ГРУППА СИММЕТРИИ ОКТАЭДРА

Кристаллографическая точечная группа симметрии — это точечная группа симметрии, которая описывает макросимметрию кристалла. Поскольку в кристаллах допустимы оси (поворотные и несобственного вращения) только 1, 2, 3, 4 и 6 порядков, из всего бесконечного числа точечных групп симметрии только 32 относятся к кристаллографическим.

Описанная сфера октаэдра

Окта́эдр (греч. от «восемь» +  «основание») — многогранник с восемью гранями.

Октаэдр — трёхмерный вариант более общего понятия гипероктаэдр.

Группы симметрии объектов являются группами изометрии. Соответственно, анализ групп изометрии является анализом возможных симметрий. Все изометрии ограниченного трёхмерного объекта имеют одну или более фиксированных точек (не меняющих положение при симметрии). Мы выбираем начало координат в качестве одной из таких точек.

Группа симметрий объекта иногда называется полной группой симметрии как противопоставление его группе вращений или собственной группе симметрии, пересечению полной группы симметрии и группы вращений SO

трёхмерного пространства. Группа вращений объекта совпадает с его полной группой симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.

Трёхмерные изометрии, оставляющие начало координат неподвижным

Изометрии пространства R3, оставляющие начало координат неподвижным и образующие группу O(3,R), можно распределить на группы следующим образом:

Правильный октаэдр имеет 8 треугольных граней, 12 рёбер, 6 вершин, в каждой его вершине сходятся 4 ребра.

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

радиус вписанной в октаэдр сферы может быть вычислен по формуле:

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B2 и A2.

Октаэдр можно представить как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Октаэдр с длиной ребра

может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координатывершин тогда будут

(±1, 0, 0);

(0, ±1, 0);

(0, 0, ±1).

В x-y-z прямоугольной системе координат октаэдр с центром с точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

Площадь и объём

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

Объём октаэдра (V) вычисляется по формуле:

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Если октаэдр растянуть, чтобы выполнялось равенство:

формулы для поверхности и объёма превращаются в:

Кроме того, тензор моментов инерции растянутого октаэдра будет равен:

Он сводится к уравнению для правильного октаэдра, когда:

Октаэдр представляетс собой пересечение двух тетраэдров

Октаэдр уникален среди платоновых тел в том, что только он имеет чётное число граней при каждой вершине. Кроме того, это единственный член этой группы, который имеет плоскости симметрии, не пересекающие ни одну грань.

• Ю. Г. Загальская, Г. П. Литвинская, Геометрическая кристаллография, МГУ, 1973
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Ю. Г. Загальская, Кристаллография, МГУ, 1992
• Ю. К. Егоров-Тисменко, Г. П. Литвинская, Теория симметрии кристаллов, ГЕОС, 2000 (доступно on-line)
• П. М. Зоркий. Симметрия молекул и кристаллических структур, МГУ, 1986 (доступно on-line)
• А. В. Шубников. Симметрия и антисимметрия конечных фигур, Изд-во АН СССР, 1951
• И. И. Шафрановский. История кристаллографии. X IX век, Л., «Наука», 1980

Бесконечные группы изометрии

Существует множество бесконечных групп изометрии, например, «циклическая группа» (предполагается группа, образованная одним элементом – не путать с группой с кручением), образованная вращением на иррациональный угол вокруг оси. Мы можем создать нецикличные абелевы группы путём добавления дополнительных кручений вокруг той же оси. Существуют также неабелевы группы, образованные вращениями вокруг различных осей. Они обычно (в общем случае) являются свободными группами. Они будут бесконечными, если не выбрать вращение определённым образом.

Все упомянутые до этого момента бесконечные группы не являются замкнутыми как топологические подгруппы группы O

.

Непомеченная сфера имеет симметрию O

.

O

является прямым произведением SO

и группы, образованной центральной симметрией:

Таким образом, имеется 1-в-1 соответствие между всеми прямыми изометриями и непрямыми изометриями, получаемыми центральной симметрией. Имеется также 1-в-1 соответствие между всеми группами прямых изометрий H в O

и всеми группами K изометрий в O

, содержащих центральную инверсию:

Например, если H является группой C2, то K равно C2h. Если же H является группой C3, то K равно S6. ( Смотрите ниже определение этих групп.)

