Изолированные особые точки онлайн

§ 13. О СОБЫЕ ТОЧКИ ФКП

Точки плоскости , в которых функция () не является анали-

особыми точками этой функции

В этом параграфе мы рассмотрим поведение аналитических функций в окрестности особых точек простейшего типа – изолированных особых точек.

Точка называется точкой функции () , если существует такая окрестность точки , в которой

она является единственной особой точкой функции () .

Если – изолированная особая точка () , то существует

При этом могут представиться три случая:

Разложение

не содержит главной части
и, следовательно, имеет следующий вид:

Этот ряд является степенным и его сумма есть аналитическая

к числу .

Если в разложении в ряд Лорана функции () в окрестности

точки отсутствует главная часть, то точка называется

устранимой особой точкой функции

Если принять () , то разложение

станет справедливым в круге , включая и центр . Следовательно, ()

станет аналитической в точке .

Очевидно, что в достаточно малой окрестности устранимой

Это свойство можно использовать для определения (нахожде-

В получившемся разложении отсутствует главная часть, откуда следует высказанное утверждение.

Для () не определена; если положить , то

функция станет аналитической в точке 0.

Разложение

содержит в своей главной части лишь конечное число членов
и, следовательно, имеет вид

где 0 .

Если в разложении

в ряд Лорана функции () в окрестно-

сти точки главная часть содержит лишь конечное число членов ( 0 ), то точка называется .

Разложение

содержит в главной части бесконечное множество членов
.

Если в разложении в ряд Лорана функции в окрестности точ-

ки главная часть содержит бесконечное множество членов, то точка называется существенно особой точкой
функции () .

Относительно поведения функции () в окрестности существенно особой точки имеет место теорема Ю. В. Сохоцкого.

Теорема Ю. В. Сохоцкого.
Если является существенно особой точкой функции () , то для любого числа (ко-

Коротко будем говорить, что в существенно особой точке функция неопределенна
.

() . Показать, что 0 – существенно особая точка.

Функция аналитична во всей плоскости и представлена на

содержит бесконечное множество членов, откуда и следует, что 0

1 Нули аналитической функции

Определение.

Точка

называется нулем

аналитической функции

порядка (или кратности)

,
если

.
В случае

точка

называется простым
нулем
.

Тео
рема.

Для того, чтобы точка

была
нулем

-гo
порядка функции

,
аналитической
в точке

,
необходимо и достаточно, чтобы в некоторой
окрестности этой точки имело место
равенство

,
где

аналитична в точке

Пример
1
. Найти нули
функции

и определить их порядки.

Из
уравнения

находим точки

– нули данной функции. Имеем:

,
т.е. точки

– нули второго порядка данной функции.

Пример
2
. Найти нули
функции

и определить их порядки.

Полагая

,
получаем, что

или

.
Решая
эти уравнения, находим нули функции

.

Пусть

;
тогда

можно представить в виде

,
где функция

является аналитической

в точке

,
причем

.
Это означает, что точка

есть нуль
третьего порядка.

Аналогично
доказывается, что и точка

является нулем третьего порядка.
Исследуем нули

.
Производная

в точках

отлична от
нуля. Следовательно,

– простые нули функции

2 Изолированные особые точки

Определение
1.

Точка

называется особой
точкой

аналитической функции

,
если в этой точке аналитичность функции
нарушается.

Определение
2.

Точка

называется изолированной
особой точкой

функции

,
если существует окрестность

этой точки с
исключенной точкой

,
в которой

аналитична,
кроме
самой точки

Существует
три типа изолированных особых точек.
Приведем их
определения.

Определение
3.

Точка

называется
устранимой
особой точкой

функции

,
если разложение этой функции в ряд
Лорана в окрестности точки

не содержит главной части.

Определение
4.

Точка

называется
полюсом

кратности

функции

,
если в разложении функции в ряд Лорана
в окрестности точки

главная
часть разложения содержит конечное
число членов, причем младшим отличным
от нуля коэффициентом является

Определение
5.

Точка

называется
существенно
особой точкой

функции

,
если главная часть разложения функции
в ряд Лорана в окрестности
точки

содержит бесконечное число членов.

Приведем критерии
типа изолированных особых точек.

1)
для того чтобы точка

была
устранимой особой точкой функции

,

необходимо
и достаточно, чтобы существовал

;

2)
для того чтобы точка

была полюсом
кратности

функции

,
необходимо и достаточно, чтобы

3)
для того чтобы точка

была существенно особой точкой функции

,
необходимо и достаточно, чтобы

не существовал .

Теорема

(связь
между нулями и полюсами).

Для того чтобы точка

была полюсом
порядка

функции

,
нужно, чтобы она была нулем

—
го
порядка функции

Пример
1.
Для функции

особой
точкой является

значит

есть устранимая особая точка.

