КАКАЯ ПЛОСКОСТЬ ЯВЛЯЕТСЯ ПЛОСКОСТЬЮ СИММЕТРИИ ШАРА

Шар – это тело, состоящее из всех точек пространства, которые находятся на расстоянии, не большем данного от данной точки. Эта точка называется центром шара, а данное расстояние – радиусом шара. Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой. Точками сферы являются все точки шара, которые удалены от центра на расстояние, равное радиусу. Любой отрезок, который соединяет центр шара с точкой шаровой поверхности, тоже называется радиусом. Проходящий через центр шара отрезок, который соединяет две точки шаровой поверхности, называется диаметром. Концы любого диаметра называются диаметрально противоположными точками шара.

Шар является телом вращения, так же как конус и цилиндр. Шар получается при вращении полукруга вокруг  его диаметра как оси.

Площадь поверхности шара можно найти по формулам:

S = 4 πr2

S = πd2,

где r – радиус шара, d – диаметр шара.

Объём шара находится по формуле:

V = 4 / 3 πr3,

где r – радиус шара.

Теорема. Всякое сечение шара плоскостью есть круг. Центр этого круга есть основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Исходя из данной теоремы, если шар с центром O и радиусом R пересечён плоскостью α, то в сечении получается круг радиуса r с центром K. Радиус сечения шара плоскостью можно найти по формуле

Из формулы видно, что плоскости, равноудалённые от центра, пересекают шар по равным кругам. Радиус сечения тем больше, чем ближе секущая плоскости к центру шара, то есть чем меньше расстояние ОК. Наибольший радиус имеет сечение плоскостью, проходящей через центр шара. Радиус этого круга равен радиусу шара.

Плоскость, проходящая через центр шара, называется диаметральной плоскостью. Сечение шара диаметральной плоскостью, называется большим кругом, а сечение сферы – большим кругом, а сечение сферы – большой окружностью.

Теорема. Любая диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр шара является его центром симметрии.

Плоскость, которая и проходит через точку А шаровой поверхности и перпендикулярна радиусу, проведённому в точку А, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой касания.

Теорема. Касательная плоскость имеет с шаром только одну общую точку – точку касания.

Прямая, которая проходит через точку А шаровой поверхности перпендикулярно к радиусу, проведённому в эту точку, называется касательной.

Теорема. Через любую точку шаровой поверхности проходит бесконечно много касательных, причём все они лежат в касательной плоскости шара.

Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью. Круг ABC – основание шарового сегмента. Отрезок MN перпендикуляра, проведенного из центра N круга ABC до пересечения со сферической поверхностью, – высота шарового сегмента. Точка M – вершина шарового сегмента.

Площадь поверхности шарового сегмента можно вычислить по формуле:

S = 2πRh,

где R – радиус большого круга, h – высота шарового сегмента.

Объём шарового сегмента можно найти по формуле:

V = πh2(R – 1/3h),

Шаровой сектор получается из шарового сегмента и конуса, следующим образом. Если шаровой сегмент меньше полушара, то шаровой сегмент дополняется конусом, у которого вершина в центре шара, а основанием является основание сегмента. Если же сегмент больше полушара, то указанный конус из него удаляется.

Шаровой сектор – это часть шара, ограниченная кривой поверхностью сферического сегмента (на нашем рисунке – это AMCB) и конической поверхностью (на рисунке – это OABC), основанием которой служит основание сегмента (ABC), а вершиной – центр шара O.

Объем шарового сектора находится по формуле:

V = 2/3 πR2H.

Шаровый слой – это часть шара, заключённая между двумя параллельными плоскостями (на рисунке плоскостями ABC и DEF), пересекающими сферическую поверхность. Кривая поверхность шарового слоя называется шаровым поясом (зоной). Круги  ABC и DEF – основания шарового пояса. Расстояние NK между основаниями шарового пояса – его высота.

Общая плоскость симметрии

👍 Проверено Автор24

плоскость, относительно которой наибольшее отклонение плоскостей симметрии нескольких рассматриваемых элементов в пределах длины этих элементов имеет минимальное значение.