Если группа прямых изометрий H имеет подгруппу L с индексом 2, то, кроме группы, содержащей центральную симметрию, есть ещё соответствующая группа, содержащая непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии:

где изометрия ( A, I ) отождествляется с A. Примером может быть C4 для H и S4 для M.

Таким образом, M получается из H с помощью центральной симметрии изометрий из H L. Эта группа M является абстрактной группой, изоморфной H. Обратно, для всех групп изометрии, содержащих непрямые изометрии, но не содержащие центральной симметрии, мы можем получить группу вращений путём применения центральной симметрии к непрямым изометриям.

В двумерном пространстве циклическая группа вращений порядка k Ck
(вращений на угол 180°/ k) для любых положительных целых k является подгруппой O(2,R) и SO(2,R). Соответственно, в трёхмерном пространстве для любой оси циклическая группа вращений порядка k вокруг оси является нормальной подгруппой всех вращений вокруг оси. Поскольку любая подгруппа с индексом два нормальна, группа вращений (Cn) является нормальной как в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, содержащих оси (Cnv), так и в группе, полученной добавлением зеркальных симметрий относительно плоскостей, перпендикулярных осям (Cnh).

Семь оставшихся точечных групп

Непрерывными группами, связанными с этой группой, являются:

Как замечено выше для непрерывных групп вращений, любой физический объект, имеющий симметрию K, будет иметь и симметрию Kh.

Правильный октаэдр можно увеличить до тетраэдра добавлением четырёх тетраэдров на чередующиеся грани. Добавление тетраэдров ко всем восьми граням образует звёздчатый октаэдр.

Октаэдр принадлежит семейству однородных многогранников, связанных с кубом.

Правильный октаэдр можно рассматривать как полностью усечённый тетраэдр и может быть назван тетратетраэдром. Это можно показать с помощью раскрашенной в два цвета модели. При этом раскрашивании октаэдр имеет тетраэдральную симметрию.

Сравнение последовательности усечения тетраэдра и его двойственной фигуры:

В качестве треугольной антипризмы октаэдр связан с семейством шестиугольной диэдральной симметрии.

Октаэдры в физическом мире

Две одинаково сложенные змейки Рубика могут аппроксимировать октаэдр.

• Конвей Дж., Смит Д. О кватернионах и октавах, об их геометрии, арифметике и симметриях. М.: МЦНМО, 2009.
• John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008

Симметрии в 3-мерном пространстве, оставляющие на месте начало координат, полностью определяются симметриями на сфере с центром в начале координат. Для конечных трёхмерных точечных групп см. также Группы сферической симметрии.

С точностью до сопряжённости множество конечных трёхмерных точечных групп состоит из:

Существуют две дискретные точечные группы со свойством, что никакая дискретная точечная подгруппа не имеет их в качестве собственной подгруппы — Oh и Ih. Их наибольшая общая подгруппа — Th. Две группы получаются из неё путём замены вращательной симметрии порядка 2 на симметрию порядка 4 и добавлением симметрии порядка 5 соответственно. Также можно получить две группы путём добавления зеркальных плоскостей в Th.

Существует две кристаллографические точечные группы со свойством, что никакая кристаллографическая точечная группа не содержит их в качестве собственной подгруппы — Oh и D6h. Их максимальные общие подгруппы, в зависимости от ориентации, — D3d и D2h.

Группами вращений, т.е. конечными подгруппами SO

, являются: циклические группы Cn (группы вращений канонических пирамид), диэдральные группы Dn (группы вращений однородных призм или канонических бипирамид) и группы вращений T, O и I правильного тетраэдра, октаэдра/куба и икосаэдра/додекаэдра.

В частности, диэдральные группы D3, D4 и т.д. являются группами вращений плоских правильных многоугольников, вложенных в трёхмерное пространство, и такие фигуры можно считать вырожденными правильными призмами. Поэтому они называются диэдрами (по-гречески: тело с двумя гранями), что и объясняет название диэдральная группа.

Группа вращений объекта равна его полной группе симметрии тогда и только тогда, когда объект хирален.

Следующие многогранники комбинаторно эквивалентны правильному октаэдру. Они все имеют шесть вершин, восемь треугольных граней и двенадцать рёбер, что соответствует один к одному параметрам правильного октаэдра.