Пример
2.
Для
функции

является
особой точкой. Так как

– это полюс. Рассмотрим функцию

,
так как

;

,
значит

– нуль
пятого порядка функции

и по теореме о связи между нулями и
полюсами, точка

является полюсом пятого порядка для
функции

Пример
3.
Для
функции

является особой точкой. Разложение

в ряд Лорана:

в главной
части содержит бесконечное число членов;
это существенно особая
точка.

Пример
4.

Найти все особые точки функции

и определить их тип.

Особыми
точками являются точка

и точки, в которых знаменатель обращается
в нуль. Имеем

,
откуда

,
причем эти точки являются нулями первого
порядка. Следовательно, в точках

функция

имеет простые полюса. Точка

не является изолированной особой точкой,
так как она является пределом полюсов:

,
это означает, что любая окрестность
точки

содержит бесконечное число особых точек

Математический анализ Примеры

Найти особые точки y=x^3-4x^2-16x+5

Найдем первую производную.

По правилу суммы производная по имеет вид .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Продифференцируем, используя правило константы.

Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .

Первая производная по равна .

Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .

Пусть первая производная равна .

Разложим на множители методом группировки

Для многочлена вида представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно , а сумма — .

Применим свойство дистрибутивности.

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .

Приравняем к , затем решим относительно .

Вычтем из обеих частей уравнения.

Разделим каждый член на и упростим.

Разделим каждый член на .

Сократим общий множитель .

Сократим общий множитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Приравняем к , затем решим относительно .

Добавим к обеим частям уравнения.

Окончательным решением являются все значения, при которых верно.

Найдем значения, при которых производная не определена.

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Вычислим для каждого значения , для которого производная равна или не определена.

Применим правило степени для распределения показателей.

Применим правило умножения к .

Применим правило степени для распределения показателей.

Применим правило умножения к .

Вынесем знак минуса перед дробью.

Найдем общий знаменатель.

Запишем в виде дроби со знаменателем .

Изменим порядок множителей в .

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим путем сложения и вычитания.

Математический анализ Примеры

Найти особые точки y=-x^3+2x^2+4x+2

Найдем первую производную.

По правилу суммы производная по имеет вид .

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Поскольку является константой относительно , производная по равна .

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .

Продифференцируем, используя правило константы.

Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .

Первая производная по равна .

Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .

Пусть первая производная равна .

Разложим левую часть уравнения на множители.

Разложим на множители методом группировки

Применим свойство дистрибутивности.

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель .

Избавимся от ненужных скобок.

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .

Приравняем к , затем решим относительно .

Вычтем из обеих частей уравнения.

Разделим каждый член на и упростим.

Разделим каждый член на .

Сократим общий множитель .

Сократим общий множитель.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Приравняем к , затем решим относительно .

Добавим к обеим частям уравнения.

Окончательным решением являются все значения, при которых верно.

Найдем значения, при которых производная не определена.

Вычислим для каждого значения , для которого производная равна или не определена.

Применим правило степени для распределения показателей.

Применим правило умножения к .

Умножим на , сложив экспоненты.

Применим правило степени для объединения показателей.

Применим правило степени для распределения показателей.

Применим правило умножения к .

Вынесем знак минуса перед дробью.

Найдем общий знаменатель.

Запишем в виде дроби со знаменателем .

Изменим порядок множителей в .

Объединим числители над общим знаменателем.

Упростим путем сложения и вычитания.

Умножим на , сложив экспоненты.

Применим правило степени для объединения показателей.

Упростим путем добавления чисел.

Изолированные особые точки функций и полюсы

Классификация особых точек

Важное место в изучении и применении теории функций комплексного переменного занимает исследование их поведения в особых точках, где нарушается аналитичность функции. В частности, это точки, где функция не определена.

Исследование функции в особой точке
определяется поведением ее в окрестности этой точки, т.е. исследованием $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
. Очевидно, имеют место три возможности:

а) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
не существует;

б) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
существует и равен конечному числу;

в) $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
равен бесконечности.

Исследование пределов функции в комплексной области — задача более сложная, чем в действительной области, так как, согласно определению, переменная
стремится к $z_0~(z\to z_0)$
по любому направлению. Вычисление пределов в точках аналитичности не представляет интереса, так как в этих случаях $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)$
.

Будем рассматривать $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
, где
— особая точка.

Исследовать существование $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z},~ \lim\limits_{z\to0} \exp \frac{1}{z^2}$
в случаях a) $z=x\in\mathbb{R}$
; б) $z\in\mathbb{C}$
.

a) В действительной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$
не существует, так как не равны односторонние пределы $\lim\limits_{x\to0+0}\exp \frac{1}{x}=\infty,~ \lim\limits_{x\to0-0}\exp \frac{1}{x}=0$
, но существует предел второй функции: $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
.