На тему «Общая плоскость симметрии»

Статья от экспертов

Моделирование пересечения поверхностей второго порядка с общей плоскостью симметрии в системе «Компас-3D»

Ассматриваются задачи, направленные на построение линии пересечения алгебраических поверхностей с общей плоскостью симметрии (за исключением случаев распадения линии на две плоские кривые). Описано создание в графической системе «КОМПАС-3D» пересекающихся поверхностей второго порядка с общей плоскостью симметрии. Анализируются линии пересечения и определяются их характерные точки асимптоты, фокусы, вершины.

Цилиндр, конус, шар

Рассматривается проблема устойчивости пучков заряженных частиц, которая возникает при отклонении движения частиц от плоскости симметрии z = 0 электрического и/или магнитного поля. Для электрических полей показано, что если для электростатического потенциала U(x, y), заданного в плоскости симметрии z = 0, выполнено условие Uxx + Uyy < -ε2 < 0, то это будет достаточным условием, чтобы при малом отклоне-нии положительно заряженных частиц от плоскости симметрии z = 0 пучок, двигающийся в данном элек-трическом поле, оставался в ограниченной окрестности плоскости симметрии. Дополнительно возможно по-строить конструктивные оценки, насколько далеко от плоскости симметрии может удаляться траектория при заданном возмущении начальных условий. Указанный достаточный критерий устойчивости и компакт-ности пучков может быть обобщен для магнитных полей с плоскостью симметрии и для совмещенных элек-тростатических и магнитостатических полей с общей плоскостью симметрии.

Еще термины по предмету «Детали машин»

зубчатая передача, в которой аксоидные поверхности зубчатых колес расположены одна вне другой.

Переходная кривая зуба

часть профиля зуба, расположенная в пределах его переходной поверхности.

Разноразмерность диаметра партии группы роликов

разность между средними диаметрами в единичной радиальной плоскости ролика, имеющего наибольший такой диаметр, и ролика, имеющего наименьший такой диаметр, партии группы роликов; для цилиндрических и игольчатых роликов используют радиальную плоскость, проходящую через середину длины ролика.

Смотреть больше терминов

Повышай знания с онлайн-тренажером

Напомним,
что шаром называется тело, состоящее из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии не большем заданного от некоторой данной точки. Эта
точка – центр шара, а заданное расстояние – радиус шара.

Шар
так же, как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается в
результате вращения полукруга вокруг его диаметра.

Поверхность,
образуемая при этом вращении полуокружности, называется сферой. Можно
сказать, что сфера – это как бы оболочка, или граница, шара. Как окружность
есть граница круга, так и сфера – это граница шара.

Назовём
элементы сферы и шара.

Радиус
сферы – это отрезок, соединяющий центр сферы и любую её точку.

Хорда
сферы – отрезок, соединяющий две точки сферы.

Диаметр
сферы – хорда сферы, проходящая через её центр.

Радиус,
хорда, диаметр шара – это радиус, хорда, диаметр его сферы.

Любое
сечение шара плоскостью есть круг. Центром этого круга является основание
перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Плоскость,
которая проходит через центр шара, называется диаметральной плоскостью.
Сечение ею шара – большим кругом, а сечение сферы – большой
окружностью.

Любая
диаметральная плоскость шара является его плоскостью симметрии. Центр
шара является его центром симметрии.

Плоскость,
проходящая через точку А сферы и перпендикулярно радиусу, проведённому в
эту точку, называется касательной плоскостью. Точка А называется точкой
касания.

Свойство
касательной плоскости к сфере: радиус сферы,
проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

Признак
касательной плоскости к сфере: плоскость,
перпендикулярная радиусу сферы в конечной его точке на сфере, является
касательной к сфере.

Касательная
плоскость пересекается с шаром в единственной точке – в точке касания.

Касательной
прямой к сфере (шару) называется прямая, имеющая со сферой
единственную общую точку.

Отрезки
касательных к сфере, проведённые из одной точки, равны и составляют равные углы
с прямой, проходящей через эту точку и центр сферы.

Линией
пересечения двух сфер является окружность.

Шаровым
сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью.
Площадь боковой поверхности шарового сегмента:

Шаровым
сектором называется тело, которое получается из шарового
сегмента и конуса, основанием которого является сечение плоскостью данного шара.