Другие выпуклые восьмигранники

Некоторые известные неправильные восьмигранники:

Если сравниваются симметрии двух объектов, то начало координат для каждого объекта выбирается отдельно, т.е. они не обязательно будут имеет один и тот же центр. Более того, считается, что объекты имеют тот же тип симметрии, если их группы симметрии являются сопряжёнными группами группы O

(две подгруппы H1 и H2 группы G сопряжены, если существует g ∈ G, такой, что H1 = g−1H2g ).

Например, два трёхмерных объекта имеют тот же тип симметрии, если

В случаем нескольких плоскостей симметрии и/или осей вращения две группы симметрии имеют тот же тип тогда, и только тогда, когда имеется вращение, отображающее полную структуру первой группы симметрии во вторую. ( Фактически, может быть более чем одно вращение, но не бесконечное число). Определение сопряжения позволяет также зеркальное отражение структуры, но необходимости в этом нет, поскольку структура сама по себе ахиральна. Например, если группа симметрии содержит ось порядка 3, она содержит вращения в двух противоположных направлениях (структура хиральна для 11 пар кристаллографических групп с винтовой осью).

Упорядочение групп по абстрактному типу группы

Далее описанные выше группы расположены по абстрактному типу группы.

Наименьшие абстрактные группы, не являющиеся группами симметрии в трёхмерном пространстве — группа кватернионов (порядка 8), Z3 × Z3 (порядка 9), дициклическая группа Dic3 (порядка 12) и 10 из 14 групп порядка 16.

Столбец «Число элементов порядка 2» в последующей таблице показывает общее число подгрупп изометрии типа C2, Ci, Cs. Это общее число является одной из характеристик, позволяющих различить абстрактные типы групп, в то время как их тип изометрии помогает различить группы изометрий той же самой абстрактной группы.

Среди возможных изометрий групп а трёхмерном пространстве существует бесконечно много абстрактных типов групп с 0, 1 и 3 элементами порядка 2, существует две группы с 2n + 1 элементами порядка 2 и существует три группы с 2n + 3 элементами порядка 2 (для любого n ≥ 2 ). Не существует положительного чётного числа элементов порядка 2.

Группы симметрий в трёхмерном пространстве, являющиеся циклическими как абстрактные группы

Группа симметрии вращения порядка n — это Cn. Её тип абстрактной группы — циклическая группа Zn, которая обозначается также как Cn. Однако существует ещё два бесконечных ряда групп симметрии с типами абстрактных групп:

Группы симметрии в трёхмерном пространстве, диэдральные в качестве абстрактных групп

В двухмерном пространстве диэдрическая группа Dn включает отражения, которые можно рассматривать как переворачивание объекта без различения лицевой и обратной стороны.

Однако в трёхмерном пространстве две операции различны — группа симметрии с обозначением Dn содержит n осей порядка 2, перпендикулярных к осям порядка n, а не отражения. Dn является группой вращений n-сторонней призмы с правильным основанием, n-сторонней бипирамиды с правильным основанием, а также правильной n-сторонней антипризмы и правильного n-стороннего трапецоэдра. Группа является также полной группой симметрии таких объектов, если сделать их хиральными путём разметки граней или некоторой модификации фигуры.

Абстрактная группа является диэдрической группой Dihn, которая обозначается также символом Dn. Однако существует ещё три группы симметрии с той же абстрактной группой:

Заметьте следующее свойство:

Dih4n+2 Dih2n+1 × Z2

Таким образом, выделяя 12 кристаллографических групп жирным шрифтом и записывая D1d как эквивалент C2h, мы имеем:

C2n,h порядка 4n является абстрактной группой типа Z2n × Z2. Для n = 1 мы получаем Dih2, группу, уже описанную выше, так что n ≥ 2.

Таким образом, выделяя 2 циклические кристаллографические точечные группы жирным шрифтом, мы имеем:

Dnh порядка 4n является абстрактной группой типа Dihn × Z2. Для нечётных n группа уже описана выше, так что мы здесь имеем D2nh порядка 8n, которая является абстрактной группой типа Dih2n × Z2 (n≥1).

Таким образом, выделяя 3 диэдральные кристаллографические точечные группы жирным шрифтом, мы имеем:

Осташиеся семь групп, где 5 кристаллографических точечных групп выделены жирным шрифтом:

Семь бесконечных серий групп осевой симметрии

Для нечётных n мы имеем Z2n = Zn × Z2 и Dih2n = Dihn × Z2.