б) В комплексной области, очевидно, $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}$
не существует, так как он не существует в частном случае z=x
.

Но для второй функции полученного выше результата $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
не достаточно, так как рассмотрены только два направления на плоскости — по действительной положительной и действительной отрицательной полуосям.

Рассмотрим еще какое-нибудь направление, например по мнимой оси, т.е. $z=iy,~ y\to0\colon$

$\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{(iy)^2}= \lim\limits_{z\to0}\exp \frac{-1}{y^2}=0.$

Сравнивая этот результат с полученным выше $\lim\limits_{x\to0}\exp \frac{1}{x^2}=\infty$
, заключаем, что в комплексной области $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^2}$
не существует.

Аналогично можно показать, что не существует $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}$
, хотя $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z^4}=\infty$
для случаев
и
(по действительной и мнимой осям).

Эти простые примеры показывают, что исследование функции в особой точке с помощью $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
может представлять большие сложности. Но, с другой стороны, в примере 3.36 при вычислении пределов функции в особых точках было использовано разложение функции в ряд.

Представление функции в виде ряда как один из способов ее аналитического задания, может быть использовано для исследования функции, в частности, в особых точках.

Будем рассматривать изолированные особые точки функций, т.е. особые точки, для каждой из которых существует такая ее окрестность, в которой нет других особых точек функции.

В частности, конечная особая точка $z_0\in\mathbb{C}$
является изолированной особой точкой функции
, если существует число
, такое, что в круге
эта точка- единственная особая точка
, а в проколотой окрестности, т.е. в
функция
аналитическая.

Бесконечно удаленная особая точка $z_0=\infty$
является изолированной особой точкой функции
, если существует число
, такое, что в области
эта точка — единственная особая точка
, а в кольце $R<|z|<\infty$
функция
— аналитическая.

Согласно теореме Лорана, функция, аналитическая в кольце, в частности, в проколотой окрестности особой точки, может быть представлена рядом Лорана. Это позволяет свести исследование функции в изолированной особой точке к исследованию соответствующего ряда. Особенности рядов как представления аналитических функций можно заметить, проанализировав некоторые примеры предыдущих лекций.

Исследовать поведение и вид ряда Лорана в окрестности особой точки
функций:

а) $\frac{\sin z}{z}$
; б) $\frac{\sin z}{z^n},~n>1$
; в) $\exp \frac{1}{z}$
.

Эти простые примеры показывают, что поведение функции в особой точке связано с видом главной части ряда Лорана: трем отмеченным выше случаям нахождения предела функции в точке
соответствуют три различных случая вида главной части ряда Лорана в окрестности точки. В примере 4.2 исследовалась конечная особая точка. Такой же результат можно получить, рассматривая точку $z=\infty$
, например, для функций $\exp \frac{1}{z},~ z^2+\frac{1}{z}$
и
.

Типы особых точек функции

В зависимости от трех случаев поведения функции в особой точке (исследования $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
) особые точки функций делят на три типа — производится классификация особых точек. В качестве определения типа особых точек можно выбрать либо поведение функции в особой точке, либо вид ряда Лорана. Выберем первый подход.

Изолированная особая точка $z_0\in \overline{C}$
функции
называется:

– устранимой особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
существует и конечен (4.1);

– полюсом, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$
(4.2);

– существенно особой точкой, если $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
не существует (4.3).

Если в случае устранимой особой точки z_0
положить $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)$
, то f(z)
будет аналитической в $O_{\delta}(z_0)$
и точку z_0
можно считать правильной, т.е. не особой. В этом случае говорят, что в точке z_0
устранена особенность.

Определить тип особой точки
для функций $\frac{\sin z}{z};~~\frac{\sin z}{z^n},~n>1;~~\exp \frac{1}{z},~~ \exp \frac{1}{z^2}$
.

На основании результатов решения примеров 4.1, 4.2 заключаем, что
является устранимой особой точкой функции $\frac{\sin z}{z}$
; полюсом для $\frac{\sin z}{z^n}$
при любом
; существенно особой точкой для функций $\exp \frac{1}{z}$
и $\exp \frac{1}{z^2}$
.

Определить тип особой точки $z=\infty$
для функций $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$
и
.

Рассмотрим $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)$
. Для удобства введем обозначение $\frac{1}{z}=\xi$
. Для функции
получим $\lim\limits_{z\to\infty}f_1(z)= \lim\limits_{\xi\to0} \frac{\sin\xi}{\xi^n}=\infty~(n>1)$
(см. пример 4.2), поэтому $z=\infty$
является полюсом функции $f_1(z)=z^n\sin \frac{1}{z}$
. Для функции
точка $z=\infty$
является существенно особой, так как $\lim\limits_{z\to\infty}e^z= \lim\limits_{\xi\to0}\exp \frac{1}{\xi}$
не существует (см. пример 4.1).