Площадь
боковой поверхности шарового сектора:

Шар
называется вписанным в многогранник, а многогранник – описанным около
шара, если поверхность шара касается всех граней многогранника.

Шар
называется описанным около многогранника, а многогранник – вписанным
в шар, если поверхность шара проходит через все вершины многогранника.

Шар
называется вписанным в цилиндр, а цилиндр – описанным около шара,
если поверхность шара касается оснований цилиндра и всех образующих.

Шар
называется описанным около цилиндра, если окружности оснований цилиндра
принадлежат поверхности шара.

Шар
называется вписанным в конус (усечённый конус), а конус
(усечённый конус) – описанным около шара, если поверхность шара касается
основания (оснований) конуса и всех образующих.

Шар
называется описанным около конуса (усечённого конуса), если окружность
основания и вершина (окружности оснований) конуса принадлежат поверхности шара.

Если
боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, то в такую
пирамиду можно вписать шар.

Около
пирамиды можно описать шар тогда и только тогда, когда около её основания можно
описать окружность.

Если
боковые рёбра пирамиды равны между собой (или одинаково наклонены к плоскости
основания), то около такой пирамиды можно описать шар.

В
призму можно вписать шар тогда и только тогда, когда в перпендикулярное
сечение этой призмы можно вписать окружность, а высота призмы равна диаметру
окружности, вписанной в это перпендикулярное сечение.

Описать
шар около призмы можно тогда и только тогда, когда призма прямая и около её основания
можно описать окружность.

Основные
моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части
занятия.

Задача
первая. Радиус шара увеличили в

Задача
вторая. Объём шара равен

Задача
третья. Шар пересечен плоскостью. Площадь сечения равна

см2.
Расстояние от центра шара до плоскости сечения равно

Задача
четвёртая. В конус с радиусом основания, равным

см,
и высотой, равной

Задача
пятая. Найдите объём шарового сектора, если радиус
окружности его основания равен

см,
а радиус шара –

Задача
шестая. Шар с радиусом

см
пересечён плоскостью, находящейся на расстоянии

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Если прямоугольник $OABO$. вращается вокруг оси $001$ (рис. 1), его стороны $OA$ и $O_2B$ описывают равные круги, лежащие в параллельных плоскостях. Эти круги называют основаниями, а их радиус — радиусом цилиндра. Сторона $AB$, параллельная оси цилиндра, описывает кривую поверхность, которую называют боковой поверхностью цилиндра. Каждый отрезок этой поверхности, равный $AB$, — образующая цилиндра. Все образующие одного цилиндра равны и параллельны друг другу, поскольку каждая из них равна вращающейся стороне прямоугольника, и параллельна оси цилиндра. Длина образующей — высота цилиндра; она равна расстоянию между плоскостями оснований.

Все осевые сечения цилиндра — равные прямоугольники (рис. 2). Их диагонали проходят через середину $G$ отрезка, который соединяет центры оснований цилиндра. Поэтому точка $G$ — центр симметрии цилиндра. Плоскость, проходящая через точку $G$ перпендикулярно к оси цилиндра, — плоскость его симметрии. Другие плоскости симметрии цилиндра проходят через его ось.

«Цилиндр, конус, шар» 👇

Каждая секущая плоскость, перпендикулярная к оси цилиндра, пересекает его по кругу, равному основанию (рис. 3). Ведь любая точка $C$ образующей $AB$ отдалена от оси $OO_2$ на расстояние $CO_2 = OA$. Плоскость, пересекающая все образующие цилиндра, но не перпендикулярная к ним, пересекает боковую поверхность цилиндра по эллипсу (рис. 4).

Плоскость, которая проходит через образующую цилиндра и не имеет с ним других общих точек, называется касательной плоскостью к цилиндру. Она перпендикулярна к осевому сечению цилиндра, проведенному через эту же образующую (рис. 5).

Если прямоугольный треугольник $OPA$ вращать вокруг катета $PO$, его гипотенуза $PA$ опишет боковую поверхность, а катет $OA$ — круг — основание конуса (рис.6). Радиус этого круга называют радиусом конуса, точку $P$, отрезок $PO$, прямую $PO$ — соответственно вершиной, высотой и осью конуса. Все осевые сечения конуса — равные равнобедренные треугольники. Каждая плоскость, проходящая через ось конуса, является плоскостью его симметрии. Центра симметрии конус не имеет.