Понятие горизонтальная (h) и вертикальная (v), а также соответствующие (нижние) индексы, относятся к дополнительным зеркальным плоскостям, которые могут быть параллельны оси вращения (вертикальны) или перпендикулярны оси вращения (горизонтальны).

Простейшие нетривиальные группы имеют инволюционную симметрию (абстрактная группа Z2):

Узор на цилиндрической ленте иллюстрирует случай n = 6 для каждого из 7 бесконечных семейств точечных групп. Для каждого узора приведена группа симметрии.

Вторая из этих групп является первой из групп с одной осью (циклических групп) Cn порядка n (применимых также и в двумерном пространстве), которые порождаются одним вращением на угол 360°/n. В дополнение можно добавить зеркальную плоскость, перпендикулярную оси, что даёт группу Cnh порядка 2n, или множество n зеркал, содержащих ось, что даёт группу Cnv, также порядка 2n. Последняя является группой симметрии правильной пирамиды с n сторонами. Типичный объект с группой симметрии Cn или Dn — пропеллер.

Если добавлены и вертикальные плоскости отражения, и горизонтальные плоскости, их пересечения дают n осей вращения на 180°, так что группа больше не одноосная. Эта новая группа порядка 4n называется Dnh. Её подгруппы вращений — диэдрическая группа Dn порядка 2n, которая, всё же, имеет оси вращения порядка 2, перпендикулярные основной оси вращения, но не имеет плоскостей зеркального отражения. Заметим, что в 2D Dn включает отражения, которые можно видеть как перекидывание через плоские объекты без различения лицевой и обратной сторон, но в 3D две операции различаются — группа содержит «перекидывание через», но не отражения.

Имеется ещё одна группа в этом семействе, называемая Dnd (или Dnv), которая имеет вертикальные зеркальные плоскости, содержащие основную ось вращения, но вместо горизонтального зеркала она имеет изометрию, которая комбинирует отражение относительно горизонтальной плоскости и вращение на угол 180°/n. Dnh является группой симметрии правильной (n+2)-сторонней призмы и для правильной (2n)-сторонней бипирамды. Dnd является группой симметрии для правильной (n+2)-сторонней антирпризмы, а также для правильного (2n)-стороннего трапецоэдра. Dn является группой симметрии частично повёрнутой призмы.

Все группы симметрии в 7 бесконечных сериях различны, за исключением следующих четырёх равных пар:

S2 — это группа порядка 2 с единственной симметрией относительно точки (Ci )

Здесь «Равный» означает тот же самый с точностью до сопряжённости в пространстве. Это строже, чем «с точностью до алгебраического изоморфизма». Например, существует три различные группы порядка два в первом смысле, но только одна во втором. Подобным образом, например, группа S2n алгебраически изоморфна Z2n.

Группы можно построить следующим образом:

Принимая n равным ∞, получим группу с непрерывными осевыми вращениями:

Невозможные дискретные симметрии

Поскольку обзор является исчерпывающим, он показывает неявно, какие случаи невозможны в качестве дискретных групп симметрий. Например:

Изображение точечных групп. Стереографические проекции точечных групп

Плоскости симметрии обозначены двойными линиями, поворотные оси — соответствующим многоугольником (оси второго порядка — овалом), центр инверсии — незамкнутой окружностью. Инверсионные оси четвёртого и шестого порядков обозначены незакрашенными квадратом и шестиугольником; при этом оси второго и третьего порядков, входящие в них (ось 2 принадлежит , ось 3 принадлежит ) тоже обозначаются.

Соответствие групп вращений и других групп

Следующие группы содержат центральную симметрию:

Как объяснено выше, имеется 1-в-1 соответствие между этими группами и всеми группами вращений:

Другие группы содержат косвенные изометрии, но не центральную симметрию:

Все они соответствуют группе вращений H и подгруппе L с индексом 2 в том смысле, что они получаются из H путём обращения изометрий в H L, как объяснено выше:

Символика Шёнфлиса основана на классификации точечных групп по семействам и широко используется для обозначения вообще всех точечных групп, а не только кристаллографических.