Найти все конечные особые точки функций: а) $f_1=\frac{\sin z}{z^4+1}$
б) $f_2(z)= \frac{\sin z}{\sin z^{-1}}$
и определить их тип.

Особыми точками дробей являются особые точки числителя, особые точки знаменателя и нули знаменателя.

а) Так как числитель и знаменатель функции f_1(z)
— функции аналитические, то ее особыми точками являются только нули знаменателя, т.е. корни уравнения z^4+1=0
. Это четыре точки $z_k=\exp \frac{(\pi+2k\pi)i}{4},~k=0,1,2,3$
, или в алгебраической форме: $z_{1,2}= \frac{\pm1+i}{\sqrt{2}},~ z_{3,4}= \frac{\pm1-i}{\sqrt{2}}$
. Заметим, что точки расположены в вершинах квадрата, вписанного в окружность радиуса R=1
с центром в начале координат, и справедливы равенства $z_2=iz,~ z_3=-z_1,~ z_4= \overline{z}_1$
.

Очевидно, все точки изолированные и являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_1(z)=\infty$
для любой точки z_k,~k=1,2,3,4
.

б) Особыми точками функции f_2(z)
являются нули знаменателя, т.е. точки, для которых $\frac{1}{z_k}=k\pi$
или $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
, а также z=0
— особая точка знаменателя. Точки z_k
являются полюсами, так как $\lim\limits_{z\to z_k}f_2(z)=\infty$
. Точка z=0
— неизолированная особая точка функции, так как в любой ее окрестности |z|<r
(
— любое число, r>0
), кроме этой точки, расположено бесконечное множество особых точек вида $z_k=\frac{1}{k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
. Точку z=0
в таком случае называют предельной точкой полюсов $z_k=\frac{1}{k\pi}$
, так как $\lim\limits_{k\to\infty}z_k=0$
.

Теоремы Сохоцкого и Пикара

Для исследования поведения функции в существенно особой точке имеют место следующие две теоремы.

Теорема 4.1 (Сохоцкого).
Если r_0
— существенно особая точка функции f(z)
, то для любого $A\in \overline{\mathbb{C}}$
существует последовательность $\{z_n\}$
, сходящаяся к точке z_0
, такая, что $\lim\limits_{n\to\infty}f(z_n)=A$
.

Теорема 4.2 (Пикара).
В любой окрестности существенно особой точки функция f(z)
принимает любое значение (причем бесконечное число раз) кроме, быть может, одного.

Исследовать поведение следующих функций в существенно особых точках, проиллюстрировать теоремы Сохоцкого и Пикара:

a) $f_1(z)=\exp \frac{1}{z},~ f_2(z)= \exp \frac{1}{z^2},~ z_0=0$
; б) $f_3(z)=e^z,~ z_0=\infty$
.

В примерах 4.3 и 4.4 показано, что точки z_0=0
и $z_0=\infty$
являются существенно особыми точками соответствующих функций. Исследуем пределы функций.

а) Для иллюстрации теоремы Сохоцкого выбираем A=0
и $A=\infty$
. Используя результат примера 4.1, имеем $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=0$
, если z=x<0
, и $\lim\limits_{z\to0}\exp \frac{1}{z}=\infty$
, если z=x>0
, то есть $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$
для последовательности z_n=x_n
, такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и x_n<0
, и $\lim\limits_{n\to\infty}f_1(z_n)=0$
для последовательности z_n=x_n
, такой, что $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и x_n>0
.

Аналогично исследуем функцию f_2(z)
. Для числа A=0
выбираем z_n=iy_n
, где $\lim\limits_{n\to\infty}y_n=0$
и тогда $\lim\limits_{n\to\infty}f_2(z_n)=0$
, а для $A=\infty$
выбираем z_n= x_n
, где $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=0$
и тогда $\lim\limits_{n\to\infty} f_2(z_n)=\infty$
.

Справедливость теоремы Пикара для этих функций следует из рассмотрения уравнений $\exp \frac{1}{z}=A,~ \exp \frac{1}{z^2}=A$
, которые, как известно, имеют бесконечное множество решений для любого $A\in \mathbb{C},~ A\ne0$
.

Например, для функции $f_1(z)= \exp\frac{1}{z}$
имеем $\exp\frac{1}{z}=A$
. Отсюда получаем

В частности, функция $\exp \frac{1}{z}$
в любой окрестности точки z_0=0
принимает значение A=1
бесконечное множество раз: в точках $z_k=\frac{-i}{2k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$
(рис. 4.1).

Рис. 4.1.

