стул, обеденный стол, книжный шкаф, диван и др. Некоторые, как например обеденный стол, имеют даже не одну, а две плоскости симметрии (черт. 117).

Обычно, рассматривая предмет, имеющий плоскость симметрии, мы стремимся занять по отношению к нему такое положение, чтобы плоскость симметрии нашего тела, или по крайней мере нашей головы, совпала с плоскостью симметрии самого предмета. В этом случае симметричная форма предмета становится особенно заметной.

Симметрия относительно оси. Ось симметрии второго порядка.

Две фигуры называются симметричными относительно оси l (ось-прямая линия), если каждой точке А первой фигуры соответствует точка А’ второй фигуры, так что отрезок АА’ перпендикулярен к оси l, пересекается с нею и в точке пересечения делится пополам. Сама ось l называется осью симметрии второго порядка.

Из этого определения непосредственно следует, что если два геометрических тела, симметричных относительно какой-либо оси, пересечь плоскостью, перпендикулярной к этой оси, то в сечении получатся две плоские фигуры, симметричные относительно точки пересечения плоскости с осью симметрии тел.

Отсюда далее легко вывести, что два тела, симметричных относительно оси, можно совместить одно с другим, вращая одно из них на 180° вокруг оси симметрии. В самом деле, вообразим все возможные плоскости, перпендикулярные к оси симметрии.

Каждая такая плоскость, пересекающая оба тела, содержит фигуры, симметричные относительно точки встречи плоскости с осью симметрии тел. Если заставить скользить секущую плоскость саму по себе, вращая её вокруг оси симметрии тела на 180°, то первая фигура совпадает со второй.

Это справедливо для любой секущей плоскости. Вращение же всех сечений тела на 180° равносильно повороту всего тела на 180° вокруг оси симметрии. Отсюда и вытекает справедливость нашего утверждения.

Если после вращения пространственной фигуры вокруг некоторой прямой на 180° она совпадает сама с собой, то говорят, что фигура имеет эту прямую своею осью симметрии второго порядка.

Название «ось симметрии второго порядка » объясняется тем, что при полном обороте вокруг этой оси тело будет в процессе вращения дважды принимать положение, совпадающее с исходным (считая и исходное). Примерами геометрических тел, имеющих ось симметрии второго порядка, могут служить:

1) правильная пирамида с чётным числом боковых граней; осью её симметрии служит её высота;

2) прямоугольный параллелепипед; он имеет три оси симметрии: прямые, соединяющие центры его противоположных граней;

3) правильная призма с чётным числом боковых граней. Осью её симметрии служит каждая прямая, соединяющая центры любой пары её противоположных граней (боковых граней и двух оснований призмы). Если число боковых граней призмы 2k, то число таких осей симметрии будет k + 1. Кроме того, осью симметрии для такой призмы служит каждая прямая, соединяющая середины её противоположных боковых рёбер. Таких осей симметрии призма имеет А.

Таким образом, правильная 2k-гранная призма имеет 2k+1 осей, симметрии.

Зависимость между различными видами симметрии в пространстве.

Между различными видами симметрии в пространстве — осевой, плоскостной и центральной — существует зависимость, выражаемая следующей теоремой.

Если фигура F симметрична с фигурой F’ относительно плоскости Р и в то же время симметрична с фигурой F» относительно точки О, лежащей в плоскости Р, то фигуры F’ и F» симметричны относительно оси, проходящей через точку О и перпендикулярной к плоскости Р.

Возьмём какую-нибудь точку А фигуры F (черт. 118). Ей соответствует точка А’ фигуры F’ и точка А» фигуры F» (сами фигуры F, F’ и F» на чертеже не изображены).

Пусть B — точка пересечения отрезка АА’ с плоскостью Р. Проведeм плоскость через точки А, А’ и О. Эта плоскость будет перпендикулярна к плоскости Р, так как проходит через прямую АА’, перпендикулярную к этой плоскости. В плоскости АА’О проведём прямую ОН, перпендикулярную к ОВ. Эта прямая ОН будет перпендикулярна и к плоскости Р. Пусть далее С-точка пересечения прямых А’А» и ОН.

