Формулы симметрии и тридцать два вида симметрии кристаллов
Перечень
всех элементов симметрии кристалла,
записанный в виде их символов, называется
формулой симметрии. Например, если в
кристалле имеются три оси 1,2, три плоскости
симметрии и центр симметрии (рис. 25, а),
то его формулой симметрии будет З-С^ЗРС.
Если кристалл обладает одной осью
симметрии третьего порядка Ьз,тремя
вертикальными и одной горизонтальной
плоскостью симметрии и тремя осями
второго порядка (рис. 25, б), то его формула
симметрии будет ЬъЪЬъ^Р. Но одновременно
в этом кристалле ось Ьз является осью
1^6. Поэтому его формулу симметрии можно
записать и так: Х,-631/24Р. В таких формулах
порядок записи следующий: сначала
главные оси, затем другие, потом плоскости
и центр инверсии.
Рис.
25. Многогранники с разными наборами
элементов симметрии.
Кристаллы
одного и того же минерала независимо
от их огранки характеризуются одно и
той же формулой симметрии. Число таких
формул не беспредельно, поскольку
элементы симметрии взаимосвязаны между
собой. Геометрический вывод всех
возможных сочетаний элементов
симметрии в кристаллах был сделан
немецким минералогом И. Гесселем в
1830 г. и финном А. В. Гадолиным в 1867 г. Из
него следует, что в природе может
существовать только 32 сочетания, или,
как принято говорить, 32 вида симметрии,
которые объединены в семь групп — семь
сингоний. Перечень видов симметрии и
сингоний приведен в табл. 5.
Простыв кристаллографические формы
Естественные
форма и огранка кристаллов зависят от
их структуры и условий образования.
Каждая грань отвечает плоской сетке, а
внешняя симметрия кристаллов соответствует
симметрии их структуры.
Наиболее
совершенные по своей огранке кристаллы
образуются при равномерной диффузии
вещества ко всем частям растущего
кристалла и при одинаковой дефектности
кристаллической решетки во всех ее
частях. На таких кристаллах закономерно
повторяются одинаковые грани. На одних
кристаллах это грани только одного
вида, например грани гексаэдра (куба),
на других повторяются грани двух, трех
и более видов. На кристаллах одинаковые
грани соответствуют одинаковым плоским
сеткам в структуре минерала, они
характеризуются одним и тем же узором
расположения атомов и схожим механизмом
роста (рис. 26).
Рис.
26. Одинаковые узор и плотность расположения
атомов на одинаковых гранях кристалла
(Вадило, 1964).
Совокупность
граней кристалла, отвечающих одинаковым
плоским сеткам, называется простой
кристаллографической формой. На
кристалле, изображенном на рис. 26, имеется
26 граней, они принадлежат к трем простым
кристаллографическим формам. К одной
простой форме относятся шесть граней,
к другой — восемь, к третьей— двенадцать.
Выделение простых кристаллографических
форм на кристаллах имеет большой
физический смысл, а именно: одинаковые
грани характеризуются одними и теми же
скоростями роста, блеском, твердостью
и сходством других свойств.
На
идеально развитом кристалле все грани
одной и той же простой кристаллографической
формы одинаковы. Отсюда—сколько на
равномерно развитом кристалле сортов
граней, столько на нем и простых
кристаллографических форм. Исходя из
строгого определения, простой
кристаллографической формой можно
назвать совокупность граней, связанных
друг с другом элементами симметрии.
Чаще
всего кристаллы огранены комбинацией
нескольких простых кристаллографических
форм. Чтобы представить себе в объеме
геометрические очертания каждой из
них, надо мысленно продлить все грани
данной простой кристаллографической
формы так, как будто бы им не мешали
расти грани других простых
кристаллографических форм, и попытаться
оценить вид получившегося многогранника.
Легко догадаться, что большие грани
квадратных очертаний (их шесть) на рис.
26 есть грани гексаэдра (куба). Труднее
представить, чем являются небольшие
грани шестиугольных очертаний. Их
восемь, а если их сомкнуть друг с другом,
получится многогранник из восьми
равносторонних треугольников. Такой
восьмигранник называется в геометрии
октаэдром. Наконец, если мысленно
соединить длинные прямоугольные грани,
а их двенадцать, получится фигура,
называемая ромбододекаэдром. Следовательно,
можно сказать, что кристалл образован
гранями трех простых кристаллографических
форм — куба, октаэдра и ромбододекаэдра.
Доказано,
что в мире кристаллов число простых
кристаллографических форм ограничено.