б) Точка $z=\infty$
является существенно особой точкой функции e^z
(пример 4.4). Обозначив $z=\frac{1}{\xi}$
, можно повторить рассуждения предыдущего пункта для функции $\exp\frac{1}{\xi}$
и точки $\xi=0$
.

Ряд Лорана в окрестности особой точки

В предыдущем разделе на примере простых функций (см. пример 4.2) было высказано предположение, что вид ряда Лорана в окрестности особой точки зависит от типа особой точки и потому задача исследования функции в особой точке может быть сведена к исследованию соответствующего ряда Лорана . Подтверждением этого предположения в общем случае является доказательство соответствующих утверждений.

Для того чтобы особая точка функции была ее устранимой особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы в разложении функции в ряд Лорана в окрестности этой точки отсутствовала главная часть. Это означает, что если
— устранимая особая точка, то ряд Лорана функции
имеет вид

$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r$

для
— конечной точки $z_0\in\mathbb{C}$
, и (для $z_0=\infty$
)

$f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<|z|<\infty.$

Для того чтобы особая точка функции была полюсом, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала конечное число членов. Ряд Лорана функции
в случае
полюса имеет вид

$f(z)=\sum_{k=-n}^{\infty} c_k(z-z_0)^k,\quad 0<|z-z_0|<r,$

если $z_0\in\mathbb{C}$
, и (если $z_0=\infty$
)

$f(z)=\sum_{k=-\infty}^{n}c_kz^k,\quad R<|z|<\infty,$

Для того чтобы особая точка функции была ее существенно особой точкой, необходимо и достаточно, чтобы главная часть ряда Лорана функции в окрестности этой точки содержала бесконечное число членов. Ряд Лорана функции
в случае
— существенно особой точки имеет вид

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r,$

если $z_0\in\mathbb{C}$
, и (если $z_0=\infty$
)

$f(z)= \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_nz^n,\quad R<|z|<\infty.$

Номер старшего члена главной части ряда Лорана функции в ее разложении в окрестности полюса называется порядком полюса.

Так, точка $z_0\in\mathbb{C}$
является полюсом порядка
$(\Pi(n))$
функции
, если в разложении (4.6) $c_{-n}\ne0,~ c_k=0$
при
. Точка $z_0=\infty$
является полюсом порядка
$(\Pi(n))$
функции
, если в разложении (4.7) $c_n\ne0,~ c_k=0$
при
.

Главная часть ряда Лорана в случае полюса порядка и записывается следующим образом:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$
в виде $\sum_{k=-n}^{-1} c_k(z-z_0)^n$
, или $\sum_{k=1}^{n} \frac{c_{-k}}{(z-z_0)^k}$
, или, подробнее:

$\frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\frac{c_{-n+1}}{(z-z_0)^{n-1}}+ \ldots+ \frac{c_{-1}}{z-z_0},\quad c_{-n}\ne0\,;$

б) в случае $z_0=\infty$
в виде $\sum_{k=1}^{n}c_nz^k$
, или $\sum_{k=-n}^{-1} \frac{c_{-k}}{z^k}$
(см. (4.7)), или, подробнее:

$c_n\cdot z^n+ c_{n-1}\cdot z^{n-1}+\ldots+c_1\cdot z,\quad c_n\ne0.$

Главная часть ряда Лорана в случае существенно особой точки записывается так:

а) в случае $z_0\in\mathbb{C}$
в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} c_n(z-z_0)^n$
, или $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}$
(см.(4.8)), или, подробнее:

$\frac{c_{-1}}{z-z_0}+ \frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2}+ \ldots+ \frac{c_{-n}}{(z-z_0)^n}+\ldots;$

б) в случае $z_0=\infty$
в виде $\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{c_{-n}}{z^n}$
или $\sum_{n=1}^{\infty}c_nz^n$
(см.(4.9)), или, подробнее:

$c_1\cdot z+c_2\cdot z^2+\ldots+c_n\cdot z^n+\ldots$

Определить тип особых точек функций: а) $f_1(z)=\frac{z+2}{z^2-2z-3}$
; б) $f_2(z)=\frac{z+2}{(z+1)^2(z-3)}$
.

Особыми точками функций являются $z_1=-1,~z_2=3,~z_3=\infty$
. Чтобы определить тип особой точки, используем разложения функций в окрестности каждой точки, полученные в примерах 3.31 , 3.33 , 3.34.

a) $f_1(z)= \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{5(z+1)^n}{4^{n+2}},~ 0<|z+1|<4$
. В главной части разложения — один член ряда: $\frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{z+1}$
, здесь $c_{-1}=\frac{-1}{4}\ne0$
, все c_n=0
для n<-1
. Следовательно, в точке z=-1
— полюс первого порядка, т.е. простой полюс функции f_1(z)
.