Оси симметрии высших порядков

Фигура, имеющая ось симметрии, совмещается сама с собой после поворота вокруг оси симметрии на угол в 180°. Но возможны случаи, когда фигура приходит к совмещению с исходным положением после поворота вокруг некоторой оси на угол, меньший 180°. Таким образом, если тело сделает полный оборот вокруг этой оси, то в процессе вращения оно несколько раз совместится со своим первоначальным положением. Такая ось вращения называется осью симметрии высшего порядка, причём число положений тела, совпадающих с первоначальным, называется порядком оси симметрии. Эта ось может и не совпадать с осью симметрии второго порядка. Так, правильная треугольная пирамида не имеет оси симметрии второго порядка, но её высота служит для неё осью симметрии третьего порядка. В самом деле, после поворота этой пирамиды вокруг высоты на угол в 120° она совмещается сама с собой (черт. 119).

При вращении пирамиды вокруг высоты она может занимать три положения, совпадающие с исходным, считая и исходное. Легко заметить, что всякая ось симметрии чётного порядка есть в то же время ось симметрии второго порядка.

Примеры осей симметрии высших порядков:

1) Правильная n-угольная пирамида имеет ось симметрии n-го порядка. Этой осью служит высота пирамиды.

2) Правильная n-угольная призма имеет ось симметрии n-го порядка. Этой осью служит прямая, соединяющая центры оснований призмы.

Симметрия куба.

Как и для всякого параллелепипеда, точка пересечения диагоналей куба есть центр его симметрии.

Куб имеет девять плоскостей симметрии: шесть диагональных плоскостей и три плоскости, проходящие через середины каждой четвёрки его параллельных рёбер.

Куб имеет девять осей симметрии второго порядка: шесть прямых, соединяющих середины его противоположных рёбер, и три прямые, соединяющие центры противоположных граней (черт. 120).

Эти последние прямые являются осями симметрии четвёртого порядка. Кроме того, куб имеет четыре оси симметрии третьего порядка, которые являются его диагоналями. В самом деле, диагональ куба АG (черт. 120), очевидно, одинаково наклонена к рeбрам АВ, АD и АЕ, а эти рёбра одинаково наклонены одно к другому. Ecли соединить точки В, D и Е, то получим правильную треугольную пирамиду АDВЕ, для которой диагональ куба AG служит высотой. Когда при вращении вокруг высоты эта пирамида будет совмещаться сама с собой, весь куб будет совмещаться со своим исходным положением. Других осей симметрии, как нетрудно убедиться, куб не имеет. Посмотрим, сколькими различными способами куб может быть совмещён сам с собой. Вращение вокруг обыкновенной оси симметрии даёт одно положение куба, отличное от исходного, при котором куб в целом совмещается сам с собой.

Вращение вокруг оси третьего порядка даёт два таких положения, и вращение вокруг оси четвёртого порядка — три таких положения. Так как куб имеет шесть осей второго порядка (это обыкновенные оси симметрии), четыре оси третьего порядка и три оси четвёртого порядка, то имеются 6•1 + 4•2 + 3•3 = 23 положения куба, отличные от исходного, при которых он совмещается сам с собой.

Легко убедиться непосредственно, что все эти положения отличны одно от другого, а также и от исходного положения куба. Вместе с исходным положением они составляют 24 способа совмещения куба с самим собой.

Ось симметрии – воображаемая ось, при повороте вокруг которой на некоторый угол фигура совмещается сама с собой в пространстве. Она обозначается буквой L. У кристаллов при вращении вокруг оси симметрии на полный оборот одинаковые элементы ограничения (грани, ребра, углы) могут повторяться только 2, 3, 4, 6 раз. Соответственно этому оси будут называться осями симметрии второго, третьего, четвертого и шестого порядка и обозначаться: L2, L3, L4 и L6. Порядок оси определяется числом совмещений при повороте на 360⁰С.

Ось симметрии первого порядка не принимается во внимание, так как ею обладают вообще не фигуры, в том числе и несимметричные. Количество осей одного и того же порядка пишут перед буквой L: 6L6, 3L4 и т.п.