Семейство групп с единственной поворотной осью обозначается латинской буквой C с индексом, показывающим порядок оси. К кристаллографическим относятся C1, C2, C3, C4 и C6.

Добавление горизонтальной плоскости к группам Cn обозначается дополнительным индексом h. Получаем группы C2h, C3h, C4h и C6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Cn обозначается дополнительным индексом v. Группы C2v, C3v, C4v и C6v.

Поскольку в группе C1 не существует особых направлений, добавленная плоскость не может характеризоваться как вертикальная или горизонтальная. Такая плоскость обозначается индексом s. Таким образом, символ группы состоящей из одной плоскости симметрии — Cs (нем.  — зеркало).

Группы с осями второго порядка, перпендикулярным главной оси обозначаются буквой D с индексом, показывающим порядок главной поворотной оси. К кристаллографическим относятся D2, D3, D4 и D6.

Добавление горизонтальной плоскости к группам Dn обозначается, так же, как и в случае Сn, дополнительным индексом h. Группы — D2h, D3h, D4h и D6h.

Добавление вертикальных плоскостей к группам Dn неоднозначно, так как плоскости могут располагаться как между горизонтальными осями второго порядка, так и совпадать с ними. В первом случае добавляется индекс d, обозначающий диагональное расположение плоскостей (по диагонали между направлениями осей второго порядка). Получаются кристаллографические группы D2d и D3d. В группах Dnd взаимодействие горизонтальных осей второго порядка и вертикальных зеркальных плоскостей приводит к возникновению зеркальной оси порядка 2n. Поэтому группы D4d и D6d не являются кристаллографическими, так как содержат зеркальные оси порядков 8 и 12, соответственно.
Добавление к группам Dn вертикальных плоскостей вдоль осей второго порядка порождает горизонтальную плоскость симметрии и получаются описанные выше группы Dnh

Группы, состоящие из одной зеркальной оси, обозначаются символом Sn. При нечётном n зеркальная ось эквивалентна наличию поворотной оси порядка n и перпендикулярной к ней плоскости, то есть группе Cnh, поэтому в группах Sn индекс n всегда чётный. К ним относятся S2 (группа, состоящая только из центра инверсии), S4 и S6. Любая зеркальная ось может описываться также, как и инверсионная ось, поэтому возможно альтернативное обозначение этих групп — Cni, где n — порядок инверсионной оси. Получаются Ci = S2, C4i = S4 и C3i = S6.

Кристаллографические точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка (то есть порядка больше двух), обозначаются символами T или О, в зависимости от присутствующих в них поворотных осей. Дополнительные индексы h и d указывают на наличие горизонтальных (и вертикальных) и диагональных плоскостей симметрии. Если в группе присутствуют только поворотные оси 2 и 3 порядков, то группа обозначается символом T (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в тетраэдре). Если в группе присутствуют только поворотные оси 2, 3 и 4 порядков, то группа обозначается символом O (так как такая комбинация поворотных осей присутствует в октаэдре). Добавление горизонтальных плоскостей симметрии приводит к группам Th и Oh (Oh — группа симметрии куба и октаэдра). В обеих группах присутствуют как горизонтальные плоскости, так и вертикальные. Добавление диагональных плоскостей к группе T, приводит к группе Td (группа симметрии тетраэдра). Группа Od не существует, так как добавление диагональных плоскостей к группе O приведёт к предельной группе симметрии шара, содержащей все возможные повороты и отражения.

Обозначения Шёнфлиса используются в теории групп, физике и кристаллографии. В символике Шёнфлиса используются только порождающие элементы симметрии (то есть из которых можно вывести все остальные элементы симметрии группы). Обозначения инвариантны относительно выбора системы координат, что одновременно является как достоинством, когда нас просто интересует симметрия системы, так и недостатком, в случае если важна ориентация элементов симметрии точечной группы по отношению к другим объектам, например, системе координат кристалла, или по отношению к осям решётки Браве пространственной группы. Поэтому в кристаллографии чаще используются символы Германа-Могена, особенно для описания пространственных групп.