Отрезок, соединяющий вершину конуса с любой точкой окружности его основания, — образующая конуса. Все образующие конуса равны, поскольку каждая из них равна гипотенузе треугольника, вращением которого образован конус. Плоскость, проходящая через образующую конуса и не имеющая с ним других общих точек, называется касательной плоскостью к конусу. Она перпендикулярна к осевому сечению, проведенному через эту же образующую (рис. 7).

Шар и сфера

Шаром называется тело, образованное вращением круга вокруг его диаметра. Сферой называется фигура, образованная вращением окружности вокруг ее диаметра.

Любой отрезок, соединяющий центр шара с какой-либо точкой его поверхности, называют радиусом шара. Длину этого отрезка также называют радиусом шара.

Отрезок, который соединяет две точки поверхности шара и проходит через центр, — диаметр шара, его концы — диаметрально противоположные точки шара.

Плоскость, которая проходит через диаметр шара, — диаметральная плоскость. Она является плоскостью симметрий шара и разбивает его на два равных полушара. Сечение шара диаметральной плоскостью называют большим кругом. Окружность больших кругов называют экватором шара, а точки пересечения поверхности шара с осью, перпендикулярной к плоскости экватора, — полюсами шара.

Пусть расстояние от центра шара до плоскости равно $d$, а радиус шара $r$. Возможны три случая (рис. 8):

Касательная к шару плоскость перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Разноуровневое
изучение тел вращения: определение,
виды, свойства, построение, сечения
плоскостью.

Как
на базовом, так и на профильном уровне
изучения математики при рассмотрении
материала о телах вращения формального
определения
данного понятия
не вводится.

Однако,
в классах с углубленным изучением
математики можно дать такое определение
тела вращения: тело,
образованное при вращении плоской
ограниченной замкнутой фигуры вокруг
прямой, лежащей в плоскости этой фигуры
и не содержащей ее внутренних точек,
называется телом
вращения (Е.
В. Потоскуев, Л. И. Звавич. Геометрия 10
класс: учебник для общеобразовательных
учреждений с углубленным и профильным
изучением математики).

То
есть можно сказать, что изучение материала
о телах вращения начинается сразу с
рассмотрения конкретных видов тел
вращения (цилиндра, конуса, шара, сферы).

В
общеобразовательных
классах сначала
дается определение кругового цилиндра,
а после знакомства с такими его элементами,
как основания и образующие, и прямого
кругового цилиндра.

Цилиндром
(точнее, круговым цилиндром) называется
тело, которое
состоит из двух кругов, не лежащих в
одной плоскости и совмещаемых параллельным
переносом, и всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих кругов.
Круги называются основаниями цилиндра,
а отрезки, соединяющие соответствующие
точки окружностей кругов называются
образующими цилиндра.
Цилиндр
называется прямым,
если его образующие перпендикулярны
плоскостям оснований (учебник
А. В. Погорелова).

Договариваются,
что в дальнейшем будут рассматривать
только прямой круговой цилиндр, называя
его для краткости цилиндром.

После
этого знакомятся с остальными элементами
цилиндра — поверхность, высота, ось,
радиус.

Поверхность
цилиндра состоит из оснований и боковой
поверхности. Боковая поверхность
составлена из образующих.

Радиусом
цилиндра называется радиус его основания.

Высотой
цилиндра называется расстояние между
плоскостями его оснований.

Осью
цилиндра называется, прямая, проходящая
через центры оснований.

Кроме
этого с ребятами важно оговорить, что
цилиндр может быть получен вращением
прямоугольника вокруг одной из его
сторон.

После
чего для запоминания учащиеся знакомятся
со свойствами цилиндра, которые даются
с пояснениями:

Далее
рассматриваются следующие сечения
цилиндра плоскостью.

В
классах с углубленным изучением
математики,
как правило, сначала дается общее
определение цилиндрической поверхности
ииди цилиндра, а затем определение
прямого и прямого кругового цилиндра.