Аналогично из разложения $f_1(z)= \frac{5}{4}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{4^{n+2}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$
получим такой же результат: точка z=3
— простой полюс функции f_1(z)
.

Разложение $f_1(z)= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n+5\cdot3^{n-1}}{4}\cdot \frac{1}{z^n},~ |z|>3$
. Функции в окрестности $z=\infty$
не содержит главной части — разложение имеет вид (4.5). Следовательно, точка $z=\infty$
— устранимая особая точка функции f_1(z)
.

б) Из разложения $f_2(z)= \frac{5}{16}\cdot \frac{1}{z-3}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}(n+6)}{4^{n+3}}(z-3)^n,~ 0<|z-3|<4$
следует, что z=3
— простой полюс функции f_2(z)
.

Из разложения $f_2(z)= \frac{-5}{16}\cdot \frac{1}{z+1}+ \frac{-1}{4}\cdot \frac{1}{(z+1)^2}+ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{-5(z+1)^n}{4^{n+3}},~ 0<|z+1|<4$
, где $c_{-2}=\frac{-1}{4}\ne0$
и все c_n=0
для n<-2
, получаем, что z=-1
— полюс второго порядка функции f_2(z)
.

Разложение f_2(z)
в окрестности $z=\infty$
и не содержит положительных степеней, в чем можно убедиться, проанализировав разложения элементарных дробей (см. пример 3.34). Поэтому $z=\infty$
— устранимая особая точка функции f_2(z)
.

Определить тип конечных особых точек для функций:

а) $\exp \frac{1}{z-a},~ \sin \frac{1}{z-a},~ \cos \frac{1}{z-a}$
; б) $\frac{\sin z}{z^n},~ \frac{1-\cos z}{z^3}$
.

а) Используем разложения функций по степеням $(z-a)\colon$

$\begin{gathered}\exp \frac{1}{z-a}= 1+\frac{1}{z-a}+ \frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots;\qquad \sin\frac{1}{z-a}= \frac{1}{z-a}- \frac{1}{3!(z-a)^3}+\ldots;\\ \cos\frac{1}{z-a}= 1-\frac{1}{2!(z-a)^2}+\ldots \end{gathered}$

Убеждаемся, что для всех указанных функций точка z=a
является существенно особой точкой, так как в разложениях главная часть содержит бесконечное число членов, т.е. имеется бесконечное число членов с отрицательными степенями (см. п.1 утверждения 4.1).

б) Запишем разложения функций по степеням $z\colon$

$\begin{aligned}\frac{\sin z}{z^n}&= \frac{1}{z^n}\! \left(z-\frac{z^3}{3!}+\ldots\right)= \frac{1}{z^{n-1}}-\frac{1}{z^{n-3}\cdot3!}+\ldots;\\ \frac{1-\cos z}{z^3}&= \frac{1}{z^3}\! \left(1-\left(1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}+\ldots\right)\right)= \frac{1}{2!z}-\frac{z}{4!}+\ldots \end{aligned}$

Для первой функции при n=1
в разложении отсутствует главная часть — совокупность членов с отрицательными степенями. Следовательно, согласно п.1 утверждения 4.1, точка z=0
для $\frac{\sin z}{z}$
является устранимой особой точкой.

При n>1
главная часть разложения содержит конечное число членов, поэтому точка z=0
для $\frac{\sin z}{z^n}$
является полюсом (см. п.2 утверждения 4.1). Кроме того, так как при n>1
в разложении старшая отрицательная степень равна (n-1)
, то, согласно п. 1 замечаний 4.2, заключаем, что z=0
для $\frac{\sin z}{z^n}$
при n>1
является полюсом порядка (n-1)
. Рассуждая аналогично, получаем, что z=0
является полюсом первого порядка — простым полюсом для функции $\frac{1-\cos z}{z^3}$
.

Сравнивая разложения функций по степеням
в окрестности
(формулы (4.4),(4.6),(4.8) при
) и $z=\infty$
(формулы (4.5), (4.7), (4.9)), можно сделать следующее заключение.

Чтобы $z=\infty$
была устранимой особой точкой функции
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была устранимой (или не особой) для $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Чтобы $z=\infty$
была полюсом порядка
функции
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была полюсом порядка
функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Чтобы $z=\infty$
была существенно особой точкой функции
, необходимо и достаточно, чтобы точка $\xi=0$
была существенно особой точкой функции $\varphi(\xi)= f\!\left(\frac{1}{\xi}\right)$
.

Как и в случае конечной особой точки
, в которой функция не определена, но $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$
(см. утверждение 3.5) , так и для
в случае $\lim\limits_{z\to\infty}f(z)=0$
, устранимую особую точку $z=\infty$
можно считать нулем функции
. Порядок нуля можно определить как порядок нуля функции $\varphi(\xi)$
в точке $\xi=0$
.

