У этого термина существуют и другие значения, см. Решётка.
Решётка Браве́ — понятие для характеристики кристаллической решётки относительно сдвигов. Названа в честь французского физика Огюста Браве. Решёткой или системой трансляций Браве называется набор элементарных трансляций или трансляционная группа, которыми может быть получена вся бесконечная кристаллическая решётка. Все кристаллические структуры описываются 14 решётками Браве, число которых ограничивается симметрией.
Определение параметров элементарной кристаллической ячейки в виде параллелепипеда с параметрами длины рёбер a, b, c и с углами между рёбрами α, β, γ
Постоя́нная решётки, или параметр решётки — размеры элементарной кристаллической ячейки кристалла. В общем случае элементарная ячейка представляет собой параллелепипед с различными длинами рёбер, обычно эти длины обозначают как a, b, c. Но в некоторых частных случаях кристаллической структуры дли́ны этих рёбер совпадают. Если к тому же выходящие из одной вершины рёбра равны и взаимно перпендикулярны, то такую структуру называют кубической. Структуру с двумя равными рёбрами, находящимися под углом 120 градусов, и третьим ребром, перпендикулярным им, называют гексагональной.
Принято считать что, параметры элементарной ячейки описываются 6 числами: 3 длинами рёбер и 3 углами между рёбрами, принадлежащими одной вершине параллелепипеда.
Например, элементарная ячейка алмаза — кубическая и имеет параметр решётки при температуре .
В литературе обычно не приводят все шесть параметров решётки, только среднюю длину рёбер ячейки и тип решётки.
Размерность параметров решётки , , в СИ — длина. Величину, ввиду малости, обычно приводят в нанометрах или ангстремах (1 Å = 0,1 нм).
Элементарная ячейка — в геометрии, физике твёрдого тела и минералогии, в частности при обсуждении кристаллической решётки, минимальная ячейка, отвечающая единичной решёточной точке структуры с трансляционной симметрией в 2D, 3D или других размерностях.
Элементарная ячейка — фундаментальная область группы трансляций кристаллической решётки (решётки Браве).
Существует принципиальное различие между примитивной и элементарной ячейкой при рассмотрении структуры кристалла (англ. primitive unit cell, conventional unit cell). Примитивной ячейкой называется минимальный воображаемый объём кристалла, параллельные переносы (трансляции) которого в трёх измерениях позволяют построить трёхмерную кристаллическую решётку в целом. Элементарной примитивная ячейка может называться только в том случае, когда она обладает теми же элементами симметрии, что и конечный объем. Таким образом при моделировании кристаллических структур оказывается удобнее использовать именно элементарную ячейку, так как она воспроизводит не только структуру, но в конечном счете и свойства кристалла.
Бравэ были сформулированы 3 правила выбора элементарных ячеек:
Содержимое элементарной ячейки позволяет охарактеризовать всю структуру минерала. Часть структуры, охватываемая элементарной ячейкой, состоит из атомов, удерживаемых вместе благодаря электронным связям. Такие мельчайшие ячейки, бесконечно повторяющиеся в трехмерном пространстве, образуют кристалл. Элементарная ячейка не является физическим телом, её можно передвигать по структуре параллельно самой себе, независимо от выбора начала координат ячейка будет содержать те же атомы в прежних количествах, так как структура периодична. Элементарная ячейка и представляет собой такой минимальный период в трёх измерениях.
Применяемые в кристаллографии элементарные ячейки имеют вид параллелепипедов, их форма и размер определяются заданием трёх некомпланарных трансляций (векторов) решётки, то есть трёх не лежащих в одной плоскости ребер ячейки. Ячейка полностью определяет решётку. Обратное неверно: в одной и той же решётке выбор ячейки может совершаться по-разному.
Ячейка, построенная на трёх кратчайших некомпланарных трансляциях решётки, называется основной ячейкой. Объём такой ячейки минимален, она содержит всего один узел кристаллической решётки, и относится поэтому к примитивным ячейкам. Нередко такая ячейка оказывается низкосимметричной, при том, что симметрия самой структуры выше. В таком случае выбирают другую, высокосимметричную ячейку большего объёма, с дополнительными узлами решётки (непримитивная, или центрированная ячейка).