Символика Германа — Могена (международная символика)

В символе Германа — Могена обозначаются симметрически неэквивалентные элементы симметрии. Поворотные оси симметрии обозначают арабскими цифрами — 1, 2, 3, 4 и 6. Инверсионные оси обозначают арабскими цифрами с чёрточкой сверху — , , и . При этом ось , которая является просто плоскостью симметрии, обозначается символом m (англ. mirror — зеркало). Направлением плоскости является направление перпендикуляра к ней (то есть оси ). Зеркальные оси в международной символике не используются.
Ориентация элемента относительно координатных осей задаётся позицией элемента в символе группы. Если направление оси симметрии совпадает с направлением плоскости, то они записываются на одной позиции в виде дроби. Если инверсионная ось имеет бо́льшую величину симметрии, чем совпадающая с ней поворотная, то в символе указывают именно её (то есть записывают не , а ; при наличии в группе центра инверсии не 3, а ).

Низшая категория — точечные группы, в которых максимальный порядок любой оси (поворотной или несобственного вращения) равен двум.
К ней относятся группы 1, , 2, m, , 222, mm2 и . Если в символе группы три позиции, то

на 1-й позиции — направление вдоль оси X

на 2-й позиции — направление вдоль оси Y

на 3-й позиции — направление вдоль оси Z

В нестандартной установке группа mm2 может быть записана как m2m или как 2mm. Аналогично, группы 2, m и могут быть записаны более подробно — с указанием, вдоль какой координатной оси идёт направление оси второго порядка и/или плоскости. Например, 11m, 1m1 или m11. Эта особенность символики используется для однозначного описания пространственных групп при различном выборе системы координат, так как символы пространственных групп являются производными от символов соответствующих им точечных групп.

на 1-й позиции — направление главной оси, то есть ось Z

на 2-й позиции — побочное направление. То есть направление вдоль оси X и эквивалентной ей оси Y

на 3-й позиции — диагональное направление между симметрически эквивалентными побочными направлениями

К этой категории относятся группы 3, 4, 6, , , , 32, 422, 622, 3m, 4mm, 6mm, , 2m, m2, , , и .

Поскольку ось 3 и перпендикулярная к ней плоскость эквивалентны оси , то = и m2 = m2, но использовать рекомендуется именно обозначения с инверсионной осью , так как её симметрия выше, чем у оси 3. Группы 2m и m2 могут быть записаны как m2 и 2m. Выше были приведены обозначения, принятые в русскоязычной литературе. Последовательность символов 2 и m в этих группах становятся важна при описании производных от них пространственных групп, так как элемент на второй позиции направлен вдоль оси ячейки Браве, а элемент на третьей позиции направлен по диагонали грани. Например, символы P2m и Pm2 обозначают две разные пространственные группы. Группа 32 тоже может быть более подробно записана как 321 или 312 для разных ориентаций оси 2. Аналогично, различные ориентации приводят к двум разным пространственным группам P321 и P312. То же относится и к группам 3m (альтернативные записи 3m1 и 31m) и (альтернативные записи 1 и 1).

Высшая категория — точечные группы, в которых присутствуют несколько осей высшего порядка.

на 1-й позиции — эквивалентные направления X, Y, Z

на 2-й позиции — всегда присутствующие там четыре оси 3 или

на 3-й позиции — диагональное направление между координатными осями

К этой категории относятся пять групп — 23, 432, , 3m и

Международные символы обычно упрощают, заменяя на m, если ось n порождена другими элементами симметрии, указанными в символе. Нельзя убрать лишь обозначение главной оси в средней категории.
Например, записывают как mmm, как mm, а как mm.

Символы Шубникова занимают промежуточное положение между символами Шёнфлиса и символами Германа — Могена. По виду они скорее похожи на последние, но по смыслу ближе к символам Шёнфлиса. Так же, как и в символах Германа — Могена, оси обозначаются арабскими цифрами, а плоскость — символом m. Однако для обозначения оси несобственного вращения выбирается зеркальная ось, а не инверсионная, как в международном символе. Зеркальная ось обозначается арабской цифрой со значком тильды: зеркальная ось 2-го порядка (то же, что и центр инверсии ), зеркальная ось 4-го порядка (она же инверсионная ось четвёртого порядка ) и зеркальная ось 6-го порядка (эквивалентна инверсионной оси третьего порядка ). Так же, как и в символах Шёнфлиса, обозначаются только порождающие элементы симметрии. Например, шубниковский символ 4:2, так же как и D4 у Шёнфлиса, обозначает, что группа образована осью 4-го порядка и перпендикулярной к ней осью 2-го порядка, в то время как международный символ 422 указывает также на наличие в группе симметрически неэквивалентных осей второго порядка.
Направление побочных осей и плоскостей указывается через знак : если они перпендикулярны главной оси, • — если параллельны главной оси и / — если наклонны по отношению к главной оси.
Следует обратить внимание на обозначения групп и . Так же, как и в соответствующих международных символах 2m и m, в них обозначаются оси несобственного вращения, в то время как в символах Шёнфлиса D2d и D3d обозначаются только поворотные оси, входящие в состав осей несобственного вращения (ось 2 входит в и ось 3 входит в ).