Исследовать точку $z=\infty$
для функций: a) $f(z)=\frac{1}{z^2(z-2)}$
; б)

; в)

$\exp \frac{1}{z}$

$f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r$

$z_0\in\mathbb{C}$ Правила определения порядка полюса $z_0=\infty$

Используя формулу (4.6) разложения функции в ряд в окрестности полюса, можно получить практически удобные правила определения порядка полюса, не требующие записи разложений в ряд в каждом конкретном случае.

$f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<|z|<\infty.$ Пусть

— полюс порядка

функции
. Разложение (4.6), где главная часть имеет вид (4.10) , преобразуем следующим образом:

где

— функция, аналитическая в точке

, как сумма степенного ряда, записанного в скобках, и
.

Далее рассмотрим функцию

, то есть

или
, где

— аналитическая в точке

. Из этого, согласно утверждению 3.5, следует, что $z=\infty$
является нулем порядка $z=\frac{1}{\xi}$
функции $\exp\frac{1}{\xi}$
. Можно доказать и обратное утверждение. $z_k=\frac{-i}{2k\pi},~ k=\pm1,\pm2,\ldots$

$\xi=0$ А именно, если функция представлена в виде
, где
— функция, аналитическая в точке
, и
, то

— полюс порядка

функции

, а также, если

— нуль порядка

функции

, то для функции

эта точка является полюсом порядка

Кроме того, рассмотрим частное $f(z)=\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
, где точка
является нулем порядка
для функции
и нулем порядка
для функции
, то есть $f(z)= \frac{(z-z_0)^k \varphi_1(z)}{(z-z_0)^m \varphi_2(z)}$
. При
получаем $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^{m-k}}$
, из чего, с учетом приведенных выше рассуждений, находим, что
— полюс порядка
. Заметим, что при
точка
— устранимая особая точка; случай
рассмотрен ранее. Результаты приведенных рассуждений запишем в виде утверждения.

Для того чтобы точка z_0
была полюсом порядка
функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы ее можно было записать в виде

$f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z-z_0)^n},\quad \varphi(z_0)\ne0.$

Для того чтобы точка z_0
была полюсом порядка
функции f(z)
, необходимо и достаточно, чтобы она была нулем порядка
функции $\frac{1}{f(z)}$
(связь нулей с полюсами).

Если точка z_0
является нулем порядка
функции f_1(z)
и нулем порядка
функции f_2(z)~(m>k)
, то она — полюс порядка (m-k)
для $\frac{f_1(z)}{f_2(z)}$
.

Определить порядок полюсов функций из примеров: а) 4.7 ; б) 4.8.

Так как конечными особыми точками рациональной дроби $\frac{P_n(z)}{Q_m(z)}$
являются только нули знаменателя, то это либо полюсы, либо устранимые особые точки функции.

Такое же заключение можно сделать и для функции вида $f(z)= \frac{\varphi(z)}{Q_m(z)}$
, где $\varphi(z)$
— аналитическая функция. При этом, используя определение устранимой особой точки (4.1) и правила определения порядка нуля и полюса (утверждения 3.5 и 4.3), можно сделать следующие выводы относительно особой точки
— нуля порядка
знаменателя:

а)
— полюс порядка
функции
, если $\varphi(z_0)\ne0$
;

б)
— полюс порядка
, если
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
и
;

в)
— устранимая особая точка функции
, если
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
;

г)
— нуль порядка
функции
, если
— нуль порядка
функции $\varphi(z)$
и
; при этом полагаем $f(z_0)= \lim\limits_{z\to z_0}f(z)=0$
.

▼ Примеры нахождения особых точек и определения их типа

Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип:

а) $f(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3(z+2)^2}$
; б) $f(z)= \frac{z+2i}{z^3+8i}$
.

Конечными особыми точками этих рациональных дробей являются нули знаменателя. Чтобы для каждой их этих точек определить, является ли она полюсом или устранимой особой точкой, нужно, согласно определению, найти предел функции в этой точке. В случае полюса, т.е. когда $\lim\limits_{z\to z_0}f(z)=\infty$
, далее следует определить его порядок. Для этого используется утверждение 4.3.

Можно поступить иначе — согласно замечанию 4.4. Для этого нужно найти и нули числителя.