Пусть
в некоторой плоскости

,
не лежащая на одной прямой, и из точки

,
не лежащий в

.
Из каждой точки

,
параллельный и равный

,
который лежит по те же сторону от

,
что и отрезок

,
образованная всеми отрезками

Цилиндр
называется прямым,
если его образующие перпендикулярны
основанию.

Прямой
цилиндр, основание которого круг,
называется прямым
круговым цилиндром (А. Д.
Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.
Учебник для 10 класса школ с углубленным
изучением математики).

После
чего учащиеся также знакомятся с
элементами цилиндра.

Кроме
свойств цилиндра, рассматриваемых на
базовом уровне, в профильных классах
вводится такое свойство:

Рассматриваются
та же теорема и сечения, что и на
общеобразовательном уровне. Дополнительно
к этому

Замечание:
ни на базовом уровне, ни на профильном
ничего не говорится о построении
цилиндра.

Конус
рассматривается по аналогичной схеме.

В
общеобразовательных классах
дается сначала определение кругового
конуса и его образующих, а затем и
определение прямого конуса.

Конусом
(точнее, круговым конусом) называется
тело, которое состоит из круга – основания
конуса, точки, не лежащей в плоскости
этого круга, — вершины конуса и всех
отрезков, соединяющих вершину конуса
с точками основания. Отрезки, соединяющие
вершину конуса с точками окружности
основания, называются образующими
конуса.

Конус
называется прямым, если прямая, соединяющая
вершину конуса с центром основания,
перпендикулярна плоскости основания.

После
этого знакомятся с остальными элементами
конуса — поверхность, высота, ось.

Поверхность
конуса состоит из основания и боковой
поверхности.

Боковая
поверхность составлена из образующих.

Высотой
конуса называется перпендикуляр,
опущенный из его вершины на плоскость
основания, у прямого конуса основание
высоты совпадает с центром основания.

Осью
прямого кругового конуса называется,
прямая, содержащая его высоту (учебник
А. В. Погорелова).

Оговаривается,
что конус может быть получен вращением
прямоугольного треугольника вокруг
одной из его сторон.

Никаких
свойств конуса не рассматривается.

Рассматриваются
следующие сечения конуса плоскостью.

Доказывается
теорема: плоскость, параллельная
плоскости основания конуса, пересекает
конус по кругу, а боковую поверхность
– по окружности с центром на оси конуса.

В
классах с углубленным изучением
математики,
как правило, сначала дается общее
определение конуса, а затем определение
прямого кругового конуса.

Пусть
в некоторой плоскости задана какая-нибудь
фигура

,
не лежащая на одной прямой, а вне этой
плоскости — точка

.
Фигура, образованная всевозможными
отрезками

,
называется конусом
с вершиной

Прямым
круговым конусом
или конусом
вращения
называется конус, основание которого
— круг, а высота
попадает в центр этого круга (А. Д.
Александров, А. Л. Вернер, В. И. Рыжик.
Учебник для 10 класса школ с углубленным
изучением математики).

После
чего учащиеся также знакомятся с
элементами конуса.

Доказывается
теорема (о сечении конуса). Пусть плоскость
пересекает конус и параллельна плоскости
его основания. Сечение конуса такой
плоскостью подобно основанию конуса.
Коэффициент подобия равен отношению
расстояния от вершины конуса до плоскости
сечения к высоте конуса.

Кроме
сечений конуса плоскостью, рассматриваемых
в общеобразовательных классах, на
профильном уровне ещё можно рассмотреть
сечения конуса плоскостью,
когда в сечении получается эллипс
(секущая плоскость пересекает все
образующие конуса), парабола (секущая
плоскость параллельна одной из
образующих), гипербола (секущая плоскость
параллельна двум образующим).