Как и в международной системе, наличие осей симметрии обозначается арабскими цифрами, и в обоих обозначениях указываются не только порождающие элементы, но и симметрически неэквивалентные. Тут, однако, есть небольшое различие — в орбифолдной системе обозначаются не просто неэквивалентные оси симметрии, а неэквивалентные направления. У всякой оси есть два направления («верх и низ» для вертикальной или «лево и право» для горизонтальной). Например, в группах с единственной осью (Cn по Шёнфлису) эти направления неэквивалентны, поэтому такие группы обозначаются как nn. К кристаллографическим относятся группы 11, 22, 33, 44 и 66. В группах с осями 2-го порядка, перпендикулярными главной оси (Dn по Шёнфлису), оси 2-го порядка «переворачивают» главную ось на 180 градусов, делая таким образом оба её направления эквивалентными. Однако самих направлений 2-го порядка в таких группах два типа, поэтому группы обозначаются как n22. Порядок цифр не важен, важно лишь их положение по отношению к символу плоскости симметрии (если она присутствует в группе), о чём будет написано ниже. Кристаллографическими будут группы 222, 322, 422 и 622 (можно писать и 222, 223, 224 и 226). Интересно сравнить эти символы с соответствующими международными 222, 32, 422 и 622. В группах с главной осью чётного порядка присутствует два класса симметрически неэквивалентых горизонтальных осей 2-го порядка (поэтому две двойки в международном символе), но у каждой из осей оба направления эквивалентны. В группах с главной осью нечётного порядка, все оси 2-го порядка эквивалентны (поэтому международный символ 32, а не 322), но «левое» и «правое» направления у этих горизонтальных осей различны, поэтому всё равно получаем два класса симметрически неэквивалентных направлений 2-го порядка, и в орбифолдном обозначении получается 322 (522, 722 и т. д.).

Наличие в группе одной или нескольких плоскостей симметрии обозначается единственной звёздочкой *. При этом если символ оси расположен правее звёздочки, то значит через ось проходят плоскости симметрии (n плоскостей через ось n-го порядка), если цифра расположена левее звёздочки, то плоскости через ось не проходят. Например, в группе *332 (Td по Шёнфлису), через все оси проходят плоскости, а в группе 3*2 (Th по Шёнфлису) плоскости проходят только через оси 2-го порядка, но не через оси 3-го.

Ещё несколько примеров:

В группах с плоскостью симметрии, перпендикулярной главной оси симметрии (Cnh по Шёнфлису), оба направления оси становятся эквивалентными и группы обозначаются символом n*. Кристаллографическими будут группы 2*, 3*, 4* и 6*. Если же плоскость симметрии проходит через ось (Cnv по Шёнфлису), то, как было сказано выше, звёздочка ставится левее цифры, и получаем группы *22, *33, *44, *66. Цифры снова удваиваются, так как направления главной оси («верх и низ») снова неэквивалентны.

Не только плоскости симметрии могут переводить части фигуры (фрагменты мотива) в зеркально им симметричные. Например, к таким элементам относятся зеркальные и инверсионные оси. Для двумерных кристаллографических групп на плоскости таким элементом является скользящее отражение (то есть отражение с одновременным сдвигом вдоль линии отражения). Наличие в группе такого элемента обозначается значком x («чудо» по Конвею). Этот значок используется только в случае, если действие элемента никак нельзя представить в виде комбинации других элементов из символа группы. В случае 3-мерных точечных групп, это относится к группам, состоящим из единственной зеркальной оси чётного порядка, S2 = Ci, S4 и S6. Они будут обозначаться 1x, 2x и 3x, соответственно.