Центр симметрии

Центр симметрии – это точка внутри кристалла, в которой пересекаются и делятся пополам линии, соединяющие одинаковые элементы ограничения кристалла (грани, ребра, углы). Обозначается она буквой С. Практически присутствие центра симметрии будет сказываться в том, что каждое ребро многогранника имеет параллельное себе ребро, каждая грань – такую же параллельную себе зеркально-обратную грань. Если же в многограннике присутствуют грани, не имеющие себе параллельных, то такой многогранник не обладает центром симметрии.

Достаточно поставить многогранник гранью на стол, чтобы заметить, имеется ли сверху такая же параллельная ей зеркально-обратная грань. Конечно, на параллельность нужно проверить все типы граней.

Существует ряд простых закономерностей, по которым сочетаются друг с другом элементы симметрии. Значение этих правил облегчает их нахождение.

Степенью симметрии называется совокупность всех элементов симметрии, которыми обладает данный кристалл.

Кристалл, имеющий форму куба, обладает высокой степенью симметрии. В нем присутствуют три оси симметрии четвертого порядка (3L4), проходящие через середины граней куба, четыре оси симметрии третьего порядка (4L3), проходящие через вершины трехгранных углов, и шесть осей второго порядка (6L2), проходящих через середины ребер. В точке пересечения осей симметрии располагается центр симметрии куба (С). Кроме того, в кубе можно провести девять плоскостей симметрии (9Р). Элементы симметрии кристалла можно изобразить кристаллографической формулой.

Для куба формула имеет вид: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.

Русский ученый А. В. Гадолин в 1869 г. показал, что у кристаллов возможны 32 различных сочетания элементов симметрии, составляющих классы (виды) симметрии. Таким образом, класс объединяет группу кристаллов с одинаковой степенью симметрии.

Зеркально – поворотные оси симметрии.

Зеркально
– поворотная ось симметрии n
– малого
порядка (Sn)
– это такая
операция, при которой кристалл совмещается
сам с собой, если произвести его поворот
вокруг обычной оси n
– малого
порядка с последующем отражением
кристалла в плоскости σh
перпендикулярной оси n
– го порядка. При этом в отдельности ни
ось Cn
ни плоскость σh
не являются
элементами симметрии кристалла,
преобразованием симметрии является их
комбинация (“произведение”),
т.е.

значит, зеркальный поворот

ля
примера рассмотрим молекулу этиленаC2H4,
ее структура показана на рисунке. Атомы
1, 2
лежат в плоскости σv1,
а 3,
4 в плоскости
σv2.
Эти плоскости
пересекаются на линии С-С. Видно, что
линия С-С является осью симметрии второго
порядка С2.
Плоскость σv1
является плоскостью симметрии молекулы,
потому что, при отражении в ней атомы
водорода 1 и 2, и атомы углерода остаются
на месте, а атомы 3,
4 меняются
местами, σv2
также
является плоскостью симметрии. Ось С-С
не является осью симметрии четвертого
порядка (С4).
Плоскость σh
перпендикулярная
оси С2
не является элементом симметрии молекулы,
но видно что, если произвести поворот
молекулы вокруг линии С-С на 900,
а затем произвести отражение в плоскости
σh,
то молекула совпадет сама с собой.
Следовательно, произведение

является самостоятельным преобразованием
симметрии молекулу этилена значит,
линия С-С является зеркально поворотной
осью симметрии четвертого порядка:

.
Двукратно повторенная операция
зеркального поворота также будет
преобразованием симметрии:

.
Особым свойством обладает зеркальный
поворот второго порядкаS2,
он называется инверсией:

.
Точка пересечения оси С2
с плоскостью σh
называется точкой инв

.
Таким образом, операция инверсии
переводит любой вектор

.
Если кристалл имеет центр симметрии,
то такой кристалл совмещается сам с
собой, если все его точки перевести за
цент по прямой на равные расстояния.
КристаллыNaCl
имеют центр симметрии – точку О.