Прямой
круговой конус рисуют так. Сначала
рисуют эллипс, изображающий окружность
основания. Затем находят центр основания
– точку О и вертикально проводят отрезок
РО, который изображает высоту конуса.
Из точки Р проводят к эллипсу касательные
(опорные прямые) прямые (практически
это делается на глаз, прикладывая
линейку) и выделяют отрезки РА и РВ этих
прямых от точки Р до точек касания А и
В. Следует обратить внимание, что отрезок
АВ – это не диаметр основания конуса,
а треугольник АВР – не осевое сечение
конуса. Осевое сечение конуса – это
треугольник АРС: отрезок АС проходит
через точку О. Невидимые линии рисуют
штрихами; отрезок ОР часто не рисуют, а
лишь мысленно намечают, чтобы изобразить
вершину конуса Р прямо над центром
основания – точкой О.

В
общеобразовательных классах
сначала
дается определение шара, а затем сферы
(шаровой поверхности).

Шаром
называется тело,
которое состоит из всех точек пространства,
находящихся на расстоянии, не больше
данного, от данной точки. Эта точка
называется центром
шара.

Граница
шара называется шаровой
поверхностью
или сферой.

После
этого рассматриваются элементы шара.

Любой
отрезок, соединяющий центр шара с точкой
шаровой поверхности, называется радиусом.

Отрезок,
соединяющий две точки шаровой поверхности
и проходящий через центр шара, называется
диаметром.

Оговаривается,
что шар можно получить при вращении
полукруга вокруг его диаметра как оси,
а сферу – полуокружности.

Рассматривают
с доказательством теоремы:

Плоскость,
проходящая через центр шара, называется
диаметральной плоскостью.

Сечение
шара диаметральной плоскостью называется
большим кругом, а сечение сферы – большой
окружностью.

В
классах с углубленным изучением
математики, как правило, сначала дается
определение сферы, а затем шара.

Сферой
называется множество всех точек
пространства, удаленных от данной точки,
называемой центром,
на одно и то же расстояние.

Отрезок,
соединяющий любую точку сферы с ее
центром, называется радиусом
сферы.

Радиусом
сферы
называют также расстояние от любой
точки сферы до ее центра.

Шаром
называется множество всех точек
пространства, расстояние от каждой из
которых до данной точки — центра
шара
— не превосходит данного положительного
числа, которое называется радиусом
шара.

Доказывается
теорема (о пресечении шара и сферы с
плоскостью):

Для
построения достаточно ограничиться
двумя-тремя пересекающимися образующими.
Отложив от центра радиусы шара, проводят
замкнутую кривую — контур шара.

Соседние файлы в папке Новая папка

Единичные
направления имеют важное значение в
кристаллофизике, так как физические
свойства в единичных направлениях могут
быть особыми, уникальными для данного
кристалла. Еще большее значение имеют
полярные направления, с которыми
связаны свойства, имеющие широкое
применение в современной технике.
Полярными являются направления,
противоположные концы которых не могут
быть совмещены элементами симметрии
кристалла. Отсюда сразу ясно, что в
кристаллах, обладающих центром инверсии,
полярных направлений (и связанных с
ними особых физических свойств) быть
не может. В кристаллах без центра инверсии
не являются полярными инверсионные
оси (в том числе перпендикуляры к
плоскостям симметрии Li2),а
также все направления, перпендикулярные
к поворотным осям симметрии четного
порядка (и перпендикулярные к Li4,
включающей L2). Все
остальные направления в бесцентровых
кристаллах полярны.

С полярными
единичными направлениями связано такое
важное физическое явление, как
пироэлектричество (греч. пир –
огонь) – спонтанная электрическая
поляризация кристаллов вдоль этих
направлений, величина которой
меняется с изменением температуры.
Особый класс пироэлектриков, наиболее
ценный для технических приложений —
сегнетоэлектрики, в которых
направление спонтанной поляризации
(т.е. полярное единичное направление)
можно изменять приложением внешнего
электрического поля.

С любыми
полярными направлениями, не обязательно
единичными, связано другое важное для
техники явление – пьезоэлектрический
эффект (греч. пьезо – давить), т.е.
возникновение по этим направлениям
электрической поляризации под действием
механических напряжений (и обратный
эффект – деформации кристалла под
действием электрического поля).

По разным
концам полярных направлений могут также
различаться скорости роста кристалла
и его огранка.

В таблице 2.3
представлены бесцентровые виды симметрии
и указаны полярные и неполярные
направления, а также наличие пиро- и
пьезоэлектрических свойств. Обращаем
внимание, что ацентрические кристаллы
аксиального вида симметрии кубической
сингонии 3L44L36L2,
несмотря на наличие полярных направлений,
пьезоэлектрическим эффектом не обладают.