а) Особые точки функции z_1=1,~ z_2=-2
. Для точки z_2=-2
можно применить формулу (4.14) и из $f(z)= \frac{\varphi(z)}{(z+2)^2}$
, где $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z-1)^3}$
и $\varphi(-2)\ne0$
, получить, что эта точка — полюс второго порядка. Для точки z_1=1
формула (4.14) не применима, так как из $\varphi(z)= \frac{z^2-4z+3}{(z+2)^2}$
имеем <img alt="\varphi

=0″ src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAEsAAAAWBAMAAAB6cHzwAAAAHlBMVEVHcEwAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABaVcReAAAACnRSTlMAAf3NPoUbql1xkenAXwAAAUJJREFUKM+VkjFPwzAQhV+UhCZb7EBV1qQUsYWIdjYJA2NEBbMpA7BFVMCKhERhq+gf5my3CbGqCk6RHd99PvvuGfinfZlpspsKahokUEZ2ZP/812JGyOIUOKjs/eO5aFfPwPSJsP7IwmYibF0qyjhh7NXC5nCOmkVIBBSGVfdyTkofuR6A9zO49QYrZAfbS4E8Uh3w01y66uY8U8MbDd6FNtrhUTbCvAqldAWvNtn0X3itzWDIJXoCL/AFX3aw1jxzaBxRvlha2VrrG4xHvsACFhY0h+pKgV5N+SaIW2zZKcGhvh2rs6eXuSCaPDyjygstjcPIdAcLESgV7pPkBjikRFdJMgS+Le0HJyvVIja+VV0c6QyE2GLh8UOXMtxI34hrGdNqGv/dWiO/3v4e3UxfebAOl3I75hk/+/zTI2fRrugP1Bs05wUCFsoAAAAASUVORK5CYII=»>
. Поступаем далее согласно замечанию 4.4. Раскладываем на множители числитель и записываем функцию

<img alt="f(z)= \frac{(z-1)(z-3)}{(z-1)^3(z+2)^2}= \frac{z-3}{(z-1)^2(z+2)^2}= \frac{\varphi(z)}{(z-1)^2},\quad \varphi

\ne0.» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>

Получаем, что z=1
— полюс второго порядка для f(z)
.

б) Особые точки функции — корни уравнения

, то есть

или

. Все эти точки:

— простые нули знаменателя, и так как числитель в этих точках не обращается в нуль, то они — простые полюсы функции

. $f(z)= c_0+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_{-n}}{z^n},\quad R<|z|<\infty.$

Найти конечные особые точки следующих функций и определить их тип: $z_0\in\mathbb{C}$

$z_0=\infty$ а)

; б)

Найти конечные особые точки функций и определить их тип:

а) $z=\infty$
; б) $z=\frac{1}{\xi}$
.

$\exp\frac{1}{\xi}$

$\xi=0$

Конечными особыми точками этих функций вида

, где

— аналитическая функция, являются только нули знаменателя.

а) Особые точки функции:

. Точки

— простые полюсы, так как числитель в этих точках не обращается в нуль и функцию можно представить в виде

— точка

или
. В точках

числитель обращается в нуль. Очевидно, это простые нули числителя, и поэтому его можно записать в виде

— точка

или $f(z)= \sum_{n=0}^{\infty} c_n(z-z_0)^n,\quad 0<|z-z_0|<r$
. Тогда для функции
получаем

$f(z)= \frac{(z-z_0)\cdot \varphi(z)}{4 \left(z-\dfrac{1}{2}\right)\!\! \left(z+ \dfrac{1}{2}\right)\! (z^2+3)}\,.$

Так как $\lim\limits_{z\to z_k} f(z)\ne\infty$
для $z_0=z_1=\frac{1}{2}$
или $z_0=z_2=-\frac{1}{2}$
, то эти точки — устранимые особые точки функции
.

б) Особые точки функции: $z_{1,2}=\pm1,~ z_{3,4}=\pm i$
. Точки
и
— простые полюсы.

Для точек
и
проводим рассуждения, как в предыдущем пункте, и находим, что они — устранимые особые точки
.

Определить тип особой точки
для следующих функций: а) $f(z)= \frac{e^z-1-z}{e^{z^5}-1}$
; б) $f(x)= \frac{\cos z^2-1}{z^3\sin^2z^2}$
.

В точке
и числитель, и знаменатель каждой из функций обращается в нуль. Определим порядок нуля в каждом случае и используем п.3 утверждения 4.4.

а) Из разложений по степеням
функций

$\begin{gathered} e^z-1-z&= \left(1+z+\frac{z^2}{2!}+\ldots\right)-1-z= \frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\ldots\\ e^{z^5}-1&= \left(1+z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots\right)-1= z^5+\frac{z^{10}}{2!}+\ldots \end{gathered}$

находим, что
— нуль второго порядка для числителя <img alt="(0

)» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
и нуль пятого порядка для знаменателя <img alt="(0

)» src=»https:/mathhelpplanet.com/data:image/png;base64,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»>
. Следовательно,

— полюс третьего порядка для функции

б) Используя правила определения порядка нуля, в частности, как и в предыдущем пункте, раскладывая функции в ряды по степеням

, находим, что

является <img alt="0