Если длина ребра октаэдра равна а, то радиус сферы, описанной вокруг октаэдра, равен:

двугранный угол: , где .

Радиус полувписанной сферы, которая касается всех рёбер, равен

Октаэдр имеет четыре специальные ортогональных проекции, центрированные ребром, вершиной, гранью и нормалью к грани. Второй и третий случай соответствуют плоскостям Коксетера B2 и A2.

Октаэдр можно представить, как сферическую мозаику и спроецировать на плоскость с помощью стереографической проекции. Эта проекция конформна, сохраняет углы, но не длины и площадь. Отрезки на сфере отображаются в дуги окружностей на плоскости.

Октаэдр с длиной ребра может быть помещён в начало координат, так что его вершины будут лежать на осях координат. Декартовы координаты вершин тогда будут

(±1, 0, 0);
(0, ±1, 0);
(0, 0, ±1).

В x-y-z прямоугольной системе координат октаэдр с центром в точке (a, b, c) и радиусом r — это множество всех точек (x, y, z), таких, что

Площадь и объём

Площадь полной поверхности правильного октаэдра с длиной ребра a равна

Таким образом, объём октаэдра в четыре раза больше объёма тетраэдра с той же длиной ребра, в то время как площадь поверхности вдвое больше (поскольку поверхность состоит из 8 треугольников, а у тетраэдра — из четырёх).

Октаэдр представляет собой пересечение двух тетраэдров

Внутренняя (общая) часть конфигурации из двух двойственных тетраэдров является октаэдром, а сама эта конфигурация называется звёздчатым октаэдром (лат.: stella octangula). Конфигурация является единственной звёздчатой формой октаэдра. Соответственно, правильный октаэдр является результатом отсечения от правильного тетраэдра четырёх правильных тетраэдров с половиной длины ребра (то есть полного усечения тетраэдра). Вершины октаэдра лежат на серединах рёбер тетраэдра и октаэдр связан с тетраэдром тем же образом, как кубооктаэдр и икосододекаэдр связаны с остальными платоновыми телами. Можно разделить рёбра октаэдра в отношении золотого сечения для определения вершин икосаэдра. Для этого следует расположить вектора на рёбрах, так, чтобы все грани были окружены циклами. Затем делим каждое ребро в золотом отношении вдоль векторов. Полученные точки являются вершинами икосаэдра.

Однородное раскрашивание и симметрия

Октаэдр двойственен кубу.

Связь между орбифолдной нотацией и порядком

Порядок любой группы равен 2, делённое на орбифолдную эйлерову характеристику. Последняя равна 2 минус сумма значений, которые вычисляются по следующим правилам:

Схема связи между точечными группами

На данной схеме группы расположены от менее симметричных (снизу) до групп с более высокой симметрией (сверху). Группы одинакового порядка лежат на одной высоте.
Каждая нижележащая группа является подгруппой старшей группы, связанной с ней линией. Для удобства восприятия линии даны разного цвета.

Бинарные полиэдральные группы

Бинарные полиэдральные группы:

Заметим, что это покрытие является покрытием групп, не покрытием пространств.

Первый вывод всех 32 кристаллографических точечных групп был дан в 1830 году Иоганном Гесселем в его трактате «Кристаллометрия или кристаллономия и кристаллография, разработанная оригинальным образом на основе нового общего учения собственно о фигурах, с полным обозрением важнейших работ и методов других кристаллографов». Однако этот вывод точечных групп остался незамеченным. Следующий вывод был дан Огюстом Браве в 1849 году в мемуаре «Исследование о многогранниках симметричной формы». Однако Браве не учитывал оси несобственного вращения (зеркально-поворотные или инверсионные), и в результате пропустил группу S4. Все остальные 31 кристаллографические группы можно вывести как комбинацию только осей симметрии, плоскостей отражения и центра инверсии. Наконец, в 1867 году Аксель Гадолин в «Записках Петербургского минералогического общества» опубликовал «Вывод всех кристаллографических систем и их подразделений из одного общего начала». Именно в работе Гадолина впервые в явном виде сообщается, что число видов симметрии для кристаллических многогранников (то есть кристаллографических точечных групп симметрии) равно 32. В этой работе Гадолин ввёл в науку понятие инверсионной оси. Также именно в этой статье впервые появляются стереографические проекции 32-х точечных групп.