Предельные группы симметрии

Предельных
групп симметрии всего семь. Пять из них,
c одной осью симметрии L
͚, являются предельными для видов
симметрии средней категории, две группы
с бесконечным количеством L͚
— предельными для видов симметрии высшей
категории. Каждой группе можно сопоставить
определенную геометрическую фигуру,
имеющую те же элементы симметрии:

1 – L
͚, симметрия вращающегося кругового
конуса. Вращение возможно как вправо,
так и влево. Является предельной группой
примитивных видов симметрии.

2 – L
͚ ∞m, симметрия неподвижного
кругового конуса. Бесконечное количество
продольных плоскостей симметрии
возникает в соответствии с теоремой
сложения 1б. Предельная группа планальных
видов симметрии.

3 – L
͚ ˔mC, симметрия
вращающегося кругового цилиндра.
Вращение возможно как вправо, так и
влево. Перпендикулярная оси плоскость
симметрии возникает в соответствии с
теоремой сложения 3б, так как ось L
͚ — в том числе и четная. Эта группа –
предельная для центральных видов
симметрии.

4 –L
͚ ∞L2, симметрия
скрученного цилиндра (верхняя и нижняя
грани цилиндра закручены в противоположные
стороны). Бесконечное количество осей
симметрии L2,перпендикулярных
L ͚, возникает в соответствии
с теоремой сложения 1а. Предельная
группа аксиальных видов симметрии.

5 – L
͚ ∞L2∞mC,
симметрия неподвижного кругового
цилиндра. Получается из предыдущей
группы добавлением центра инверсии,
порождающего в соответствии с теоремой
сложения 3б бесконечное количество
плоскостей симметрии, перпендикулярных
каждой L2, плюс
выделенную плоскость симметрии,
перпендикулярную L ͚.
Группа, предельная для аксиально-центральных
видов симметрии.

6 — ∞L
͚, симметрия шара, каждый радиус которого
закручен в одну и ту же сторону (либо
вправо, либо влево). Предельная группа
для аксиального вида симметрии высшей
категории.

7 — ∞L
͚ ∞mC, симметрия обычного
шара. Получается из предыдущей группы
добавлением центра инверсии, порождающего
в соответствии с теоремой сложения 3б
бесконечное количество плоскостей
симметрии, перпендикулярных каждой из
осей L͚. Группа, предельная
для аксиально-центрального вида симметрии
высшей категории.

Предельные
группы симметрии и их геометрические
образы показаны на рис.2.12.

Подписи к рисункам к разделам
1 и 2.

Рис.1.1.
Упорядоченное расположение частиц в
кристаллической структуре: а – узловой
ряд, б – узловая плоскость, в –
пространственная решетка; выделен
элементарный параллелепипед, построенный
на трех кратчайших некомпланарных
трансляциях.

Рис.2.1.
Симметрическое преобразование
равностороннего треугольника операцией
поворота вокруг его центра тяжести.

Рис.2.2.
Прямое (а) и зеркальное (б) равенства
фигур.

Рис.2.3. Поворотная
ось симметрии четвертого порядка в
кубе.

Рис. 2.4. К
доказательству невозможности в кристалле
осей симметрии порядка выше шестого
(а) и пятого порядка (б).

Рис.2.5.
Многогранники с осями симметрии третьего
(а), четвертого (б), шестого (в) и второго
(г) порядков.

Рис.2.6. Действие
плоскости симметрии m; на
рис. б плоскость PQ не
является плоскостью симметрии; в –
варианты положения плоскости симметрии
относительно граней и ребер кристалла.

Рис.2.7. Действие
центра инверсии.

Рис.2.8.
Инверсионные оси шестого (а) и четвертого
(б) порядков; в – иллюстрация эквивалентности
плоскости симметрии и перпендикулярной
ей инверсионной оси симметрии второго
порядка.

Рис.2.9. Элементы
симметрии куба.

Рис. 2.10.
Взаимосвязь поворотной оси симметрии
второго порядка, перпендикулярной ей
плоскости симметрии и центра инверсии.