Всего их 47.
В
сингониях низшей категории возможны
моноэдры, диэдры, пинакоиды (от греч.
monos—один; hedra (эдр) — сторона, грань;
pinax—доска), ромбические призмы,
ромбические пирамиды, ромбические
дипирамиды и ромбические тетраэдры
(рис. 27).
Рис.
27. Простые формы низшей категории
сингоний. В сингониях средней категории
вероятны моноэдры, пинакоиды, призмы
разного рода, различные пирамиды и
дипирамиды, трапецоэдры, ромбоэдры,
скаленоэдры, тетрагональные тетраэдры
(рис. 28).
Рис.
28. Простые формы средней категории
сингоний.
В
кубической сингонии возможны 15 простых
кристаллографических форм, из них на
кристаллах минералов чаще всего
наблюдаются тетраэдр, октаэдр, гексаэдр
(куб), ромбододекаэдр, Пентагон-додекаэдр,
тетрагон-триоктаэдр (рис. 29).
Рис.
29. Простые формы кубической сингонии.
Как
видно, простые формы могут быть закрытыми
и открытыми. Первые образуют привычные
всем геометрические фигуры, целиком
ограничивающие какой-либо конечный
объем. Таковы, например, куб, октаэдр,
ромбоэдр, скаленоэдр, дипира-миды.
Открытые формы являются незамкнутыми
и тем самым они поначалу менее понятны.
Таковы пирамиды с бесконечно расходящимися
от вершины гранями, пина-коид (две
беспредельно протяженные в пространстве
параллельные друг другу плоскости)
и призмы, напоминающие беспредельно
идущие трубы многоугольного сечения,
ничем не ограниченные по их длине.
Реальное сочетание в природе граней
открытых и закрытых простых
кристаллографических форм дает кристаллу
его конечный телесный объем.
ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
И КРИСТАЛЛОХИМИИ
Кристаллография
— наука о кристаллах. Она изучает их
внешнюю форму, внутреннее строение
(структуру), физико-химические свойства,
происхождение. Современная кристаллография
включает следующие основные разделы:
морфология кристаллов (геометрическая
кристаллография), кристаллохимия
(структурная кристаллография),
кристаллофизика, кристаллогенезис
(рост кристаллов).
Кристаллическими
называются твердые вещества, построенные
из материальных частиц — ионов, атомов
или молекул, геометрически правильно
расположенных в пространстве. Для
описания порядка расположения частиц
в пространстве их стали отождествлять
с точками. Из такого подхода постепенно
сформировалось представление о
пространственной или кристаллической
решетке как о бесконечном трехмерном
периодическом образовании (рис.1). В ней
выделяют узлы (отдельные точки, центры
тяжести атомов и ионов), ряды ( ряд —
совокупнось узлов, лежащих на одной
прямой) и плоские сетки ( плоскости
проходящие через любые три узла). Таким
образом, кристаллическое вещество имеет
строго закономерное (решетчатое или
ретикулярное) внутреннее строение ( от
лат. reticulum — сеточка). При благоприятных
условиях они могут самоограняться,
образуя правильные геометрические
многогранники — кристаллы. Геометрически
правильная форма кристаллов обусловливается
прежде всего их строго закономерным
внутренним строением. Сетки кристаллической
решетки соответствуют граням реального
кристалла, места пересечения сеток —
ряды — ребрам кристаллов, а места
пересечения ребер — вершинам кристаллов.
Аморфными называются
твердые тела, в которых частицы
располагаются в пространстве беспорядочно.
Иногда их называют минералоидами.
Все кристаллы
обладают рядом основных специфических
свойств, отличающих их от некристаллических
аморфных тел. Такими свойствами являются:
Элементы симметрии кристаллов
Изучение кристаллов
начинается с рассмотрения их внешней
формы. Внешняя форма хорошо сформированных
кристаллических многогранников может
быть описана с помощью элементов
симметрии.
Симметричным считается
объект, который может быть совмещен сам
с собой определенными преобразованиями:
поворотами или (и) отражениями в зеркальной
плоскости.
Элементы
симметрии
— это вспомогательные геометрические
образы (плоскости, прямые линии, точки),
с помощью которых обнаруживается
симметрия фигур.
Плоскость
симметрии — это воображаемая плоскость,
которая делит фигуру на две равные части
так, что одна из частей является зеркальным
отражением другой. Плоскость симметрии
обозначается буквой Р (рис.2). Если
плоскостей симметрии в данном кристалле
несколько, то перед обозначением
плоскости ставится их число. Например
3Р ( три плоскости симметрии имеет
спичечная коробка)(рис.4).