При помощи рентгеноструктурного анализа определяют размеры элементарной ячейки минерала, его сингонию, вид симметрии и пространственную группу симметрии, а также расшифровывают кристаллическую структуру.
Объём элементарной ячейки
Объём элементарной ячейки можно вычислить, зная её параметры (длины и углы параллелепипеда). Если три смежных ребра ячейки представить в виде векторов, то объём ячейки равен (с точностью до знака) тройному скалярному произведению этих векторов (т.е. скалярному произведению одного из векторов на векторное произведение двух других). В общем случае
Для моноклинных решёток α = γ = 90°, и формула упрощается до
Для тригональных (ромбоэдрических) решёток α = β = γ ≠ 90°, а также a = b = c, поэтому
Слоистые полупроводниковые гетероструктуры
Постоянство параметров решётки разнородных материалов позволяет получить слоистые, с толщиной слоёв в единицы нанометров сэндвичи разных полупроводников. Этот метод обеспечивает получение широкой запрещённой зоны во внутреннем слое полупроводника и используется при производстве высокоэффективных светодиодов и полупроводниковых лазеров.
Примитивная ячейка решётки Браве — параллелепипед, построенный на основных векторах трансляции. Выбор этих векторов неоднозначен (см. рис.), но объём элементарной ячейки не зависит от выбора трансляционных векторов. Это связано с инвариантностью получающегося определителя относительно сложения и вычитания строк.
На примитивную ячейку решётки Браве приходится один узел.
Примитивную ячейку можно задать и другими способами. Например, в форме ячейки Вигнера-Зейтца наглядно видно, что на ячейки приходится один узел.
Примитивную ячейку обратной решётки в форме ячейки Вигнера-Зейтца в обратном пространстве — первая зона Бриллюэна.
По симметрии элементарной ячейки выделяют сингонии в кристаллографии и физике твёрдого тела.
Типы решёток Браве
Разделяют двухмерные и трёхмерные решётки Браве.
Обозначение указывает на наличие двух видов плоскостей зеркального отражения, которые не переводятся одна в другую путем действия поворотных осей 2,4 или 6.
Согласование параметров решётки
Параметры решётки важны при эпитаксиальном выращивании тонких монокристаллических слоёв другого материала на поверхности иного монокристалла — подложки. При значительной разнице параметров решётки материалов трудно получить монокристалличность и бездислокационность наращиваемого слоя. Например, в полупроводниковой технологии для выращивания эпитаксиальных слоёв монокристаллического кремния в качестве гетероподложки обычно используют сапфир (монокристалл оксида алюминия), так как оба имеют практически равные постоянные решётки, но с разным типом сингонии, у кремния — кубическая типа алмаза, у сапфира — тригональная.
Обыкновенно параметры решётки подложки и наращиваемого слоя выбирают так, чтобы обеспечить минимум напряжений в слое плёнки.
Другим способом согласования параметров решёток является метод формирования переходного слоя между плёнкой и подложкой, в котором параметр решётки изменяется плавно (например, через слой твёрдого раствора с постепенным замещением атомов вещества подложки атомами выращиваемой плёнки, так чтобы параметр решётки слоя твёрдого раствора у самой плёнки совпадал с этим параметром плёнки).
Например, слой фосфида индия-галлия с шириной запрещённой зоны может быть выращен на пластине арсенида галлия с помощью метода промежуточного слоя.
Решётка Браве и структура кристалла
Решётка Браве является математической моделью, отражающей трансляционную симметрию кристалла. В общем случае решётка Браве не совпадает с реальным кристаллом, а узлы не соответствуют атомам (поскольку кристаллическая решётка может содержать более одного атома в элементарной ячейке). Поэтому следует отличать кристаллическую решётку и решётку Браве. Термин теории групп «решётки в евклидовом пространстве» соответствует именно решёткам Браве.
Неоднозначность выбора трансляционных векторов. Площадь элементарных ячеек одинакова
Построение типов решётки Браве
Понятие решётки Браве связано с основными трансляционными векторами. Основным трансляционным вектором называется минимальный в данном направлении вектор перехода из данной точки в ближайшую эквивалентную. В трёхмерном случае таких некомпланарных векторов будет три (обозначим , , ).
Задав нулевую точку, строим совокупность точек по правилу:
,
где , , — произвольные целые числа. Получившаяся решётка — решётка Браве.