Рис.2.11.
Иллюстрация теоремы Эйлера – нахождение
равнодействующей оси симметрии.

Рис.2.12.
Геометрические фигуры, иллюстрирующие
предельные группы симметрии, и элементы
симметрии этих групп.

Подписи к таблицам разделя 2.

Табл.2.1. 32 вида
симметрии.

Табл.2.2.
Характеристика категорий и сингоний
по элементам симметрии и единичным
направлениям.

Табл.2.3. Виды
симметрии без центра инверсии, полярные
и неполярные направления и наличие
пиро- и пьезоэлектрических свойств.

«Сфера и шар»

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой .

Точками сферы являются все точки шара, удалённые от центра на расстояние, равное радиусу.

Шар – тело вращения полукруга вокруг его диаметра как оси

Сфера – тело вращения полуокружности вокруг его диаметра как оси

Сечения шара плоскостью.

основание перпендикуляра .

Площадь поверхности сферы,

Шаровой сегмент, слой

Объем шара и площадь сферы.

Найдите объём шара .

Вычислите объём соответствующего шара .

Определение.
Выпуклый многогранник называется
правильным,
если все его грани – равные правильные
многоугольники и в каждой его вершине
сходится одно и то же число рёбер.

Достаточно
легко доказать, что правильных
многогранников существует всего 5:
правильный
тетраэдр, правильный гексаэдр, правильный
октаэдр,
правильный
икосаэдр,
правильный додекаэдр. Этот поразительный
факт дал повод древним мыслителям
соотнести правильные многогранники и
первоэлементы бытия.

Есть
много интересных приложений теории
многогранников. Одним из выдающихся
результатов в данной области является
теорема
Эйлера,
справедливая не только для правильных,
но и для всех выпуклых многогранников.

Теорема:
для выпуклых многогранников справедливо
соотношение: Г
+ В – Р = 2,
где В – число вершин, Г – число граней,
Р – число ребер.

Правильные
многогранники обладают многими
интересными свойствами. Одним из самых
поразительных свойств является их
двойственность: если соединить отрезками
центры граней правильного гексаэдра
(куба), то получится правильный октаэдр;
и, наоборот, если соединить отрезками
центры граней правильного октаэдра, то
получится куб. Аналогично, двойственны
правильные икосаэдр и додекаэдр.
Правильный тетраэдр двойственен сам
себе, т.е. если соединить отрезками
центры граней правильного тетраэдра,
то снова получится правильный тетраэдр.

Определение.
Точки А
и В
называются симметричными
относительно точки
О
(центр симметрии), если О
– середина отрезка АВ.
Точка О считается симметричной самой
себе.

Определение.
Точки А
и В
называются симметричными
относительно прямой
а
(ось симметрии), если прямая а
проходит через середину отрезка АВ
и перпендикулярна этому отрезку. Каждая
точка прямой а
считается симметричной самой себе.

Определение.
Точки А
и В
называются симметричными
относительно плоскости
β
(плоскости симметрии), если плоскость
β
проходит через середину отрезка АВ
и перпендикулярна этому отрезку. Каждая
точка плоскости β
считается симметричной самой себе.

Определение.
Точка (прямая, плоскость) называются
центром (осью, плоскостью) симметрии
фигуры, если каждая точка фигуры
симметрична относительно неё некоторой
точке той же фигуры.

Если
фигура имеет центр (ось, плоскость)
симметрии, то говорят, что она обладает
центральной (осевой, зеркальной)
симметрией. Центр, ось и плоскости
симметрии многогранника называются
элементами
симметрии
этого многогранника.

– не
имеет центра симметрии;

– имеет
три оси симметрии – прямые, проходящие
через середины двух противоположных
рёбер;

—
имеет шесть плоскостей симметрии –
плоскости, проходящие через ребро
перпендикулярно противоположному
(скрещивающемуся с первым) ребру
тетраэдра.

б)
правильная треугольная призма;

а)
правильная четырёхугольная призма,
отличная от куба;

б)
правильная четырёхугольная пирамида;

в)
правильная треугольная пирамида;

Соседние файлы в папке 23-11-2015_20-04-52