В кристаллах может быть одна, две, три,
четыре, пять, шесть, семь и девять
плоскостей симметрии. Теоретически
можно доказать, что восьми и более девяти
плоскостей симметрии в кристаллах быть
не может Многие кристаллы вообще не
имеют ни одной плоскости симметрии.
Ось
симметрии — воображаемая прямая линия
, при повороте вокруг которой всегда на
один и тот же угол происходит совмещение
равных частей фигуры. Наименьший угол
поворота вокруг оси, приводящий к такому
совмещению, называется элементарным
углом поворота оси симметрии a. Его
величина определяет порядок оси симметрии
n, который равен числу самосовмещений
при полном повороте фигуры на 360o
(n = 360/a).
Оси симметрии
обозначаются буквой L с цифровым индексом,
указывающим на порядок оси — Ln.
Доказано, что в кристаллах возможны
только оси второго, третьего, четвертого
и шестого порядков.
Они
обозначаются L2,
L3
,
L4
,
L6.
Осей пятого и порядка выше шестого в
кристаллах не бывает. Оси третьего L3,
четвертого L4
и шестого L6
порядка принято считать осями высшего
порядка.
Центр симметрии
(центр инверсии) — это такая точка внутри
фигуры при проведении через которую
любая прямая встретит на равном от нее
расстоянии одинаковые и обратно
расположенные части фигуры. Центр
симметрии обозначается буквой С (рис.3).
Если каждая грань кристалла имеет себе
равную и параллельную или обратно
параллельную, то данный кристалл обладает
центром симметрии. Некоторые кристаллы
могут не иметь центра симметрии (рис.5).
Перечень всех
элементов симметрии кристалла, записанный
в виде их символов, называется формулой
симметрии или видом симметрии.
Cтрогий математический
анализ (Гессель, 1830, Гадолин, 1867) показал,
что существует всего 32 вида симметрии.
Это все возможные для кристаллов
комбинации элементов симметрии.
32 вида симметрии объединяются
в сингонии. Всего различают семь сингоний.
Название «сингония»
происходит от греческого » син» —
«сходно» и «гон» -«угол».
Сингонию кристалла определяют по
обязательным и сходным для каждой
сингонии элементам симметрии, а также,
основываясь на наличии или отсутсвии
единичных направлений.
Единичное направление
(Е) — это единственное, неповторяющееся
какими-либо операциями симметрии данной
группы направление в кристаллическом
многограннике.
7 сингоний объединены
в три категории.
Низшая
категория объединяет триклинную
,моноклинную и ромбическую сингонии.
Кристаллы этих сингоний не имеют осей
симметрии выше второго порядка.
Средняя
категория объединяет тригональную,
тетрагональную и гексагональную
сингонии. Кристаллы этих сингоний имеют
только одну ось симметрии высшего
порядка (L3,
L4,
L6),
которые совпадают с единственным
единичным направлением.
Высшая
категория — кубическая сингония —
объединяет кристаллы, которые обязательно
имеют 4L3.
Единичных направлений нет. Все направления
симметрично-равные.
Таблица 1.
Названия и формулы 32 видов симметрии.
Соседние файлы в предмете Кристаллография
Межплоскостные
расстояния для серии плоскостей (hkl)
определяют по формуле
Однако столь
громоздкой формулой приходится
пользоваться лишь для триклинных
кристаллов, а для остальных в силу
соответствующих соотношений между
параметрами решётки формулы существенно
упрощаются:
Формула (5.2е)
особенно наглядно показывает, что
межплоскостное расстояние, а значит, и
ретикулярная плотность плоскостей
уменьшаются по мере увеличения индексов
плоскостей.
Объём элементарной
ячейки
вычисляется по формуле:
Раскрывая скобки
по правилам векторного исчисления,
получим
Так вычисляется
объём триклинной примитивной ячейки,
а для остальных сингоний формула (5.4)
упрощается.
Объём элементарной
ячейки равен:
Угол
между двумя плоскостями (h1k1l1)
и (h2k2l2)
находим как угол между их обратными
векторами:
Записав скалярное
произведение этих векторов:
Угол
между прямой
и плоскостью (hkl)
вычисляется с помощью обратного вектора
этой плоскости
Плоскости (h1k1l1),
(h2k2l2)
и (h3k3l3)
принадлежат одной зоне, если соответствующие
им обратные векторы
компланарны, т.е. построенный на них
параллелепипед должен иметь нулевой
объём:
или, иначе говоря,
